【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共93张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章　
空间向量与立体几何
1.2　空间向量在立体几何中的应用
1.2.1　空间中的点、直线与空间向量
学习任务 1．了解空间点的位置向量与直线的方向向量．(数学抽象)
2．理解空间两直线平行、异面、垂直的向量条件，理解空间两直线的夹角与向量的夹角的关系．(数学抽象、逻辑推理)
3．理解公垂线段的概念并会求其长度．(直观想象、逻辑推理、数学运算)
4．掌握用向量的方法证明两直线平行、垂直，求夹角问题．(直观想象、逻辑推理)
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示出来．
那么，如何利用向量刻画直线的方向与位置？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　空间中的点与空间向量
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量_______唯一确定，此时，通常称为点P的__________．
提醒　空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定．
位置向量
知识点2　空间中的直线与空间向量
一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l____________，则称v为直线l的一个__________．此时，也称向量v与直线l______，记作______．
(1)如果A，B是直线l上两个不同的点，则v＝就是直线l的一个__________．
(2)如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都______；
平行或重合
方向向量
平行
v∥l
方向向量
平行
(3)如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则对于直线l上任意一点B，向量一定与非零向量v平行，从而可知存在______的实数λ，使得＝λv，这就是说，空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定；
(4)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2 ____________________．
唯一
l1∥l2或l1与l2重合
知识点3　空间中两条直线所成的角
(1)设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝____________或θ＝_______________，所以sin θ＝_________________，cos θ＝_____________________．
(2)〈v1，v2〉＝ ________ v1·v2＝___．
〈v1，v2〉
提醒　用向量方法求两条直线所成的角时，若能建立空间直角坐标系，则相关向量可用坐标表示，通过向量坐标运算求解；若建系不方便，则可选用基向量表示其他向量，通过向量运算求解．
π－〈v1，v2〉
sin 〈v1，v2〉
|cos 〈v1，v2〉|
l1⊥l2
0
知识点4　异面直线与空间向量
设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量．
(1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行．
(2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为____________．
(3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，________．若v1，v2，不共面，则l1与l2异面．
(4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，________________，则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的______．
相交或异面
不共面
MN⊥l1，MN⊥l2
距离
提醒　(1)“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件．
(2)“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．
(3)空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为v＝(1，2，3)． (　　)
(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反． (　　)
(3)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量． (　　)
×
√
√
2．已知平面上两点A(1，2，3)，B(－1，1，1)，则下列向量是直线AB的方向向量的是(　　)
A．(－1，1，1)　　　　 B．(1，2，3)
C．(1，2，1) D．(2，1，2)
√
D　[因为两点A(1，2，3)，B(－1，1，1)，则＝(－2，－1，－2)，又因为＝(－2，－1，－2)与向量(2，1，2)平行，所以直线AB的方向向量是(2，1，2)．]
3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
√
B　[因为|a|＝，|b|＝2，a·b＝(0，－2，－1)·(2，0，4)＝
－4，
所以cos 〈a，b〉＝＝－.因为异面直线夹角的范围是，所以B项符合题意．]
4．直线l1的方向向量为v1＝(1，0，－1)，直线l2的方向向量为v2＝(－2，0，－2)，则直线l1与l2的位置关系是__________.
垂直　[因为v1·v2＝(1，0，－1)·(－2，0，－2)＝0，所以v1⊥v2，所以l1⊥l2.]
垂直
类型1　空间中的点的位置的确定
【例1】　已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)．
(1)若＝)，求点P的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且＝，求P点的坐标．
关键能力·合作探究释疑难
[解]　(1)＝(－1，1，5)，＝(－3，－1，5)，
＝)＝(2，2，0)＝(1，1，0)，
所以点P的坐标为(1，1，0)．
(2)由P是线段AB上的一点，且＝.
设点P的坐标为(x，y，z)，
则＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x，5－y，5－z)，
故(x－3，y－4，z)＝(2－x，5－y，5－z)，
即解得
因此点P的坐标为.
发现规律　解决位置向量、方向向量的方法
此类问题常转化为向量的______、向量的______解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点的坐标的方程或方程组求解即可．
共线
相等
[跟进训练]
1．(1)设d1与d2都是直线l的方向向量，则下列关于d1与d2的叙述正确的是(　　)
A．d1＝d2 B．d1与d2同向
C．d1∥d2 D．d1与d2有相同的位置向量
(2)已知两点A(1，－2，3)，B(2，1，－1)，则AB连线与xOz平面的交
点坐标是__________．
√
(1)C　(2)　[(1)根据直线的方向向量的定义可知，直线l的方向向量都应该是共线的．
(2)设交点坐标为P(x，0，z)，则由A，P，B三点共线可设＝λ，得(x－1，2，z－3)＝λ(1，3，－4)，
即解得
故AB连线与xOz平面的交点坐标是.]
类型2　利用向量法求解直线的位置关系
角度1　利用直线的方向向量判定两直线的位置关系
【例2】　设a，b分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系．
(1)a＝(2，－2，－2)，b＝(6，－6，－6)；
(2)a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3，2)；
(3)a＝(0，0，－1)，b＝(0，0，4)．
[解]　(1)显然有b＝3a，即a∥b，∴l1∥l2.
(2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(3)显然b＝－4a，即a∥b，故l1∥l2.
发现规律　利用两直线的方向向量判断两直线的位置关系的方法
若直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．(注：下面的λ，k∈R)
(1)如果l1∥l2，那么u1∥u2 u1＝λu2 (a1，b1，c1)＝_________________；
(2)如果l1⊥l2，那么u1⊥u2 u1·u2＝0 __________________＝0.
λ(a2，b2，c2)
a1a2＋b1b2＋c1c2
[跟进训练]
2．(源自北师大版教材例题)在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，0)，B(2，3，3)，C(0，1，2)，点D为直线AB上的一点，且CD⊥AB，求.
[解]　依题意知＝(1，2，3)，＝(1，0，－2)．
因为点D是直线AB上的一点，所以存在实数λ，使得＝λ，则
＝＝＋λ＝(1＋λ，2λ，－2＋3λ)．由CD⊥AB，得＝0，即(1＋λ)＋2(2λ)＋3(－2＋3λ)＝0，
解得λ＝，所以＝.
角度2　向量法证明两直线平行或异面
【例3】　【链接教材P31例1】
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点．求证：MN∥AD′.
[证明]　(法一：基向量法)设＝a，＝b，＝c，
则＝(a＋c)，＝c＋(a＋b)，
所以＝＝(b＋c)．
又因为b＋c＝，所以＝，
所以∥，
因为M不在平面ADD′A′内，
所以MN∥AD′.
(法二：坐标法)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，D′(0，2，2)，M(1，0，1)，N(1，1，2)，
所以＝(0，2，2)，＝(0，1，1)，
所以＝，
所以∥，
因为M不在平面ADD′A′内，
所以MN∥AD′.
[母题探究]
1．(变问法)本例条件不变，证明：MN与CD′不平行．
[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则C(2，2，0)，D′(0，2，2)，M(1，0，1)，N(1，1，2)，
所以＝(－2，0，2)，＝(0，1，1)，
不存在λ∈R，使＝λ，
所以与不平行，故MN与CD′不平行．
2．(变问法)本例条件不变，问MN与CD′是否为异面直线．
[解]　由探究1可知＝(－1，1，0)，
设＝λ＋μ，
则(－2，0，2)＝λ(0，1，1)＋μ(－1，1，0)，
所以(－2，0，2)＝(－μ，λ＋μ，λ)，
即，无解．
所以不存在这样的λ，μ，
使＝λ＋μ.
故不共面，
所以MN与CD′是异面直线．
【教材原题·P31例1】
【例1】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，求证：直线BD1与直线CE不平行．
[证明]　以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图1-2-3所示的空间直角坐标系．则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，C(0，1，0)，E，所以＝(－1，－1，1)，＝.
又因为≠，所以与不平行．
因为为直线BD1的一个方向向量，为直线CE的一个方向向量，当BD1∥CE时，必有∥.由上可知直线与直线CE不平行．
反思领悟　利用向量法证明线线平行的依据与思路
证明线线平行的依据：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)．
利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．
[跟进训练]
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP.
[证明]　(法一)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)，E，M，所以＝(－1，0，1)，＝，所以＝，故MN∥AP.
(法二)由题意可得＝＝＝)＝＝＝)＝，所以MN∥AP.
角度3　利用向量法证明两直线垂直
【例4】　(源自人教A版教材例题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥DA1.
[思路导引]　要证明EF⊥DA1，只要证明⊥，即证＝0.我们只要用坐标表示，并进行数量积运算即可．
[证明]　不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则
E，F，
所以＝.
又A1(1，0，1)，D(0，0，0)，所以＝(1，0，1)．
所以＝·(1，0，1)＝0，
所以⊥，即EF⊥DA1.
反思领悟　向量法证明线线垂直的方法
(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.
(2)基向量法：利用向量的加、减、数乘运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.
[跟进训练]
4．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2, ∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.
[证明]　由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B(0，0，0)，A(0，－1，)，D(，－1，0)，C(0，2，0)，所以E，F，
所以＝＝(0，2，0)，
所以＝0，所以⊥，
即EF⊥BC.
类型3　利用向量法求异面直线所成角的大小(或余弦值)
【例5】　如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点，求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
[解]　以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系如图，
则由题意知A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，4)，D(1，1，0)，C1(0，2，4)，
所以＝(2，0，－4)，＝(－1，1，4)，
所以cos 〈〉＝＝＝
－，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦
值为.
反思领悟　用向量法求异面直线所成的角
(1)确定空间两条直线的方向向量．
(2)求两个向量夹角的余弦值．
(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角或直角时，即为两直线的夹角．当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
[跟进训练]
5．如图所示，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为a，高PO的长也为a，E，F分别是PD，PA的中点，求异面直线AE与BF所成角的余弦值．
[解]　如图，以O为原点，过O点平行于AB，BC的直线为x轴、y轴，PO为z轴建立空间直角坐标系．
由已知得A，B，E，F，
所以＝＝，
所以cos 〈〉＝
＝＝.
所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为.
1．已知直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，m，－1)，b＝(－2，1，1)，若l1⊥l2，则m＝(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．0　　　　D．3
学习效果·课堂评估夯基础
√
D　[因为l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝0，所以1×＋m×1＋×1＝0，则m＝3.]
2．已知O为坐标原点，且A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若＝，则点C的坐标是(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[由题意得＝(－3，7，－5)，∴＝(－3，7，－5)＝，∴点C的坐标是.故选B.]
3．已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[＝＝＝，
因为||＝，||＝1，且＝·()＝－，所以cos 〈〉＝＝＝－，故异面直线BD与AC所成角的余弦值为.]
4．(教材P37练习B T3改编)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为_________ .
　[以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图，
设正方体的棱长为2，
则B1(2，2，2)，M(1，1，0)，
D1(0，0，2)，N(1，0，0)，
∴＝(－1，－1，－2)，＝(1，0，－2)，
∴cos 〈〉＝＝.]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线的方向向量有何特点？
[提示]　(1)非零性：直线的方向向量是非零向量．
(2)不唯一性：直线l的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量.
(3)给定空间中的任一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．
2．如何利用空间向量证明两直线平行、异面或垂直？
[提示]　(1)证明两直线平行一般转化为证明两直线的方向向量共线．
(2)证明两直线异面一般转化为证明两直线的方向向量与两直线上两点连线的方向向量不共面．
(3)证明两直线垂直一般转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.
3．求异面直线所成角的常用方法有哪些？
[提示]　在解决空间中直线与直线所成角的问题时，既可构造相应的角求解，也可以借助空间向量求解，建立空间直角坐标系或选择合适的基底都能解决问题．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．已知点A(2，3，4)，B(1，2，1)，＝3，且O为坐标原点，则C点的坐标为(　　)
A．(6，8，9)　　　　　 B．(6，9，12)
C．(7，11，13) D．(－7，－11，－13)
课时分层作业(四)　空间中的点、直线与空间向量
C　[设C(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)，＝(2，3，4)，所以3＝(6，9，12)，由＝3，
得所以所以C(7，11，13)．]
题号
1
3
5
2
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6
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7
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15
题号
2
1
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4
5
6
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11
12
13
√
14
15
2．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝15
C．x＝，y＝ D．x＝6，y＝
D　[由题意可知a∥b，显然x≠0，y≠0，所以＝＝，解得x＝6，y＝.]
3．(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(3，2，5)，B(－1，1，9)，则与垂直的向量的坐标可以为(　　)
A．(1，2，4) B．(1，4，2)
C．(2，－4，－1) D．(－2，4，－1)
√
题号
2
1
3
4
5
6
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14
15
BD　[＝(－4，－1，4)，设a＝(x，y，z)与垂直，则有·a＝0，
即有－4x－y＋4z＝0，由选项可知：只有BD满足上式．故选BD.]
√
√
4．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2，则异面直线BC与AE所成的角的大小为(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
1
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5
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15
A　[如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，E(1，，1)，所以＝(1，，1)，＝(0，2，0)．设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又异面直线所成角的取值范围为，
故异面直线BC与AE所成的角为.]
题号
2
1
3
4
5
6
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14
15
√
5．(多选题)已知a＝(1，－1，1)是直线l1的一个方向向量，b＝(2，2，－2)是直线l2的一个方向向量，则下列说法正确的是(　　)
A．a·b＝－2
B．l1∥l2
C．l1⊥l2
D．直线l1，l2夹角的余弦值为
题号
2
1
3
4
5
6
8
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13
14
15
√
AD　[因为向量a＝(1，－1，1)是直线l1的一个方向向量，b＝(2，2，－2)是直线l2的一个方向向量，a·b＝(1，－1，1)·(2，2，－2)＝1×2＋(－1)×2＋1×(－2)＝－2，所以A正确；设a＝λb，可得(1，－1，1)＝λ(2，2，－2)，则此时方程组无解，所以B不正确；因为a·b＝－2，所以l1与l2不垂直，所以C不正确；由a·b＝－2，可得|cos 〈a，b〉|＝＝，所以D正确．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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15
二、填空题
6．已知异面直线m，n的方向向量分别为a＝(2，－1，1)，b＝(1，λ，1)，若异面直线m，n所成角的余弦值为，则λ的值为__________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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14
15
　[由题意知，
|cos 〈a，b〉|＝＝＝，两边平方并化简，得6λ＝7，解得λ＝.]
7．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，设异面直线AD与BE所成的角为θ，且cos θ＝，则该四面体的体积为__________．
题号
2
1
3
4
5
6
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12
13
14
15
　
　[以B为原点，BC，BA，BD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a(a>0)，则B(0，0，0)，A(0，1，0)，E，D(0，0，a)，∴＝(0，－1，a)，＝，
∴cos θ＝＝＝，
∴a＝2(负值舍去)，
∴该四面体的体积为×1×1×2＝.]
题号
2
1
3
4
5
6
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15
8．设l1的一个方向向量a＝(1，3，－2)，l2的一个方向向量b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m＝_____，l3的一个方向向量c＝(1，3，n)，若l1∥l3，则n＝________.
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
　
－2　
　－2　[若l1⊥l2，则a·b＝0，
即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，
所以2m＝9－4＝5，即m＝.
若l1∥l3，则＝＝，解得n＝－2.]
题号
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三、解答题
9．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点M，N分别在线段PB，DC上(不与端点重合)，且满足＝λ＝λ，其中λ>0.是否存在实数λ，使MN是PB，DC的公垂线段？若存在，求出实数λ的值；若不存在，
请说明理由．
题号
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[解]　以点A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0，0，1)，B(1，0，0)，D(0，，0)，C(1，，0)．
题号
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假设存在满足条件的实数λ.
因为＝λ＝λ＝(－1，0，1)，＝(1，0，0)，
所以＝＝，
＝＝，
所以M，N，
所以＝.
题号
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当MN是PB，DC的公垂线段时，
即此时方程组无解，即假设不成立，所以不存在满足条件的实数λ.
题号
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√
10．(教材P37练习B T3改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
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D　[以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则B(0，0，2)，P(1，1，0)，D1(2，2，0)，A(0，2，2)，＝(－1，－1，2)，＝(2，0，－2)．设直线PB与AD1所成的角为θ，则
cos θ＝＝＝.因为θ∈，所以θ＝，故选D.]
题号
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√
11．(多选题)已知空间中的四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)，D(－1，3，4)，下列说法中正确的有(　　)
A．⊥ B．AB∥CD
C．A，B，C三点共线 D．A，B，C，D四点共面
题号
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√
√
ABD　[易知＝(－1，0，2)，＝(0，2，0)，＝(－2，2，4)，＝(－1，0，2)，＝(－1，2，2)．
因为＝0，所以⊥，故选项A正确；
因为＝，所以AB∥CD，故选项B正确；
因为≠λ，所以A，B，C三点不共线，故选项C错误；
易知当＝λ＋μ时，A，B，C，D共面，
即(－1，2，2)＝λ(－1，0，2)＋μ(－2，2，4)，
所以(－1，2，2)＝(－λ－2μ，2μ，2λ＋4μ)，
题号
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所以
解得
所以＝－，所以A，B，C，D共面，故选项D正确．
故选ABD.]
题号
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12．△ABC的三个顶点分别是A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD长为__________.
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5　[因为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，所以＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，
因为点D在直线AC上，所以设＝λ＝(0，4λ，－3λ)，由此可得＝＝(0，4λ，－3λ)－(4，－5，0)＝(－4，4λ＋5，－3λ)，又因为⊥，
5
所以＝－4×0＋(4λ＋5)×4＋(－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝－.
因此＝(－4，4λ＋5，－3λ)＝，
可得||＝＝5.]
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13．在棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是__________，线段EF的长度为__________.
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a　[设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个基底，
所以|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝b·c＝c·a＝a·a·cos 60°＝a2，
因为＝＝(a＋b)－c，
所以＝a2＋a·b－a·c＝a2＝a2，
||＝＝
＝＝a.
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所以cos 〈〉＝＝＝，
所以异面直线EF与AB所成的角为.]
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14．在①()⊥()，②||＝，③0问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为(0，0，2)，E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，__________，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求的值；若不存在，
请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答
计分．
题号
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[解]　由题意得，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，
则A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，
设E(0，a，2)(0≤a≤2)，F(b，2，2)(0≤b≤2)，
则＝(b，2－a，0)，＝(－2，2，－2)，＝(－2，a，2)，＝(b－2，0，2)，则＝4－2(a＋b)，＝8－2b.
若选①：()⊥()，则＝，故a＝b，
若EF⊥A1C，则＝4－2(a＋b)＝0，解得a＝b＝1，
故存在点E(0，1，2)，F(1，2，2)使得EF⊥A1C，
此时＝8－2b＝6.
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若选②：||＝，则＝，解得a＝，
若EF⊥A1C，则＝4－2(a＋b)＝0，解得b＝，
故存在点E，F，使得EF⊥A1C，
此时＝8－2b＝5.
若选③：0所以b≠2－a，即a＋b≠2，所以＝4－2(a＋b)≠0，
故不存在点E，F使得EF⊥A1C.
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15．如图，在棱长为2的正方体AC1中，点E，F分别是BC，C1D1的中点，点G在AB上，AB＝3BG.
(1)已知上底面A1C1内一点H满足GH∥EF，求A1H的长．
(2)棱A1D1上是否存在一点K，使得GK，EF共面？
若存在，求A1K的长；若不存在，请说明理由．
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[解]　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，
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则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2) .
(1)因为AB＝3BG，点E，F 分别是BC，C1D1 的中点，
所以G，E(1，2，0)，F(0，1，2) ，设H(λ，μ，2)(λ，μ∈[0，2])，则＝(－1，－1，2) ，
＝ ，
因为GH∥EF ，所以＝＝，
解得λ＝1，μ＝，
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所以H，
所以＝ ，
所以＝＝ ，
即A1H 的长为 .
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(2)假设存在满足条件的点K，设K(a，0，2)(0≤a≤2) ，
则＝＝.
因为GK，EF共面，所以存在实数x，y 满足＝x＋y ，
即＝x＋y(－1，－1，2)，
得
解得a＝，所以K，
所以＝＝，
所以存在点K，使得GK，EF共面，且A1K的长为.
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谢 谢！