【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.1 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共77张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章　
空间向量与立体几何
1.1　空间向量及其运算
1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系
学习任务 1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．(数学抽象)
2．掌握空间向量的坐标运算．(数学运算)
3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．(逻辑推理)
4．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用．(数学抽象)
天上的飞机速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度．只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？要确定飞机的位置，还需要知道什么？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　空间向量的坐标
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量__________，就称这组基底为__________基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组_____________为向量p的坐标，记作p＝_____________，其中x，y，z都称为p的坐标分量．
两两垂直
单位正交
(x，y，z)
(x，y，z)
思考　1．若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？
[提示]　不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．
知识点2　空间向量的运算与坐标的关系
假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论：
(1)a＋b＝____________________________．
(2)如果u，v是两个实数，那么ua＋vb＝_______________________ ___________．
(3)a·b＝__________________．
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
(ux1＋vx2，uy1＋vy2，
uz1＋vz2)
x1x2＋y1y2＋z1z2
(4)|a|＝＝________________．
(5)当a≠0且b≠0时，cos 〈a，b〉＝＝___________________．
思考　2．若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗？
[提示]　不一定，A点与原点重合时是，不重合时不是．
知识点3　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
(1)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)．当a≠0时，a∥b _______ (x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1) 当a的每
一个坐标分量都不为零时，有a∥b __________________．
(2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
b＝λa
＝＝
知识点4　空间直角坐标系
(1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与_________垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.
(2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相______的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为__________．
(3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿________方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．
xOy平面
垂直
坐标平面
逆时针
(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为_________________，z轴与y轴(或x轴)______．
(5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)称为点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x称为点M的___________________，y称为点M的___________________，z称为点M的___________________．
135°(或45°)
提醒　点的坐标与向量的坐标表示方法不同，如点A(x，y，z)，向量a＝(x，y，z)．
垂直
横坐标(或x坐标)
纵坐标(或y坐标)
竖坐标(或z坐标)
(6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，如图所示，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限，在xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限．根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为______________________ ___________________．
{(x，y，z)|x＞0，
y＞0，z＞0}
知识点5　空间向量坐标的应用
空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点M(x，y，z)
空间中两点之 间的距离公式
中点坐标公式
(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
1．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b＝(　　)
A．(16，0，4)　　　　　　　 B．(8，－16，4)
C．(8，16，4) D．(8，0，4)
D　[4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4)．]
√
2．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，使a⊥b成立的x与使a∥b成立的x分别为(　　)
A．，－6 B．－，6
C．－6， D．6，－
A　[若a⊥b，则2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝.若a∥b，则＝＝，解得x＝－6.]
√
3．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于yOz平面对称的点的坐标是(　　)
A．(1，3，5) B．(1，－3，5)
C．(－1，3，－5) D．(－1，－3，5)
C　[两点关于yOz平面对称，则纵坐标相同，竖坐标相同，横坐标互为相反数，所以点P(1，3，－5)关于yOz平面对称的点的坐标是(－1，3，－5)．故选C.]
√
4．已知P1(1，－1，2)，P2(3，1，0)，P3(0，1，3)，则向量与的夹角是__________．
90°　[设向量与的夹角为θ，因为＝(3，1，0)－(1，－1，2)＝(2，2，－2)，＝(0，1，3)－(1，－1，2)＝(－1，2，1)，所以cos θ＝＝0.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝90°.]
90°
类型1　空间向量的坐标表示
【例1】　如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标．
关键能力·合作探究释疑难
[解]　∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴是两两垂直的单位向量．
设＝e1，＝e2，＝e3，
以{e1，e2，e3}为单位正交基底，以A为坐标原点，
e1，e2，e3的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，如图．
∵＝＝－＝－)＝－)＝＝e2＋e3，
∴＝.
反思领悟　用坐标表示空间向量的步骤
[跟进训练]
1．已知向量{a，b，c}是空间的一组基底，向量{a－b，a＋b，c}是空间的另一组基底，向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则向量p在基底{a－b，a＋b，c}下的坐标为(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
√
A　[设p在基底{a－b，a＋b，c}下的坐标为(x，y，z)，
则p＝x(a－b)＋y(a＋b)＋zc＝(x＋y)a＋(y－x)b＋zc＝2a＋b－c，
所以解得x＝，y＝，z＝－1，
故p在基底{a－b，a＋b，c}下的坐标为.]
类型2　空间向量的坐标运算
【例2】　【链接教材P20例2】
已知向量a＋b＝(1，2，1)，a－2b＝(1，－1，－2)，求a·b，(a－b)·(2a－3b)．
[解]　(法一)因为3a＝2(a＋b)＋(a－2b)＝(3，3，0)，所以a＝(1，1，0)．因为3b＝(a＋b)－(a－2b)＝(0，3，3)，所以b＝(0，1，1)，则a·b＝0＋1＋0＝1，(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.
(法二)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)＝(1，2，1)，a－2b＝(x1－2x2，y1－2y2，z1－2z2)＝(1，－1，－2)，解得x1＝1，y1＝1，z1＝0，x2＝0，y2＝1，z2＝1，所以a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，所以a·b＝0＋1＋0＝1，
(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.
【教材原题·P20例2】
【例2】　已知a＝(－2，3，5)，b＝(3，－3，2)，求下列向量的坐标：
(1)a－b；(2)2a＋b；(3)－5b.
[解]　(1)a－b＝(－2，3，5)－(3，－3，2)＝(－2－3，3＋3，5－2)＝(－5，6，3)．
(2)2a＋b＝2(－2，3，5)＋(3，－3，2)＝(－4，6，10)＋(3，－3，2)＝(－1，3，12)．
(3)－5b＝－5(3，－3，2)＝(－15，15，－10)．
发现规律　空间向量坐标的计算技巧
(1)直接代入公式计算
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用______________________计算．
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量按坐标形式设出来，然后通过建立________，解方程组求出其坐标，再进行坐标运算．例题解法二便属于这一类型题目．
空间向量坐标运算公式
方程组
(3)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行______________再代入坐标运算，如计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，再求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．
向量式的化简
[跟进训练]
2．已知a＝(1，2，3)，b＝(3，0，－1)，c＝.下列等式：①(a＋b)·c＝a·(b＋c)，②(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2，③(a·b)·c＝a·(b·c)．正确的个数是(　　)
A．0　 　　B．1　 　　C．2　 　　D．3
√
D　[对于①，∵(a＋b)·c＝(4，2，2)·＝－＋2－＝0，a·(b＋c)＝(1，2，3)·＝＋2－＝0，∴(a＋b)·c＝a·(b＋c)．对于②，∵a·b＝3＋0－3＝0，a·c＝－＋2－＝0，b·c＝－＋0＋＝0，∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2.对于③，∵(a·b)·c＝(3＋0－3)·＝(0，0，0)，a·(b·c)＝(1，2，3)·＝(0，0，0)，∴(a·b)·c＝a·(b·c)．故选D.]
类型3　空间向量的平行与垂直
【例3】　【链接教材P21例4】
已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[思路导引]　判断空间向量垂直或平行的步骤
[解]　(1)因为＝(－2，－1，2)，且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，
得|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1.即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或k＝－.
故所求k的值为2或－.
[母题探究]
1．(变条件)若将本例(1)中“c∥”改为“c⊥a且c⊥b”，求c.
[解]　a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)．
设c＝(x，y，z)．
由题意得
解得x＝2，y＝－2，z＝1或x＝－2，y＝2，z＝－1，
即c＝(2，－2，1)或c＝(－2，2，－1)．
2．(变条件)若将本例(2)改为“若向量λa－b，a－λb平行”，求λ的值．
[解]　因为a，b不共线，故λa－b，a－λb均不为零向量，
若向量λa－b，a－λb平行，则存在非零常数t，使得λa－b＝t(a－λb)，
整理得(λ－t)a＋(tλ－1)b＝0，因为a，b不共线，故故λ＝t＝－1或λ＝t＝1，故λ＝±1.
【教材原题·P21例4】
【例4】　(1)已知a＝(1，－1，1)，b＝(x，y，z)，且a∥b，求x，y，z所要满足的关系式；
(2)已知c＝(－1，－1，1)，d＝(2，－2，6)，求一个非零空间向量n，使得n⊥c且n⊥d.
[解]　(1)因为a＝(1，－1，1)的每一个坐标分量均不为零，因此a∥b ＝＝ x＝－y＝z.
(2)设n＝(x，y，z)，则n⊥c且n⊥d
将z看成已知数，求解方程组可得x＝－z，y＝2z.因此n＝(－z，2z，z)＝z(－1，2，1)，
取z＝1，可得满足条件的一个非零空间向量n＝(－1，2，1)．
反思领悟　解决空间向量垂直、平行问题的思路
(1)当有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b(b≠0)，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．
(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
[跟进训练]
3．已知a＝(2，4，x)，b＝(1，y，2)．
(1)若a∥b，则y＝__________；
(2)若|a|＝6，且a⊥b，则y＝__________．
2
或－　
(1)2　(2)或－　[(1)由题意得向量a，b的每一个坐标分量均不为零，
所以a∥b ＝＝ x＝4，y＝2.
(2)依题意得
解得或]
1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，则3a＋b为(　　)
A．(－2，－3，－2)　　　 B．(2，3，2)
C．(－2，3，2) D．(4，3，2)
学习效果·课堂评估夯基础
√
B　[3a＋b＝3(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(3，3，0)＋(－1，0，2)＝(2，3，2)．]
2．(教材P26练习B T3改编)已知向量a＝(3，1，2)，b＝(－1，3，t)，且a与b夹角的余弦值为，则t的值是(　　)
A．2　　　B．－2 C．4　　　D．±2
√
A　[因为向量a＝(3，1，2)，b＝(－1，3，t)，a与b夹角的余弦值为，
所以＝cos 〈a，b〉＝＝＝，
整理得t2＝4(其中t>0)，解得t＝2(负值舍去)．]
3．已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是(　　)
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
√
C　[因为c＝(－4，－6，2)＝2a，所以a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.]
4．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为__________．
　[因为B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，
所以BC的中点为，所以BC边上的中线长为＝.]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．怎样建立空间直角坐标系有利于解题？
[提示]　在建立空间直角坐标系时，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上，对于长方体，一般取相邻的三条棱所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，也就是找“墙角”．
2．在空间直角坐标系中找对称点的坐标有何规律？
[提示]　求对称点的问题可以用“关于谁对称谁不变，其余均取相反数”的规律来记忆．例如关于x轴对称的点的坐标就是x坐标不变，y坐标，z坐标变为原来的相反数；关于xOy平面对称的点的坐标就是x坐标，y坐标不变，z坐标变为原来的相反数．
3．应用空间向量坐标时应关注哪几点？
[提示]　(1)建系，写坐标，把向量坐标化．
(2)利用向量的坐标运算公式求解向量的数量积、模长等问题．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(1，0，2)，且ka＋b与a－2b互相平行，则k＝(　　)
A．－　 　B．　 　C．　 　D．－
课时分层作业(三)　空间向量的坐标与空间直角坐标系
D　[ka＋b＝(－k＋1，k，2)，a－2b＝(－3，1，－4)，则＝＝，解得k＝－，故选D.]
题号
1
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题号
2
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√
14
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2．(多选题)对于任意非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，以下说法错误的是(　　)
A．若a⊥b，则x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
B.若a∥b，则＝＝
C．cos 〈a，b〉＝
D．若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量
√
BD　[对于A选项，因为a⊥b，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝0，A选项正确；
对于B选项，若x2＝0，且y2≠0，z2≠0，若a∥b，分式无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos 〈a，b〉＝，C选项正确；
对于D选项，若x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝＝，此时，a不是单位向量，D选项错误．故选BD.]
题号
2
1
3
4
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15
3．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A． B．2
C． D．1
√
题号
2
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A　[因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以a·b＝－1，|a|＝，|b|＝，
因为ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即2k|a|2＋(2－k)a·b－|b|2＝0，即4k－(2－k)－5＝0，解得k＝.故选A.]
题号
2
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15
√
4．(教材P26练习B T3改编)已知向量a＝(－2，1，4)，b＝(－4，2，t)的夹角为锐角，则实数t的取值范围为(　　)
A．(8，＋∞) B．
C． D．∪(8，＋∞)
题号
2
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15
D　[夹角为锐角，则a·b＝8＋2＋4t>0，得t>－，
当a∥b时，＝＝，得t＝8，所以t的取值范围为∪(8，＋∞)．故选D.]
题号
2
1
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15
√
5．(多选题)在四面体P-ABC中，P(0，0，3)，A(2，2，5)，B(1，3，2)，C(3，1，2)，则以下选项正确的有(　　)
A．＝(－1，1，－3) B．||＝||
C．⊥ D．＝11
题号
2
1
3
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15
√
AB　[因为＝(－1，1，－3)，所以A选项正确；因为＝(－1，1，－3)，＝(1，－1，－3)，所以有||＝＝，||＝＝，因此B选项正确；因为＝(2，2，2)，＝(1，－1，－3)，所以有＝2－2－6＝－6≠0，因此C选项不正确；因为＝(－1，1，－3)，＝(1，
－1，－3)，所以＝－1－1＋9＝7，因此D选项不正确．故选AB.]
题号
2
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二、填空题
6．已知空间向量a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，则a－b＋2c＝_____________．
题号
2
1
3
4
5
6
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15
(－4，3，3)　[因为a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，
所以a－b＋2c＝(1，2，3)－(3，－1，2)＋2(－1，0，1)＝(－4，3，3)．]
(－4，3，3)　
7．已知A(3，2，－4)，B(5，－2，2)，则A，B两点间的距离为__________．
题号
2
1
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15
2　[由两点间距离公式得
AB＝＝2.]
2　
8．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则n＝__________，向量a与b的夹角为__________.
题号
2
1
3
4
5
6
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13
14
15
2　　[依题意a·b＝1＋n＝3，解得n＝2，
所以a＝(1，0，1)，b＝(1，1，2)，
所以cos 〈a，b〉＝＝＝，
由于〈a，b〉∈[0，π]，所以向量a与b的夹角为.]
2
三、解答题
9．已知向量a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，d＝(－1，2，4)，a·b＝－1，b与c垂直，__________．
从①b·d＝2，②b·(a＋d)＝a·c，③|b|＝3这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并完成解答．
(1)求|a＋2c＋d|；
(2)求向量b的坐标．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题号
2
1
3
4
5
6
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[解]　(1)因为a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，d＝(－1，2，4)，
所以a＋2c＋d＝(－1，3，4)，所以|a＋2c＋d|＝.
(2)选择①.设b＝(x，y，z)，
由题意得即
解得所以b＝.
题号
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选择②.设b＝(x，y，z)，
由题意得
即
解得所以b＝.
题号
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选择③.设b＝(x，y，z)，
由题意得
即
解得或所以b＝(2，－1，2)或b＝(－2，－1，
－2)．
题号
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√
10．(多选题)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)，E，O为坐标原点，则下列说法正确的有(　　)
A．|2a＋b|＝2 B．点E在直线AB上
C．⊥b D．∥(a＋b)
题号
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√
BC　[2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
故|2a＋b|＝＝5，A错误；＝(1，－1，－2)，＝＝，所以点E在直线AB上，B正确；
·b＝＝0，
所以⊥b，C正确；
a＋b＝(－1，－2，3)与＝(1，－1，－2)不平行，D错误．]
题号
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√
11．已知O为坐标原点，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
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C　[∵点Q在直线OP上运动，∴存在实数λ使得＝λ＝(λ，λ，2λ)，∴＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－，当且仅当λ＝时，取得最小值，此时Q.]
题号
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12．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝__________．
题号
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　[(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c＝－10，
又a·c＝4，所以b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12，
所以cos 〈b，c〉＝＝－，
因为〈b，c〉∈[0，π]，
所以〈b，c〉＝.]
13．空间中，若向量a＝(5，9，m)，b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)共面，则m＝__________，此时|a－b|的值为__________．
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4　2　[因为b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)，所以b，c不共线，可以取为基底．若向量a＝(5，9，m)，b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)共面，
则存在实数x，y，使得a＝xb＋yc，
即
解得
故m＝4，此时a＝(5，9，4)，b＝(1，－1，2)，所以a－b＝(5，9，4)－(1，－1，2)＝(4，10，2)，
所以|a－b|＝＝2.]
题号
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14．已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c.
(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值．
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[解]　(1)因为a∥b，所以＝＝，且y≠0，解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)．
又由b⊥c得b·c＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2，2)．
(2)由(1)得a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，因此向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为
cos θ＝＝＝－.
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15．(源自北师大版教材例题)如图，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA′＝2，点M，N分别是A′B′和A′A的中点．
(1)求||；
(2)求cos 〈〉的值；
(3)求证：⊥.
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[解]　(1)如图，以点C为原点，CA，CB，CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
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由题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)．
则＝(1，－1，1)，||＝＝.
(2)由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A′(1，0，2)，B′(0，1，2)．
因为＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
所以||＝＝，
||＝＝，
＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，
cos 〈〉＝＝＝.
故cos 〈〉的值为.
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(3)证明：由题意，得A′(1，0，2)，B(0，1，0)，C′(0，0，2)，M.
因为＝(－1，1，－2)，＝，
所以＝(－1)×＋1×＋(－2)×0＝0，即⊥.
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谢 谢！