【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.3 直线与平面的夹角 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共97张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章　
空间向量与立体几何
1.2　空间向量在立体几何中的应用
1.2.3　直线与平面的夹角
学习任务 1．理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．(数学抽象)
2．会求直线与平面的夹角．(数学运算)
赛艇是一项通过桨和桨架进行简单杠杆作用使舟艇前进的划水运动．划杆与水平面所成角的大小，直接关系到赛艇的速度．如何确定划杆与水平面所成角，正是我们这一节学习的内容．
必备知识·情境导学探新知
知识点1　直线与平面所成的角
知识点2　最小角定理
思考　1．平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？
[提示]　是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．
知识点3　用空间向量求直线与平面的夹角
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝____________或θ＝____________，特别地cos θ＝_______________或sin θ＝___________________．
思考　2．直线l的方向向量v与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
－〈v，n〉
[提示]　不是．直线和平面的夹角为.
〈v，n〉－
sin 〈v，n〉
|cos 〈v，n〉|
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角． (　　)
(2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角． (　　)
(3)斜线与平面的夹角为. (　　)
×
√
×
[提示]　(1)×　角的度数还可以是零度．
(2)√　根据斜线与平面所成的角的定义知正确．
(3)×　斜线与平面的夹角为.
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A．120°　　　　 B．60°
C．30° D．以上均错
√
C　[设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，又因为0°≤θ≤90°，所以θ＝30°.]
3．(教材P48练习B T2改编)若PA，PB，PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面PAB所成角的余弦值为__________．
　[设PC与平面PAB所成的角为θ，则PC在平面PAB内的射影在∠APB的平分线上，所以cos 60°＝cos θcos 30°，得cos θ＝.]
　
4．若平面α的一个法向量为n＝(－，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(，1，1)，则l与α所成角的正弦值为__________．
　[由题，设l与α所成角为θ，可得sin θ＝cos 〈n，a〉＝＝＝.]
　
类型1 公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用
【例1】　如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AA1＝a，求证：A1O⊥平面ABCD.
关键能力·合作探究释疑难
[思路导引]　先找出A1A与平面ABCD所成的角θ1，再利用公式cos θ＝cos θ1cos θ2得到A1A与平面ABCD所成角的余弦值，从而求得A1A cos θ1＝AO, 即点A1在平面ABCD内的射影为O点．
[证明]　∵菱形ABCD的边长为a，且∠BAD＝60°，∴AC为∠BAD的平分线，且AO＝a.
又∵∠A1AB＝∠A1AD，
∴A1A在平面ABCD内的射影在AC上，记∠A1AC＝θ1，则∠BAO＝30°，
cos θ1＝＝＝，
∴A1A cos θ1＝a×＝a＝AO，
即点A1在平面ABCD上的射影为O点，
∴A1O⊥平面ABCD.
发现规律　常用的一个结论：若∠AOB＝∠AOC，且AO为平面BOC的一条斜线，则AO在平面BOC内的射影平分_______及其对顶角．
∠BOC
[跟进训练]
1．如图所示，∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．
[解]　法一：
因为∠AOB＝∠AOC＝60°，
所以OA在平面α内的射影在∠BOC的平分线上，
作∠BOC的平分线OH交BC于点H，连接AH，OH，
又OB＝OC＝a，BC＝a，
所以∠BOC＝90°.故∠BOH＝45°，
由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2，
得cos ∠AOH＝＝，
所以OA与平面α所成的角为45°.
法二：因为OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，所以AB＝AC＝a.
又因为BC＝a，所以AB2＋AC2＝BC2.所以△ABC为等腰直角三角形．
同理△BOC也为等腰直角三角形．取BC的中点为H，连接AH，OH，(同法一图)
所以AH＝a，OH＝a，AO＝a，AH2＋OH2＝AO2，
所以△AHO为等腰直角三角形，所以AH⊥OH.
又因为AH⊥BC，OH∩BC＝H，所以AH⊥平面α.
所以OH为AO在平面α内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．
在Rt△AOH中，sin ∠AOH＝＝.所以∠AOH＝45°，所以OA与平面α所成的角为45°.
类型2 用定义法求直线与平面所成角的问题
【例2】　如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC所成角
的正弦值．
[思路导引]　用定义法求直线与平面所成角的步骤
[解]　(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC 平面PAC，
PA 平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
(2)取PC的中点E，连接DE.
因为D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC.
连接AE，则AE是AD在平面PAC内的射影，所以∠DAE是直线AD与平面PAC所成的角．设PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中．
因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，
所以BC＝，DE＝，
在直角三角形ABP中，AD＝a，
所以sin ∠DAE＝＝＝.
即AD与平面PAC所成角的正弦值为.
[母题探究]
1．(变问法)若本例条件不变，问题(2)改为“D为PB上的一点，且BD＝PB”，试求AD与平面PAC所成角的正弦值．
[解]　由已知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAC，BC⊥PC，过PB的三等分点D作DE∥BC，则DE⊥平面PAC，连接AE，AD，
则∠DAE为AD与平面PAC所成的角，不妨设PA＝AB＝1，因为∠ABC＝60°，
所以BC＝，DE＝＝，PB＝，BD＝.
在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 45°＝，所以AD＝，所以sin ∠DAE＝＝＝.
即AD与平面PAC所成角的正弦值为.
2．(变问法)若本例题(2)条件不变，求AD与平面PBC所成角的正弦值．
[解]　由例题(1)解析知BC⊥平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC.
过A作AE⊥PC.
所以AE⊥平面PBC.
连接ED，则∠ADE为AD与平面PBC所成的角．
设PA＝2a，AB＝2a，所以PB＝2a.故AD＝a.
在△APC中，AP＝2a，
AC＝AB·sin 60°＝2a×＝a，所以PC＝＝a，设∠ACP＝θ，
则AE＝AC·sin θ＝AC×＝a×＝a＝a，
所以sin ∠ADE＝＝＝.
即AD与平面PBC所成角的正弦值为.
发现规律　作直线与平面夹角的一般方法
在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的____．其中关键是作平面的______，此方法简称为“一作，二证，三______”．
角
垂线
计算
[跟进训练]
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为__________．
30°　[如图，连接B1D1交A1C1于点O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C，
30°　
所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成的角，
设正方体的棱长为1，则OB1＝，CB1＝，
所以sin ∠B1CO＝＝，可得∠B1CO＝30°.
即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°.]
类型3　用向量法求直线与平面所成的角
【例3】　【链接教材P47例2】
如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2.求直线OB与平面ABC所成角的正弦值．
[解]　∵OA，OB，OC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵OA＝OC＝3，OB＝2，
∴O(0，0，0)，A(0，0，3)，B(2，0，0)，C(0，3，0)，
∴＝(2，0，0)，＝(2，0，－3)，＝(－2，3，0)．
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，∴
取z＝2，则x＝3，y＝2，
∴n＝(3，2，2)为平面ABC的一个法向量，
∴cos 〈，n〉＝＝＝.
设直线OB与平面ABC所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝.
【教材原题·P47例2】
【例2】　已知ABCD-A′B′C′D′是正方体，求B′D′与平面A′BCD′所成角的大小．
[解]　(方法一)以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图1-2-27所示的空间直角坐标系．
则A′(1，0，1)，B(1，1，0)，D′(0，0，1)，B′(1，1，1)，所以＝(0，1，－1)，＝(－1，0，0)，＝(1，1，0)．
设平面A′BCD′的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
取z＝1，可得n＝(0，1，1)．
又因为cos 〈，n〉＝＝＝，
所以〈，n〉＝，从而可知B′D′与平面A′BCD′所成角的大小为＝.
(方法二)设A′B的中点为E，连接B′E，D′E，如图1-2-28所示．
因为ABB′A′是正方形，所以B′E⊥A′B.
又因为D′A′⊥平面ABB′A′，且B′E 平面ABB′A′，
所以D′A′⊥B′E.再根据D′A′∩A′B＝A′可知B′E⊥
平面A′BCD′.
因此，B′D′在平面A′BCD′内的射影为D′E，
所以∠B′D′E就是B′D′与平面A′BCD′所成角．
因为正方体中有B′D′＝2B′E，
所以在Rt△B′ED′中，sin ∠B′D′E＝，又因为∠B′D′E是一个锐角，所以∠B′D′E＝，
即B′D′与平面A′BCD′所成角的大小为.
反思领悟　用向量法求线面角的步骤
[跟进训练]
3．(源自北师大版教材例题)如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，底面边长为2，AA′＝，求直线AB′与侧面ACC′A′所成角的正弦值．
[解]　由正三棱柱知AA′⊥平面ABC，故以点A为原点，AC，AA′所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直线坐标系如图所示，易知n＝(1，0，0)是平面ACC′A′的一个法向量．
由△ABC是边长为2的正三角形，可得B′(，1，)，所以＝(，1，)．设直线AB′与侧面ACC′A′所成的角为θ，则sin θ＝
|cos 〈，n〉|＝＝，所以直线AB′与侧面ACC′A′所成角的正弦值为.
1．AB⊥平面α于点B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC与平面α所成的角为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[设AC与平面α所成的角为θ，
则cos 60°＝cos θcos 45°，
故cos θ＝，所以θ＝45°.]
2．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为线段A′D′，CC′的中点，则EF与平面ADD′A′所成角的正弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
√
A　[在正方体ABCD-A′B′C′D′中，取DD′的中点N，连接FN，EN(图略)．易得FN⊥平面ADD′A′，所以EN是EF在平面ADD′A′内的射影，所以∠FEN为EF与平面ADD′A′所成的角．令AB＝2，在Rt△ENF中，FN＝2，EN＝，所以EF＝＝，则sin ∠FEN＝＝，所以EF与平面ADD′A′所成角的正弦值为.故选A.]
3．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成角的大小为(　　)
A．　　　　　　　　
B．
C．
D．
√
B　[以D为原点建立空间直角坐标系，如图，则＝(1，1，0)，＝，
设平面BDE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴
∴取x＝1，得y＝－1，z＝2.
可得n＝(1，－1，2)为平面BDE的一个法向量，而＝(0，－1，1)，
∴cos 〈，n〉＝＝，
∴〈，n〉＝.
∴直线A1B与平面BDE所成角的大小为.]
4．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为__________．
　[cos 〈a，n〉＝＝＝，所以l与平面α所成角的正弦值为.]
　
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你是怎样理解公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的？
[提示]　由0≤cos θ2≤1，所以cos θ≤cos θ1，从而θ1≤θ.在公式中，令θ2＝90°，则cos θ＝cos θ1·cos 90°＝0.
所以θ＝90°，此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例．
2．利用向量法求直线与平面所成角的优点是什么？需要注意什么问题？
[提示]　(1)利用向量法求直线与平面所成角的优点在于不需要作出角，只需建立空间直角坐标系，用待定系数法求出平面的法向量，再利用公式sin θ＝|cos 〈v，n〉|求解．
(2)利用向量法求直线与平面所成的角时要注意两点：
①不要认为直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．
②直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值可正可负，要注意直线和平面所成角的范围是.
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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2
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√
14
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一、选择题
1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　)
A．30°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．150°
课时分层作业(六)　直线与平面的夹角
题号
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√
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2．(教材P48练习B T3改编)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(　　)
A． B．
C． D．
C　[连接A1C1交B1D1于O点，
由已知得C1O⊥B1D1，且平面DBB1D1⊥平面A1B1C1D1，
所以C1O⊥平面DBB1D1，连接BO，则BO为BC1在平面DBB1D1上的射影，∠C1BO即为直线BC1与平面DBB1D1所成的角．
C1O＝＝2，BC1＝＝2，
所以sin ∠C1BO＝＝＝.]
题号
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3．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，则直线PB与平面ABCD所成的角θ为
(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
√
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B　[由题意得∠CBD＝45°，∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ.
因为cos ∠PBC＝cos θ·cos ∠CBD，∠PBC＝60°，
即cos 60°＝cos θ·cos 45°，
所以cos θ＝，θ＝45°.]
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√
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为(　　)
A． B．
C． D．
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C　[如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A1BC1的一个法向量为n＝(1，1，1)，＝(1，0，0)，
设直线AD与平面A1BC1所成角为θ，
所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝
＝.]
题号
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√
5．(多选题)如图，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则(　　)
A．直线AD与直线BC所成角的大小为90°
B．直线AC与直线BD所成角的余弦值为
C．直线AD与平面BCD所成角的大小为45°
D．直线CD与平面ABC所成角的大小为60°
题号
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√
√
ABC　[如图所示，过点B在平面BCD内作BE⊥BC交CD于点E，
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过点B在平面ABC内作BF⊥BC交AC于点F，
因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD
＝BC，BF⊥BC，BF 平面ABC，
所以BF⊥平面BCD，同理可得BE⊥平面ABC，
以点B为坐标原点，BE，BC，BF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝BC＝BD＝2，则A(0，－1，)，B(0，0，0)，D(，－1，0)，C(0，2，0)．
对于A选项，＝(，0，－)，＝(0，2，0)，则＝0，所以⊥，
故直线AD与直线BC所成角的大小为90°，A正确；
对于B选项，＝(0，3，－)，＝(，－1，0)，cos 〈〉＝＝－＝－，
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所以直线AC与直线BD所成角的余弦值为，B正确；对于C选项，＝(，0，－)，平面BCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，
cos 〈，m〉＝＝－＝－，所以直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，C正确；对于D选项，＝(，－3，0)，平面ABC的一个法向量为n＝(1，0，0)，cos 〈，n〉＝＝＝，所以直线CD与平面ABC所成角的大小为30°，D错误．]
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二、填空题
6．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为_______ .
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　[如图，侧棱PA⊥底面ABCD，PA 平面PAD，则平面PAD⊥平面ABCD，
题号
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因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD，而平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以CD⊥平面PAD.连接ED，则ED为CE在平面PAD上的射影，
则∠CED为CE与平面PAD所成的角，设PA＝AB＝AD＝2a，则AE＝a，ED＝a，
EC＝＝＝3a.
所以sin ∠CED＝＝＝.
即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为.]
题号
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7．如图，圆锥的高PO＝，底面⊙O的直径AB＝2，C是圆上一点，且∠CAB＝30°，则直线OC与平面PAC的夹角的余弦值为__________．
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　[设点O到平面PAC的距离为d，设直线OC与平面PAC所成角为α，则由等体积法得，V三棱锥O-PAC＝V三棱锥P-OAC，即S△PAC·d＝PO·S△OAC，∴d＝＝，∴sin α＝＝，则cos α＝.]
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8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段AB上，PA＝AD＝AB＝1，当直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时，＝__________ .
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　[因为PA＝AD＝AB＝1，所以AB＝2，又底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
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则有A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，
所以＝(2，0，－1)，＝(2，1，－1)，设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有故y＝0，令x＝1，则z＝2，
所以n＝(1，0，2)为平面PBC的一个法向量，
因为点E在线段AB上，设AE＝a，则E(a，0，0)，
故＝(a，0，－1)，
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因为直线PE与平面PBC所成角的正弦值为，
所以|cos 〈，n〉|＝＝，则有(a－2)2＝a2＋1，解得a＝，
所以＝＝.]
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三、解答题
9．在如图所示的多面体ABCDE中，AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB＝2，EC＝2，F是CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求直线AD与平面BCE所成角的正弦值．
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[解]　(1)证明：因为CD＝AD＝DE＝2，EC＝2，CD2＋DE2＝EC2，所以DE⊥CD，又AB∥DE，所以AB⊥CD，又AB⊥AD，CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ACD.以A为原点，在平面ACD中，过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，
题号
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则A(0，0，0)，C(，1，0)，
D(0，2，0)，F，
B(0，0，1)，E(0，2，2)，
所以＝＝(，1，－1)，＝(0，2，1)，
设平面BCE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
题号
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取y＝1，得n＝(－，1，－2)为平面BCE的一个法向量，
因为·n＝0，AF 平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
(2)＝(0，2，0)，平面BCE的一个法向量n＝(－，1，－2)，
设直线AD与平面BCE所成角为θ，
则sin θ＝＝＝.
所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.
题号
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√
10．(多选题)已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列结论中正确的是(　　)
A．平面PAB⊥平面PAE
B．PB⊥AD
C．直线CD与PF所成角的余弦值为
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
题号
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√
√
ACD　[因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，在正六边形ABCDEF中，AB⊥AE，PA∩AE＝A，所以AB⊥平面PAE，且AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，故A成立；
因为PB在平面ABC内的射影AB与AD不垂直，所以B不成立；
因为CD∥AF，直线CD与PF所成角为∠PFA，
在Rt△PAF中，PA＝2AF，所以cos ∠PFA＝，所以C成立．
在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，所以∠PDA＝45°，故D成立．]
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√
11．长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为α，β，γ，则(　　)
A．cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2
B．cos2α＋cos2β＋cos2γ＝
C．sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2
D．sin2α＋sin2β＋sin2γ＝
题号
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A　[如图所示，设长方体的长、宽、高分别为DC＝a，DA＝b，DD1＝c，则易得体对角线AC1＝，
题号
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设体对角线和平面ABCD，平面ABB1A1，平面ADD1A1所成角分别为α，β，γ，
由线面角的定义可知cosα＝＝，同理cos β＝＝，
cos γ＝＝，于是cos2α＋cos2β＋cos2γ＝＝2，
此时sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1－cos2α＋1－cos2β＋1－cos2γ＝1.]
题号
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12．如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，AB＝BC＝2，E，F为上底面圆上的两个动点，且EF过圆心G，当三棱锥A-BEF的体积最大时，直线AC与平面BEF所成角的正弦值为__________．
题号
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　[连接AG，BG，因为V三棱锥A-BEF＝V三棱锥E-ABG＋V三棱锥F-ABG，S△ABG的值不变，所以当EF垂直CD时，三棱锥A-BEF的体积最大．设下底面中心为O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(0，1，2)，E(－1，0，2)，F(1，0，2)，所以＝(0，2，2)，＝(2，0，0)，＝(1，1，－2)．设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则可得
题号
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令z＝1，则n＝(0，2，1)为平面BEF的一个法向量．设直线AC与平面BEF所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝. ]
题号
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13．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则直线CD1与C1F所成角的余弦值为__________，直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为__________．
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　[以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
题号
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设AB＝2，则C(0，2，0)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，所以＝(0，－2，2)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，2)，＝(1，0，－2)，
所以|cos 〈〉|＝
＝＝＝．
设平面A1C1FE的一个法向量n＝(x，y，z)，
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则取z＝1，得n＝(2，2，1)为平面A1C1FE的一个法向量，
设直线CD1与平面A1C1FE所成角为θ，
则sin θ＝＝＝.所以直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为.]
题号
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14．中国是风筝的故乡，南方称风筝为“鹞”，北方称风筝为“鸢”．如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD，其中AC⊥BD，且AC，BD交于点O，OA＝OB＝OD＝4，OC＝8，PO⊥平面ABCD.
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(1)求证：PD⊥AC；
(2)试验表明，当PO＝OA时，风筝表现最好，求此时直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
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[解]　(1)因为PO⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PO⊥AC.
又AC⊥BD，PO∩BD＝O，PO 平面POD，BD 平面POD，所以AC⊥平面POD，
又PD 平面POD，所以PD⊥AC.
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(2)如图，以O为坐标原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(4，0，0)，C(0，8，0)，D(－4，0，0)，P(0，0，2)，所以＝(4，0，－2)，＝(0，8，－2)，＝(－4，0，－2)．设m＝(a，b，c)为平面PBC的一个法向量，
题号
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则即
取c＝4，则m＝(2，1，4)为平面PBC的一个法向量．
设直线PD与平面PBC所成角为θ，
则sin θ＝＝＝.
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15．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面
QCD所成角的正弦值的最大值．
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[解]　(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.
又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC.
因为PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PDC.
因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC.
因为平面PAD∩平面PBC＝l，AD 平面PAD，所以l∥AD.所以l⊥平面PDC.
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(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，所以＝(0，1，0)，＝(1，1，－1)．
由(1)可设Q(a，0，1)，则＝(a，0，1)．
设n＝(x，y，z)是平面QCD的一个法向量，
则即可取n＝(－1，0，a)是平面QCO的一个法向量．
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所以cos 〈n，〉＝＝.
设PB与平面QCD所成角为θ，则sin θ＝＝.因为，当且仅当a＝1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.
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谢 谢！