【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.4 二面角 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共101张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第一章　
空间向量与立体几何
1.2　空间向量在立体几何中的应用
1.2.4　二面角
学习任务 1．了解二面角的有关概念，理解二面角及二面角的平面角的定义．(数学抽象)
2．掌握求二面角大小的基本方法及步骤．(直观想象、逻辑推理)
3．能结合图形，灵活选择方法解决与二面角有关的问题．(逻辑推理)
地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面的交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”．黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每30°便是一宫，
并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等，
这便是星座的由来．今天我们研究的问题便是如
何计算二面角的大小．
必备知识·情境导学探新知
知识点1　二面角的定义及相关概念
(1)半平面：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的__________都称为一个半平面．
(2)二面角：从一条直线出发的____________所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的____，这两个平面称为二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作_________，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作_________，二面角的范围为__________．
每一部分
两个半平面
棱
α-l-β
A-l-B
[0，π]
(3)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱上___________，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则∠AOB称为二面角α-l-β的平面角．
任取一点O
提醒　(1)二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角．
(2)两个相交平面所成的角是指两个相交平面所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角．
思考　如何找二面角的平面角？
[提示]　(1)定义法
由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．
(2)垂面法
作(找)一个与棱垂直的平面，与两平面的交线就构成了平面角．
(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．
(4)射影面积公式法
已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝.
知识点2　用空间向量求二面角的大小
如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝____________或θ＝_______________，sin θ＝_________________．
〈n1，n2〉
π－〈n1，n2〉
sin 〈n1，n2〉
提醒　二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)二面角是指两个平面相交的图形． (　　)
(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内且都与棱垂直． (　　)
(3)两个半平面的法向量的夹角的大小与二面角的大小相等． (　　)
×
√
×
[提示]　(1)×　二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)√　根据二面角的平面角的定义可得．
(3)×　相等或互补．
2．在三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A-BD-C的大小为(　　)
A．　　　B．　　　C．或　　D．或
√
C　[当二面角A-BD-C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝；
当二面角A-BD-C为钝角时，它应等于π－〈n1，n2〉＝π－＝.]
3．如图在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为(　　)
A．30°　　　B．60°　　　
C．90°　　　D．120°
√
C　[在△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，
∴AC＝.
∵点M为AC的中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM.
∴∠CMA为二面角C-BM-A的平面角．
∵折叠后AC＝1，MC＝MA＝，
∴∠CMA＝90°，故选C.]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-C1的余弦值是__________．
　[如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，所以＝(1，0，1)，＝(1，1，0)．设n＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，
　
则即
令x＝1，则y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)为平面A1BD的一个法向量．
同理，求得平面BC1D的一个法向量m＝(1，－1，1)，则cos 〈m，n〉＝＝－，
结合图形知，二面角A1-BD-C1为锐角，
所以二面角A1-BD-C1的余弦值为.]
类型1　用定义法求二面角的大小
【例1】　【链接教材P50例1】
如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若△PAB是边长为2的正三角形，且CO⊥AB，求二面角P-AC-B的正弦值．
关键能力·合作探究释疑难
[解]　如图，取AC的中点D，连接OD，PD，
因为PO⊥底面ABC，所以PO⊥AC，
因为OA＝OC，D为AC的中点，所以OD⊥AC，
又PO∩OD＝O，
所以AC⊥平面POD，
则AC⊥PD，
所以∠PDO为二面角P-AC-B的平面角．
因为△PAB是边长为2的正三角形，CO⊥AB，
所以PO＝，OA＝OC＝1，OD＝，
则PD＝＝.
所以sin ∠PDO＝＝＝，
所以二面角P-AC-B的正弦值为.
【教材原题·P50例1】
【例1】　如图1-2-32所示，已知二面角α-l-β的棱上有A，B两个点，AC α，AC⊥l，BD β，BD⊥l，若AB＝6，AC＝3，BD＝4，CD＝7，求二面角α-l-β的大小．
[解]　如图1-2-33所示，在平面β内过A作BD的平行线AE，且使得AE＝BD，连接CE，ED.
因为四边形AEDB是一个矩形，∠CAE是二面角α-l-β的一个平面角，且AB⊥面AEC，
所以ED⊥面AEC，从而CE＝＝＝＝.
在△AEC中，由余弦定理可知cos ∠CAE＝＝＝，
因此∠CAE＝.
即所求二面角的大小为.
发现规律　用定义法求二面角的步骤
(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用________定理或三垂线定理的逆定理)．
(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角．
(3)通过__________求角．
三垂线
解三角形
[跟进训练]
1．如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)证明：AB⊥平面VAD；
(2)求二面角A-VD-B的正切值．
[解]　(1)证明：∵平面VAD⊥平面ABCD，交线为AD，AB 平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面VAD.
(2)如图，取VD的中点E，连接AE，BE.
∵△VAD是正三角形，
∴AE⊥VD，AE＝AD.
∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE.
又由三垂线定理知BE⊥VD.
因此，∠AEB是所求二面角的平面角．
于是tan ∠AEB＝＝，即二面角A-VD-B的正切值为.
类型2　用向量法求二面角
【例2】　【链接教材P52例3、P53例4】
如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求平面OC1B1与平面
OB1D所成角的余弦值．
[解]　(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以
四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥
底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直
线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)，
设平面OC1B1的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则m⊥，m⊥，所以x＋2z＝0，y＋2z＝0，
取z＝－，则x＝2，y＝2，
所以m＝(2，2，－)为平面OC1B1的一个法向量，
所以cos 〈m，n〉＝＝＝.
所以平面OC1B1与平面OB1D所成角的余弦值为.
[母题探究]
(变问法)本例(2)条件不变，求平面A1BC与平面A1CD所成角的余弦值．
[解]　如图建立空间直角坐标系．
设棱长为2，则A1(0，－1，2)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)．
所以＝(－，1，0)，＝(0，2，－2)，＝(－，－1，0)．
设平面A1BC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
取x1＝，则y1＝z1＝3，
故n1＝(，3，3)为平面A1BC的一个法向量．
设平面A1CD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即取x2＝，
则y2＝z2＝－3，故n2＝(，－3，－3)为平面A1CD的一个法向量．
所以cos 〈n1，n2〉＝＝－＝－.
所以平面A1BC与平面A1CD所成角的余弦值为.
【教材原题·P52例3、P53例4】
【例3】　如图1-2-38所示，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且SA＝AB＝BC＝3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值．
[解]　依题意，AD，AB，AS两两互相垂直．以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，AD的长为单位长度，建立如
图1-2-38所示的空间直角坐标系．则A(0，0，0)，S(0，0，3)，C(3，3，
0)，D(1，0，0)，
所以＝(1，0，0)，＝(－1，0，3)，＝(2，3，0)．
显然，是平面SAB的一个法向量．
设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
令x＝3，可得y＝－2，z＝1，此时n＝(3，－2，1)．因为cos 〈，n〉＝＝＝，
所以可知所求角的正弦值为＝.
【例4】　如图1-2-39所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，AA1＝2，且D是AA1的中点．求平面BDC与平面BDC1所成角的大小．
[解]　依题意，CA，CB，CC1两两互相垂直．以C为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图1-2-39所示的空间直角坐标系．则C(0，0，0)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2)，
所以＝(0，1，0)，＝(1，0，1)，＝(－1，0，1)，＝
(0，－1，2)．
设平面BDC的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则
令z1＝1，则得x1＝－1，y1＝0，此时n＝(－1，0，1)．
设平面BDC1的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)，则
令z2＝1，则得x2＝1，y2＝2，
此时m＝(1，2，1)．
因为n·m＝(－1)×1＋0×2＋1×1＝0，
所以〈n，m〉＝90°，从而可知平面BDC与平面BDC1所成角的大小为90°，也就是说，这两个平面是互相垂直的．
反思领悟　1.确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系的方法
(1)观察法，通过观察图形，观察二面角是大于，还是小于.
(2)在二面角所含的区域内取一点P，平移两个平面的法向量，使它们的起点为P，然后观察法向量的方向，若两个法向量同时指向平面内侧或同时指向外侧，则二面角与法向量的夹角互补，若两个法向量方向相反，则二面角与法向量的夹角相等．
2．利用向量法求平面与平面所成角的大小的一般步骤
[跟进训练]
2．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值．
[解]　以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E，D1(0，1，1)，
F＝，
＝(1，0，1)，＝＝(0，1，1)．
设平面AB1E的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，
所以n1＝(－1，2，1)为平面AB1E的一个法向量．
设平面AD1F的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
即令x2＝2，
则y2＝－1，z2＝1.所以n2＝(2，－1，1)为平面AD1E的一个法向量．
所以平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值cos 〈n1，n2〉＝＝＝＝.
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0，，0)，n＝(，2)，则两平面所成的二面角为(　　)
A．60°　　　　　　　 B．120°
C．60°或120° D．90°
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[因为cos 〈m，n〉＝＝＝，所以〈m，n〉＝60°.因为二面角的大小与二面角的两个半平面的法向量夹角相等或者互补，所以两平面所成的二面角为60°或120°.]
2．已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tan θ 的值为(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
√
C　[如图，作CH⊥β于H，HM⊥AB于M，连接CM，
由三垂线定理，可得AB⊥CM，
所以∠CMH就是二面角α-AB-β的平面角θ.
又CH＝3，CM＝4，所以HM＝，
即tan θ＝＝.]
3．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ABCD所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[建立如图所示空间直角坐标系，则A1(4，0，2)，B(4，4，0)，C1(0，4，2)，所以＝(0，4，－2)，＝(－4，4，0)．
设平面A1BC1的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则即
令z＝2，则m＝(1，1，2)为平面A1BC1的一个法向量．
易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
所以cos 〈m，n〉＝＝＝，所以平面A1BC1与平面ABCD所成角的余弦值为.故选A.]
4．(教材P54练习A T2改编)如图，二面角α-l-β等于120°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，则CD＝__________．
　[||＝||＝
＝＝.]
　
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．构成二面角的平面角有几个要素？
[提示]　(1)角的顶点在二面角的棱上．(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内．(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．
2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？
[提示]　
条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ 图形
3．找二面角的方法有哪几种？
关系 θ＝φ θ＝π－φ
计算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ
[提示]　(1)定义法；(2)垂面法；(3)利用三垂线定理(或逆定理)；(4)射影面积公式法．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
一、选择题
1．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A-BC-D的大小为(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
课时分层作业(七)　二面角
C　[如图取BC的中点为E，连接AE，DE，
由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝a，又AD＝a，
所以∠AED＝60°，即二面角A-BC-D的大小为60°.]
题号
1
3
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题号
2
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√
14
15
2．如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角的大小为(　　)
A． B．
C． D．
D　[设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则＝，所以＝，所以sin θ＝，即θ＝.]
题号
2
1
3
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3．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒头、四角攒尖、八角攒尖．如图在重檐四角攒尖中，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则侧面与底面所成角的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．15°
√
题号
2
1
3
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5
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15
B　[如图，设正四棱锥为P-ABCD，连接AC，BD交于点O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，∴△PBC在底面ABCD上的射影为△OBC，设所求角的大小为θ，则由射影面积公式，知cos θ＝＝＝.又0°≤θ≤90°，∴θ＝45°.]
题号
2
1
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15
√
4．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
题号
2
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15
B　[设AP＝AB＝1.以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
题号
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15
则P(0，0，1)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，所以＝(1，1，－1)，＝(0，1，－1)．
设平面PCD的一个法向量m＝(x，y，z)，
则
取y＝1，得m＝(0，1，1)为平面PCD的一个法向量．
易知平面ABP的一个法向量为n＝(0，1，0)．
设平面ABP与平面CDP所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝.故选B.]
题号
2
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3
4
5
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8
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15
√
5．(教材P54练习B T3改编)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝1，则平面PCA与平面PCB所成角的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
题号
2
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5
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C　[因为三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝1，
题号
2
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15
所以以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，过点B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．
则A(0，1，0)，C(1，0，0)，B(0，0，0)，P(0，1，1)，所以＝(0，－1，－1)，＝(0，0，－1)，＝(1，－1，－1)，
设平面PCA的一个法向量n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得n＝(1，1，0)为平面PCA的一个法向量，
设平面PCB的一个法向量m＝(a，b，c)，
则取b＝1，得m＝(0，1，－1)为平面PCB的一个法向量，
题号
2
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设平面PCA与平面PCB所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝，所以θ＝60°.
所以平面PCA与平面PCB所成角的大小为60°.]
题号
2
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二、填空题
6．△ABC是正三角形，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC.若S△PAB∶S△ABC＝，则二面角P-AB-C的大小为__________．
题号
2
1
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4
5
6
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60°　
60°　[设二面角P-AB-C的大小为θ，PA＝PB＝PC，P在平面ABC上的射影O为△ABC的中心，
所以S△OAB＝S△ABC，又S△PAB＝S△ABC.
所以cos θ＝＝.所以θ＝60°.]
题号
2
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15
7．已知点O在二面角α-AB-β的棱上，点P在平面α内，且∠POB＝60°.若直线PO与平面β所成的角为45°，则二面角α-AB-β的正弦值为__________.
题号
2
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15
　
　[如图，过点P作PE⊥β，垂足为E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接OE，PF，则∠POE为直线PO与平面β所成的角，∠PFE为二面角α-AB-β的平面角．
题号
2
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设OP＝a，则在Rt△PEO中，由∠POE＝45°，可得PE＝a；在Rt△PFO中，由∠POF＝60°，可得PF＝a·sin 60°＝a；
在Rt△PEF中，sin ∠PFE＝＝＝，
即二面角α-AB-β的正弦值为.]
题号
2
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8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面DAC，则平面BCD与平面CDA所成角的余弦值为__________．
题号
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　[如图，取AC的中点E，连接BE，DE，分别以EA，ED，EB为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设菱形ABCD的边长为2，则A(1，0，0)，C(－1，0，0)，D(0，，0)，B(0，0，)．设平面BCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
题号
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∵＝(－1，0，－)，＝(0，，－)，
∴
令z＝，则y＝，x＝－3，即n＝(－3，)．平面ACD的一个法向量为m＝(0，0，1)，设平面BCD与平面CDA所成的角为θ，则cos θ＝＝＝.]
题号
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三、解答题
9．如图，已知直四棱柱的所有棱长均为2，AC∩BD＝O，F是棱AA1的中点．
(1)证明：平面BDF⊥平面AOF；
(2)若直线FC与底面ABCD所成角的正切值为，
求平面BFC与平面D1FC所成角的余弦值．
题号
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[解]　(1)证明：因为直四棱柱所有棱长为2，所以底面ABCD为菱形，BD⊥AO，又易知AA1⊥底面ABCD，所以BD⊥AA1，
又AO∩AA1＝A，所以BD⊥平面AOF，又BD 平面BDF，
所以平面BDF⊥平面AOF.
题号
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(2)因为FC在底面ABCD的射影为AC，所以FC与底面ABCD所成角为∠FCA，tan ∠FCA＝，FA＝1，所以AC＝2，所以△ABC为等边三角形，所以BO＝OD＝.
连接A1C1，B1D1交于点O1，连接OO1.
题号
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以O为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(，0，0)，C(0，1，0)，
F(0，－1，1)，D1(－，0，2)，所以＝(，1，－1)，＝(0，2，－1)，＝(－，1，1)．
设平面BFC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即令y1＝1，则z1＝2，x1＝，所以n1＝为平面BFC的一个法向量．
题号
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设平面FCD1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即令y2＝1，则z2＝2，x2＝，所以n2＝(，1，2)为平面FCD1的一个法向量，
所以|cos 〈n1，n2〉|＝＝，
所以平面BFC与平面D1FC所成角的余弦值为.
题号
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√
10．(多选题)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC＝1，AB＝2，∠ACB＝90°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1.点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成角为θ(θ≤90°)，则cos θ的取值可能为(　　)
A． B．
C． D．
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√
BC　[因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，CF 平面ACFE，CF⊥AC，所以CF⊥平面ABCD.以点C为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，令FM＝λ(0≤λ≤)，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)，故＝(－，1，0)，＝(λ，－1，1)．设n1＝(x，y，z)为平面MAB的一个法向量，
由得
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取x＝1，则n1＝(1，－λ)为平面MAB的一个法向量．
因为n2＝(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，
所以cos θ＝＝＝.
因为0≤λ≤，所以当λ＝0时，cos θ取得最小值；当λ＝时，cos θ取得最大值，所以cos θ∈.故选BC.]
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√
11．如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D-AB-F为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝
(　　)
A．1 B．
C． D．
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C　[取EF的中点H，连接BH，则∠DBH为FM与BD所成的角．由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2x，AF＝2y，则B(0，2x，0)，D(0，0，2y)，H(2y，x，0)，所以＝(2y，－x，0)，＝(0，－2x，2y)，所以cos θ＝＝
＝，解得＝，
故＝＝＝.]
题号
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12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥A1-CDD1外接球的表面积为__________，二面角C1-AC-D1的余弦值为__________.
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3π　
　
3π　　[三棱锥A1-CDD1的外接球即为正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，其体对角线即为外接球的直径，
所以2R＝＝，所以R＝，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝3π；如图建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，则＝(－1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(0，－1，1)，设平面C1AC的一个法向量为m＝(x，y，z)，则
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所以
令x＝1，则y＝1，z＝0，
所以m＝(1，1，0)为平面C1AC的一个法向量．
设平面D1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
令x＝1，则y＝1，z＝1，
所以n＝(1，1，1)为平面D1AC的一个法向量．
设二面角C1-AC-D1为θ，则cos θ＝＝＝.]
题号
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13．已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，将△ACD沿AC折起到△ACP的位置，若PB＝，则二面角P-AC-B平面角的余弦值的大小为_______．
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－　
－　[作PE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，过点E作ME∥BF交AB于点M，
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则ME⊥AC，所以∠PEM即为二面角P-AC-B的平面角，
由题意，可得PE＝BF＝＝，
则EA＝FC＝，所以EF＝1，
因为＝＝－，所以
＝＋＋－2－2＋2，
即3＝＋1＋－0－2×cos 〈〉＋0，
所以cos 〈〉＝－，
因为ME∥BF，所以cos ∠PEM＝－.
所以二面角P-AC-B平面角的余弦值的大小为－.]
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14．如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积．
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[解]　如图所示，以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x轴，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系．
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因为△OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，
所以OC＝OB＝OD＝1，所以B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C.
设A(0，0，a)，a＞0，因为DE＝2EA，
所以E.
由题意可知平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)．
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设平面BCE的一个法向量为m＝(x，y，z)，因为＝＝，
所以即
令x＝1，则y＝，z＝，所以m＝为平面BCE的一个法向量．
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因为二面角E-BC-D的大小为45°，所以cos 45°＝＝＝，
得a＝1，即OA＝1.
因为S△BCD＝BD·CD sin 60°＝，所以V三棱锥A-BCD＝S△BCD·OA＝×1＝.
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15．如图(1)，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD上的点，且MN∥BD，AC∩MN＝G.沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图(2)所示的五棱锥P-ABMND.
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(1)在翻折过程中是否总有BD⊥平面PAG？证明你的结论．
(2)若平面PMN⊥平面ABMND，记＝λ，λ∈(0，1)，试探究：随着λ值的变化，二面角B-PM-N的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的余弦值．
[解]　(1)在翻折过程中总有BD⊥平面PAG.
证明如下：
∵点M，N分别是边BC，CD的点，且MN∥BD，
又∠DAB＝60°，∴△PMN是等边三角形，
∵AC∩MN＝G，G是MN的中点，
∴MN⊥PG，
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，
∴MN⊥AC，
∵AC∩PG＝G，AC 平面PAG，PG 平面PAG，
∴MN⊥平面PAG，而MN∥BD，
∴BD⊥平面PAG.
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(2)∵平面PMN⊥平面ABMND，平面PMN∩平面ABMND＝MN，PG⊥MN，
故PG⊥平面ABMND，又MN⊥AC，则MN⊥AG，
以G为坐标原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
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边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
∴BC＝2，又＝λ，λ∈(0，1)，
∴M(0，λ，0)，N(0，－λ，0)，P(0，0，λ)，B((1－λ)，1，0)，
∴＝((1－λ)，1－λ，0)，＝(0，－λ，λ)，
设平面BMP的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，
则n＝(1，－，－1)为平面BMP的一个法向量，
题号
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又平面PMN的一个法向量为m＝(1，0，0)，
∴cos 〈m，n〉＝＝＝.
设二面角B-PM-N的平面角为θ，且由图可知，θ为钝角，则cos θ＝
－，
即随着λ值的变化，二面角B-PM-N的大小不变，其余弦值为－.
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谢 谢！