【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.2 空间中的平面与空间向量 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共89张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章　
空间向量与立体几何
1.2　空间向量在立体几何中的应用
1.2.2　空间中的平面与空间向量
学习任务 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(数学抽象)
2．会用平面的法向量、直线的方向向量证明直线与平面、平面与平面的平行、垂直问题．(数学运算、逻辑推理)
3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(逻辑推理)
牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝，在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　平面的法向量
(1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个______向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α______，则称n为平面α的一个法向量．此时也称n与平面α垂直，记作______．
非零
垂直
n⊥α
(2)性质：如果A，B是平面α上的任意不同两点，n为平面α的一个法向量，则
1 若直线l垂直平面α，则l的任意一个方向向量都是平面α的法向量
2 对任意实数λ≠0，λn也是平面α的一个法向量
3
垂直
思考　平面α的法向量唯一吗？它们有什么共同特征？
[提示]　不唯一，彼此平行．
知识点2　空间线面位置关系与空间向量
(1)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，当n∥v时，l与α______；当n⊥v时，l与α______，或者l在α内．
(2)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，当n1⊥n2时，α1与α2______；当n1∥n2时，α1与α2______，或者α1与α2______．
垂直
平行
垂直
平行
重合
知识点3　三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的__________在该平面内的______垂直，则它也和这条______垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的__________和这个平面的__________垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
一条斜线
射影
斜线
一条直线
一条斜线
1．已知平面α内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则a＝(　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1
C　[因为M(1，－1，2)，N(a，3，3)，所以＝(a－1，4，1)，因为平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，所以n⊥，则n·＝6(a－1)－3×4＋6＝0，解得a＝2.]
√
2．平面α的一个法向量为a＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为b＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系为(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
C　[因为(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，所以两法向量垂直，从而两平面垂直．]
√
3．空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，平面ABC的一个法向量是________________________．
(1，－2，5)(答案不唯一)　[因为A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，所以＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
，取x＝1，得n＝(1，－2，5)．]
(1，－2，5)(答案不唯一)
4．已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，则AB与PC的位置关系是__________．
垂直　[因为O为△ABC的垂心，所以CO⊥AB.
又因为OC为PC在平面ABC内的射影，
所以由三垂线定理知AB⊥PC.]
垂直
类型1　求平面的法向量
【例1】　(源自人教A版教材例题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面MCA1的法向量．
关键能力·合作探究释疑难
[思路导引]　(1)平面BCC1B1与y轴垂直，其法向量可以直接写出；(2)平面MCA1可以看成由中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．
[解]　(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1＝(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量．
(2)因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2)．因此＝(－3，2，0)，＝(0，－2，2)．
设平面MCA1的一个法向量是n2＝(x，y，z)，则n2⊥，n2⊥.
所以所以
取z＝3，则x＝2，y＝3.于是n2＝(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量．
反思领悟　利用待定系数法求法向量的解题步骤
[跟进训练]
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量能作为平面AEF的法向量的是(　　)
A．(1，－2，4)
B．(－4，1，－2)
C．(2，－2，1)
D．(1，2，－2)
√
B　[设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(1，0，2)，∴＝(0，2，1)，＝(－1，0，2)．
设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
令y＝1，
则x＝－4，z＝－2，∴n＝(－4，1，－2)可作为平面AEF的一个法向量．故选B.]
类型2　利用法向量证明空间中的位置关系
角度1　向量法证明平行问题
【例2】　【链接教材P39例1】
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
[证明]　(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1)．
设平面ADE的一个法向量是n1＝(x1，y1，z1)，则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2)为平面ADE的一个法向量．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.
又因为FC1 平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)＝(2，0，0)．设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥，n2⊥，
得解得
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)为平面B1C1F的一个法向量．
因为n1＝n2，即n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
【教材原题·P39例1】
【例1】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B与A1C1的中点．求证：MN∥平面ADD1A1.
[证明]　以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图1-2-14所示的空间直角坐标系．
则B(1，0，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，
又因为M是A1B的中点，所以M的坐标为＝，即M.类似地，可得N.因此＝.
又因为AB⊥平面ADD1A1，所以是平面ADD1A1的一个法向量，而且＝(1，0，0)，因此＝0×1＋×0＋×0＝0，
即⊥，由图可知MN不在平面ADD1A1内，因此MN∥平面ADD1A1.
反思领悟　证明线面、面面平行问题的方法
(1)用向量法证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内．②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内．③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．当然要注意当法向量坐标中有0时，要使用n1＝λn2这一形式．
[跟进训练]
2．(1)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点．当点Q在什么位置时，BQ∥平面PAO
(2)若Q是CC1的中点，求证：平面D1BQ∥平面PAO.
[解]　(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，
则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)．
设Q(0，2，c)，所以＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，1)，＝(－2，0，c)，＝(－2，－2，2)．
设平面PAO的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
令x＝1，则y＝1，z＝2.
所以平面PAO的一个法向量为n＝(1，1，2)．
若BQ∥平面PAO，则n⊥BQ，
所以n·＝0，即－2＋2c＝0，
所以c＝1，
故当Q为CC1的中点时，BQ∥平面PAO.
(2)证明：若Q为CC1的中点，则Q(0，2，1)，
所以＝(－2，0，1)，＝(2，2，－2)，
设平面D1BQ的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
令x2＝1，则y2＝1，z2＝2，
所以平面D1BQ的一个法向量n2＝(1，1，2)，
又由(1)可知平面PAO的一个法向量为n1＝(1，1，2)．
所以n1＝n2，所以n1∥n2，
所以平面D1BQ∥平面PAO.
角度2　向量法证明垂直问题
【例3】　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE.
[思路导引]　(1)先建立空间直角坐标系，再确定的坐标，计算＝0，得AE⊥CD.
(2)求平面ABE的一个法向量n，通过＝kn(k∈R)证明PD⊥平面ABE或确定的坐标，计算，由＝0，＝0，得⊥⊥，所以PD⊥平面ABE.
[证明]　(1)∵AB，AD，AP两两垂直，∴以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
设PA＝AB＝BC＝1，
则P(0，0，1)．
∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，
∴C，E.
设D(0，t，0)，则＝＝.
由AC⊥CD，得＝0，
∴＝0，
解得t＝，
∴D，
∴＝.
又∵＝，
∴＝－＝0，
∴⊥，即AE⊥CD.
(2)(法一)∵＝(1，0，0)，＝，
∴设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由
得
令y＝2，则z＝－，∴n＝(0，2，－)为平面ABE的一个法向量．
∵＝，∴＝n.
∴∥n，∴PD⊥平面ABE.
(法二)由(1)可知＝.
又∵＝×(－1)＝0，
∴⊥，即PD⊥AE.
又∵＝(1，0，0)，∴＝0，
∴PD⊥AB.
又AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABE.
反思领悟　(1)证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直．
(2)用向量证明线线垂直的基本方法是把两直线的方向向量表示出来，然后证明向量的数量积等于0.也可建立适当的坐标系，然后正确求出其方向向量的坐标，再证明两个向量的数量积为0.
(3)用向量法证明线面垂直，可通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来完成；而证两平面垂直，则可通过证明两平面的法向量垂直来完成．
提醒：对于容易建系的几何载体要尽量用坐标法处理有关垂直问题，如果只用基向量法解决，涉及的线性运算和数量积运算比较复杂，而建系后只需一切交给坐标即可.
[跟进训练]
3．(源自人教A版教材练习题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面EAD1⊥平面EFD1.
[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，
E(0，1，0)，F，
∴＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，1)，＝.
设平面EAD1的一个法向量是n1＝(x1，y1，z1)，
则
∴
取x1＝1，则y1＝1，z1＝1，
∴n1＝(1，1，1)为平面EAD1的一个法向量．
设平面EFD1的一个法向量是n2＝(x2，y2，z2)，
则
∴
取x2＝2，则y2＝－1，z2＝－1，
∴n2＝(2，－1，－1)为平面EFD1的一个法向量．
又n1·n2＝1×2＋1×(－1)＋1×(－1)＝0，
∴n1⊥n2，∴平面EAD1⊥平面EFD1.
类型3　三垂线定理及其逆定理的应用
【例4】　【链接教材P42例3、例4】
在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB.
[证明]　如图，过点P作PH⊥平面ABC，垂足为H，连接AH并延长交BC于点E，连接BH并延长交AC于点F.
∵PH⊥平面ABC，PA⊥BC，斜线段PA在平面ABC内的射影为线段AH，
∴由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH.
同理可证BH⊥AC.
则H为△ABC的垂心，连接CH并延长交AB于点G，于是CG⊥AB，而线段CH是斜线段PC在平面ABC内的射影，故PC⊥AB.
【教材原题·P42例3、例4】
【例3】　如图1-2-18所示，已知ABCD-A1B1C1D1是一个正方体，求证：A1D⊥BD1.
[证明]　连接AD1.
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AB⊥平面ADD1A1，因此BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1.
又因为ADD1A1是正方形，所以A1D⊥AD1，因此根据三垂线定理可知A1D⊥BD1.
【例4】　如图1-2-19所示的三棱锥O-ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD为△CAB的AB边上的高，求证：OD⊥AB.
[证明]　因为CO⊥OA，CO⊥OB，OA∩OB＝O，所以CO⊥平面OAB.
因此CD在平面OAB内的射影为OD，又因为CD⊥AB，所以根据三垂线定理的逆定理可知OD⊥AB.
反思领悟　(1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明．
(2)当图形比较复杂时，要认真观察图形，证明题的思维过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证”是证直线垂直于射影或斜线．
[跟进训练]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：B1O⊥PA.
[证明]　如图，由题意可得PA是平面BB1D1D的一条斜线段，B1O是平面BB1D1D内的一条线段．
由条件可知，AO⊥平面BB1D1D，则PO为PA在平面BB1D1D内的射影．
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B1D1＝，D1P＝，DP＝，DO＝，BO＝，BB1＝1，
所以B1P＝，PO＝，B1O＝，
所以PO2＋B1O2＝B1P2，所以PO⊥B1O.
根据三垂线定理可得B1O⊥AP.
1．已知平面α的一个法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．－4
C．5 D．－5
学习效果·课堂评估夯基础
√
D　[因为α⊥β，所以a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)·k＝0，所以k＝－5.]
2．已知u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的一个法向量．若l⊥α，则＝__________．
－5　[∵l⊥α，∴u∥n，
∴＝＝，故，
解得∴＝－5.]
－5
3．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝__________．
－9　[由题意知u⊥v，所以u·v＝3＋6＋z＝0.所以z＝－9.]
4．设平面α的一个法向量的坐标为(1，2，－2)，平面β的一个法向量的坐标为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于__________．
4　[因为α∥β，所以两平面的法向量平行，所以＝＝，所以k＝4.]
－9　
4
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面的法向量有何特点？
[提示]　设向量n是平面α的一个法向量，则
(1)n是一个非零向量．
(2)向量n与平面α垂直．
(3)平面α的法向量有无数多个，它们都与向量n平行，方向相同或相反．
(4)给定空间中任意一点A和非零向量n，可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面.
2．用向量法证明空间线面平行和垂直问题有何优势？
[提示]　利用向量法来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，不必观察图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到证明的结果．
3．利用三垂线定理证明线线垂直的步骤是什么？
[提示]　(1)找平面(基准面)及平面的垂线．
(2)找射影线(平面上的直线与斜线)．
(3)证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．若平面α与β的法向量分别是a＝(2，4，－3)，b＝(－1，2，2)，则平面α与β的位置关系是(　　)
A．平行　　　 　　　 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
课时分层作业(五)　空间中的平面与空间向量
B　[a·b＝(2，4，－3)·(－1，2，2)＝－2＋8－6＝0，
所以a⊥b，所以平面α与平面β垂直．]
题号
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题号
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13
√
14
15
2．(多选题)点P0(1，2，3)在平面α内，平面α＝{P|n·＝0}，其中n＝(1，1，1)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是
(　　)
A．(2，－4，8) B．(3，4，5)
C．(3，2，1) D．(－2，5，4)
AC　[设P(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－3)，由n·＝0，得x－1＋y－2＋z－3＝0，即x＋y＋z＝6.结合选项知选AC.]
√
3．平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，则平面α的一个法向量可以是(　　)
A．(1，0，1) B．(1，0，－1)
C．(0，1，1) D．(－1，1，0)
√
题号
2
1
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15
D　[因为平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，
所以＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，
设平面α的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
取x＝－1，得n＝(－1，1，0)，
所以平面α的一个法向量可以是(－1，1，0)．]
题号
2
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15
√
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，B1C1的中点，以下说法正确的是(　　)
A．A1E∥平面CC1D1D
B．A1E⊥平面BCC1B1
C．A1E∥D1F
D．A1E⊥D1F
题号
2
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15
A　[由长方体的性质有平面ABB1A1∥平面CC1D1D，又A1E 平面ABB1A1，所以A1E∥平面CC1D1D，故选项A正确；
因为E为棱BB1的中点，且A1B1⊥BB1，所以A1E与BB1不垂直，
所以若A1E⊥平面BCC1B1，则A1E⊥BB1，这与A1E和BB1不垂直相矛盾，故选项B错误；
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
题号
2
1
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4
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15
设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A1(a，0，c)，E，D1(0，0，c)，F，
所以＝＝.
因为与不是共线向量，且＝b2>0，
所以A1E与D1F不平行，且A1E与D1F不垂直，故选项C，D错误．故选A.]
题号
2
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15
√
5．(多选题)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(　　)
A．若两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，－2，－1)，b＝(－2，－2，1)，则l1∥l2
B．若直线l的方向向量是a＝(1，1，2)，平面α的一个法向量是n＝(－2，－2，－4)，则l⊥α
C．若直线l的方向向量是a＝(0，2，0)，平面α的一个法向量是n＝(－2，0，2)，则l∥α
D．若两个不同的平面α，β的法向量分别是m＝(3，－4，2)，n＝(－2，0，3)，则α⊥β
题号
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15
√
BD　[对于A，因为向量a，b不共线，所以l1，l2不平行，故A不正确；
对于B，因为n＝－2a，所以a∥n，故B正确；
对于C，因为a·n＝0×(－2)＋2×0＋0×2＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l α，故C不正确；
对于D，因为m·n＝－6＋0＋6＝0，所以α⊥β，故D正确．
故选BD.]
题号
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二、填空题
6．已知直线l∥平面α，且直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，则m＝_________.
题号
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－8　[因为直线l∥平面α，所以直线l的方向向量与平面α的一个法向量垂直，即2×1＋m×＋1×2＝0，所以m＝－8.]
－8
7．在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的一个法向量，则y＋z＝__________.
题号
2
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1　[＝(1，1，0)，＝(－1，－1，－2)，
因为a＝(－1，y，z)为平面ABC的一个法向量，
所以a·＝0，a·＝0，
所以－1＋y＝0，1－y－2z＝0，
联立解得y＝1，z＝0，所以y＋z＝1.]
1　
8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：填写一个正确的答案即可)
题号
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DM⊥PC(答案不唯一)　
DM⊥PC(答案不唯一)　[连接AC(图略)，因为底面各边都相等，所以BD⊥AC.由题意易知，AC为PC在平面ABCD内的射影．又BD⊥AC，由三垂线定理知BD⊥PC，所以当DM⊥PC时，即有PC⊥平面BMD.又PC 平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.]
题号
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三、解答题
9．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
题号
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[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系．
题号
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D是坐标原点，设DC＝a.
(1)连接AC交BD于G，连接EG，
依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E.
因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
所以＝.
又＝(a，0，－a)，所以＝2，
所以PA∥EG.而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a，0)，＝(a，a，－a)，＝，
所以＝0＋＝0，所以⊥，即PB⊥DE.
又已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.
题号
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√
10．(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则以下结论正确的是(　　)
A．EF⊥AC B．EF⊥A1D
C．EF与BD1异面 D．EF∥BD1
题号
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√
√
ABD　[以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
题号
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所以＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)，＝＝(－1，－1，1)，
所以＝－＝0，＝0，
从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.]
题号
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11．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在B1P上，则(　　)
题号
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√
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P靠近点P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．在B1P上不存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
题号
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D　[以A1为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A1xyz(图略)，则A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，所以＝(1，0，1)，＝＝(－1，2，0)，＝.设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取z
题号
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＝－2，则x＝2，y＝1，所以n＝(2，1，－2)为平面A1BD的一个法向量．假设在B1P上存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD，设＝λ，则＝(－λ，2λ，0)，所以＝＝.因为也是平面A1BD的一个法向量，所以n＝(2，1，－2)与＝共线，则有＝－1＋2λ＝，此时λ无解，故在B1P上不存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD.故选D.]
题号
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12．设u＝(－1，2，4)，v＝(t，－1，－2)(t∈R)分别是平面α，β的法向量．若α∥β，则t＝__________；若α⊥β，则t＝__________．
题号
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　－10　[因为u＝(－1，2，4)，v＝(t，－1，－2)(t∈R)分别是平面α，β的法向量，
所以若α∥β，则u∥v，所以＝＝，即t＝；
若α⊥β，则u⊥v，所以－t－2－8＝0，即t＝－10.]
　
－10　
13．如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图(2)所示的立体图形，且以E为坐标原点建立空间直角坐标系Exyz.在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF，则平面CDF的一个
法向量n＝_____________________，
EG＝__________．
题号
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(－1，2，1)(答案不唯一)　
　
(－1，2，1)(答案不唯一)　　[由题意，得E(0，0，0)，A(0，0，2)，D(0，2，2)，F(0，3，0)，C(2，4，0)，＝(0，1，－2)，＝(2，2，－2)，＝(2，4，0)．设平面DFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即不妨令z＝1，可得n＝(－1，2，1)为平面DFC的一个法向量．设＝λ＝(2λ，4λ，0)，0≤λ≤1，
题号
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则G(2λ，4λ，0)，＝(2λ，4λ，－2)．
因为AG∥平面CDF，所以⊥n，则·n＝－2λ＋8λ－2＝0，解得λ＝，即＝，故EG＝||＝.]
题号
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14．在空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，若A在PB，PC上的射影分别为E，F.求证EF⊥PB.
题号
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[解]　因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因为AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
而AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又因为F是点A在PC上的射影，
所以AF⊥PC，
又BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC.
所以AE在平面PBC内的射影为EF.
又因为E为A在PB上的射影，所以AE⊥PB.
由三垂线定理的逆定理知EF⊥PB.
题号
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15．(源自人教A版教材例题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1
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[解]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以＝
(－3，4，0)，＝(－3，0，2)．
设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以
取z＝6，则x＝4，y＝3.所以，n＝(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量．
题号
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由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，－2)．设点P满足＝λ(0≤λ≤1)．则＝(－3λ，0，－2λ)，所以＝＝(－3λ，4，－2λ)．
令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0.解得λ＝，这样的点P存在．
所以，当＝，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1.
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谢 谢！