【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.1 探究课1 空间直角坐标系中三角形面积的求法 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

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复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章　空间向量与立体几何
1.1　空间向量及其运算
探究课1　空间直角坐标系中三角形面积的求法
1．△ABC的面积S＝||·||sin A，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝||||·sin A.
2．利用向量坐标表示求出||，||及cos A，进而求出sin A，得到面积．
3．△ABC的面积公式的向量形式：
(1)S△ABC＝||||sin A＝||||·
＝.
(2)由＝||·||·cos A得||·||＝(A≠90°)，
∴S△ABC＝||·||·sin A
＝·sin A＝·tan A(A≠90°)．
【典例】　已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．求以为邻边的平行四边形的面积．
[解]　(法一)由题中条件可知，
＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，
所以cos 〈〉＝＝＝，
所以sin 〈〉＝，
所以以为邻边的平行四边形的面积
S＝||·||·sin 〈〉＝7.
(法二)由条件知＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，
所以||＝，||＝＝－2＋3＋6＝7，
所以以为邻边的平行四边形的面积
S＝＝＝7.
已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)，则△ABC的面积为__________；△ABC的边AB上的高为__________．
3
3
3　3　[(法一)因为＝(1，－3，2)，＝(2，0，－8)，＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，且||＝，||＝2，所以cos 〈〉＝＝－，sin 〈〉＝，S△ABC＝||·||sin 〈〉＝×2＝3.
又因为||＝，设AB边上的高为h，则S△ABC＝||·h＝3，所以h＝3.
(法二)由题意知，||＝，||＝2，
＝(1，－3，2)·(2，0，－8)＝2＋0－16＝－14，
所以S△ABC＝
＝＝3.
又因为||＝，设AB边上的高为h，则S△ABC＝||·h＝3，所以h＝3.]
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