【学霸笔记：同步精讲】模块综合测评(二) 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共56张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
模块综合测评(二)
题号
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√
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满分：150分　时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为(　　)
A．(2，0)或(0，－4) 　 B．(2，0)或(0，－8)
C．(2，0) 　 D．(0，－8)
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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B　[设点B的坐标为(0，y)或(x，0)．
∵A(3，4)，
∴kAB＝＝4或＝4，解得y＝－8，x＝2．
∴点B的坐标为(0，－8)或(2，0)．]
题号
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2．设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥c，b∥c，则x＋y的值为(　　)
A．－1 　 B．1
C．2 　 D．3
√
A　[因为a⊥c，所以a·c＝2x－4＋2＝0，解得x＝1，
又b∥c，所以，解得y＝－2，所以x＋y＝－1，故选A．]
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3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，则实数a的值是(　　)
A．－3 　 B．－2
C．－1 　 D．－4
√
B　[圆心为(－1，1)，圆心到直线的距离为，故圆的半径为，即，a＝－2．]
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4．设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
√
A　[由已知得e1＝，因为e2＝e1，所以，解得a＝．故选A．]
题号
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5．平面直角坐标系xOy中，动点P到圆(x－1)2＋y2＝1的圆心的距离与其到直线x＝－1的距离相等，则P点的轨迹方程是(　　)
A．y2＝4x 　 B．x2＝4y
C．y2＝2x 　 D．x2＝2y
√
A　[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，设点P(x，y)，
由题意得：＝|x－(－1)|，所以(x－1)2＋y2＝|x＋1|2，整理得y2＝4x．]
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6．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B在椭圆上运动，当直线AB过椭圆右焦点并垂直于x轴时，△OAB的面积为(O为坐标原点)，则椭圆的长轴长为(　　)
A．2 　 B．4
C． 　 D．2
√
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B　[令x＝c，由＝1，可得y2＝，即y＝±，
所以解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆的长轴长为2a＝4，故选B．]
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7．若圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
√
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A　[圆的方程x2＋y2＋4x－4y－10＝0，可化为(x＋2)2＋(y－2)2＝18，则圆心为，半径为，根据题意知，只有圆心到直线的距离d≤3 时圆上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，即．所以有a2－4ab＋b2≤0，①
当b＝0时有x＝0，此时圆心到直线x＝0的距离为2>，不成立；
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当a＝0时有y＝0，此时圆心到直线y＝0的距离为2>，不成立；
当a≠0且b≠0时，直线y＝－x，则k＝－，将①式同时除以b2得＋1≤0，
即k2＋4k＋1≤0，解得－2－，
综上直线l的斜率的取值范围是，故选A．]
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8．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
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A　[如图，设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，OC，OB，以O为原点，分别以OC，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则C，A(0，4，0)，B1(0，2，4)，D1(4，0，4)，
则，，
所以cos 〈〉＝，又异面直线所成角的范围为，故异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为．
故选A．]
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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设O为坐标原点，直线y＝(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
√
√
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AC　[由题意，易知直线y＝－(x－1)过点(1，0)．
对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，
所以＝1，即p＝2，所以A选项正确．
对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1联立方程得，
消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3．由抛物线的定义得，|MN|＝x1＋x2＋p＝，故B选项错误．
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对于C，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为，半径r＝＝＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确．
对于D，由两点间距离公式可得|OM|＝＝＝，故D选项错误．综上，故选AC．]
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10．设m∈R，直线mx－y－3m＋1＝0与直线x＋my－3m－1＝0相交于点P(x，y)，线段AB是圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4的一条动弦，Q为弦AB的中点，|AB|＝2，下列说法正确的是(　　)
A．点P在定圆(x－2)2＋(y－2)2＝8上
B．点P在圆C外
C．线段PQ长的最大值为6＋
D．的最小值为15－8
√
√
√
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BCD　[直线mx－y－3m＋1＝0过定点M(3，1)，
直线x＋my－3m－1＝0过定点N(1，3)，
又m－m＝0，所以两直线垂直，
所以两直线的交点P的轨迹是以线段MN为直径的圆，|MN|＝2，
所以交点P的轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，故A错误．
圆C的圆心为(－2，－1)，半径为2，
因为＝5>2＋，
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所以圆(x－2)2＋(y－2)2＝2与圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4相离，即点P在圆C外，故B正确．
因为Q为弦AB的中点，|AB|＝2＝1，
所以弦AB的中点Q的轨迹是以C是圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝1，
则圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝1与圆(x－2)2＋(y－2)2＝2相离，所以线段PQ长的最大值为，故C正确．
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＝＝＝－3，
因为线段PQ长的最小值为
，
所以－3的最小值为15－8，
即的最小值为15－8，故D正确．
故选BCD．]
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11．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则(　　)
A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
√
√
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BD　[(0≤λ≤1，0≤μ≤1)．
对于选项A，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图(1)所示，此时△AB1P的周长为AB1＋AP＋PB1＝，不是定值，A错误；
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对于选项B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图(2)所示，
则＝S△PBC×S△PBC＝，为定值，故B正确；
对于选项C，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接DD1，A1B(图略)，则当λ＝时，点P在线段DD1上运动，假设A1P⊥BP，则A1P2＋BP2＝A1B2，即＋(1－μ)2＋＋μ2＝2，解得μ＝0或μ＝1，所以点P与点D或D1重合时，A1P⊥BP，故C错误；
(法一)对于选项D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，设AB1与A1B交于点K，连接PK(图略)，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故选项D正确．综上，选BD．
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(法二)对于选项D，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接EF，则当μ＝时，点P在线段EF上运动，以点C1为原点建立如图(3)所示的空间直角坐标系，则B(0，1，1)，B1(0，1，0)，A1，所以，若A1B⊥平面AB1P，则A1B⊥B1P，所以－＝0，解得λ＝1，所以只存在一个点
P，使得A1B⊥平面AB1P，此时点P与F重合，故D正确．综上，
选BD．]
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆C1的标准方程是(x－4)2＋(y－4)2＝1，圆C2：x2＋y2－4x＋2my＋3＝0关于直线x＋y＋1＝0对称，则圆C1与圆C2的公切线的条数为________．
4　
题号
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4　[圆C1的圆心为C1(4，4)，半径r＝1，圆C2的标准方程为(x－2)2＋2＝3m2＋1，
C2，半径R＝，
因为圆C2关于直线x＋y＋1＝0对称，
所以2－3m＋1＝0，m＝1，
所以C2，半径R＝2，>R＋r，两圆相离，公切线有4条．]
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13．已知三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别是P(－1，0，0)，A(0，1，0)，B(－4，0，0)，C(0，0，2)，则该三棱锥底面ABC上的高h＝________．
　
　[由已知得，＝(－1，－1，0)，＝(－4，－1，0)，＝(0，
－1，2)．设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，
则取x＝－1，得n＝(－1，4，2)．
则h＝．]
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14．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B．若圆＋y2＝1与双曲线C的渐近线相切，则下列结论正确的是________．(将所有正确结论的序号都填上)
①双曲线C的离心率e＝；
②当点P异于顶点时，△PF1F2的内切圆的圆心总在直线x＝上；
③为定值；
④的最小值为．
①②④
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①②④　[对于①：双曲线的渐近线方程是x±ay＝0，圆＋y2＝1的圆心是，
半径是1，则舍去)；
又b＝1，所以c＝＝2，离心率为e＝，故①正确；
题号
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对于②：设△PF1F2的内切圆与x轴相切于点M，
由圆的切线性质知＝2a，所以xM＝a，因此内心I在直线x＝a，
即直线x＝a＝上，故②正确；
对于③：设P(x0，y0)，
则＝3，
渐近线方程是x±y＝0，
题号
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则，
为常数，故③错误；
对于④：由已知OA的方程是y＝x，倾斜角为，所以∠AOB＝，∠APB＝，
，
当且仅当时等号成立，故④正确．故结论正确的是①②④．]
题号
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点O的圆M(圆心M在第一象限)的半径为2，且与y轴正半轴交于点A．
(1)求圆M的标准方程；
(2)设点B是直线l：＝0上的动点，BC，BD是圆M的两条切线，C，D为切点，求四边形BCMD面积的最小值．
题号
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[解]　(1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得，r＝2，b＝，
∴22＝a2＋2，解得a＝1，∴圆心M的坐标为，r＝2．
∴圆M的标准方程为(x－1)2＋2＝4．
(2)∵四边形BCMD的面积S＝2×，
在Rt△BCM中，，要使四边形BCMD面积最小，则最小即可．
题号
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此时BM⊥l，
∴，
∴，
∴四边形BCMD面积的最小值为4．
题号
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16．(本小题满分15分)如图所示，过点M(－2，0)作直线l交双曲线x2－y2＝1于A，B两点，O为原点，以OA，OB为一组邻边作平行四边形OAPB．
(1)试求点P的轨迹方程；
(2)是否存在这样的直线l，使四边形OAPB为矩形？
若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
题号
1
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[解]　(1)当过M(－2，0)的直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝k，代入双曲线x2－y2＝1，可得x2－4k2x－4k2－1＝0．
当k＝±1时，直线与渐近线平行，所以直线与双曲线只有一个交点，不合题意舍去．
当k≠±1时，直线与双曲线有两个交点，设，
此时Δ＝＝12k2＋4>0，
所以x1＋x2＝．
题号
1
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所以y1＋y2＝k，
所以AB的中点为，
即OP的中点为．
设P，则x＝，消去k得：x2＋4x－y2＝0；
当k＝0时，AB的中点为，A，O，B三点共线，不能得到平行四边形OAPB，故k≠0，即x≠0，所以P的轨迹方程为x2＋4x－y2＝0(x≠0)．
题号
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当过M的直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，把x＝－2代入双曲线x2－y2＝1得：A，B，P同样满足．
所以点P的轨迹方程为x2＋4x－y2＝0(x≠0)．
(2)当过M的直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，把x＝－2代入双曲线x2－y2＝1得：A，B，此时不满足∠AOB＝90°；
题号
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当过M的直线的斜率存在时，由(1)可知：x1＋x2＝．
若∠AOB＝90°，则x1x2＋y1y2＝(k2＋1)·＋4k2＝0，
整理得：k2＋1＝0，显然不成立，
所以不存在使∠AOB＝90°的直线l．
题号
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17．(本小题满分15分)在①|PF|＝x0＋1，②y0＝2x0＝2，③PF⊥x轴时，|PF|＝2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答．
问题：已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(x0，y0)在抛物线C上，且________．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l：x－y－2＝0与抛物线C交于A，B两点，求△ABF的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题号
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[解]　(1)若选①：
由抛物线的性质可得|PF|＝x0＋．
因为|PF|＝x0＋1，所以x0＋＝x0＋1，解得p＝2．
故抛物线C的标准方程为y2＝4x．
若选②：
因为y0＝2x0＝2，所以y0＝2，x0＝1，
因为点P(x0，y0)在抛物线C上，所以＝2px0，
即2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为y2＝4x．
若选③：
因为PF⊥x轴，
所以|PF|＝＝p，
因为|PF|＝2，所以p＝2．故抛物线C的标准方程为y2＝4x．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)可知F(1，0)．
联立整理得y2－4y－8＝0，
则y1＋y2＝4，y1y2＝－8，
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|y1－y2|＝，
故|AB|＝＝，
因为点F到直线l的距离d＝，
所以△ABF的面积为·d＝．
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18．(本小题满分17分)如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．

(1)证明：BC⊥DA；
(2)点F满足，求二面角D-AB-F的正弦值．
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[解]　(1)证明：如图，连接DE，AE，
因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC．
因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以△ADB≌△ADC(SAS)．
可得AC＝AB，故AE⊥BC．
因为DE∩AE＝E，DE，AE 平面ADE，
所以BC⊥平面ADE．
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA．
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(2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC．
不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝
∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2．
由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝．
因为AE⊥BC，所以AE＝．
在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED．
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以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则D，B，A，所以＝＝．
设F(xF，yF，zF)，因为，所以(xF，yF，zF)＝，可得F．
所以＝．
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设平面DAB的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即取x1＝1，则y1＝z1＝1，m＝(1，1，1)为平面DAB的一个法向量．
设平面ABF的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则即
得x2＝0，取y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)为平面ABF的一个法向量．
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所以cos 〈m，n〉＝．
记二面角D-AB-F的大小为θ，
则sin θ＝，
故二面角D-AB-F的正弦值为．
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19．(本小题满分17分)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)
且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
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[解]　(1)由题意可知b＝，
所以a＝＝2，
故椭圆E的方程为＝1，离心率e＝．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
联立得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0．
所以Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－4)>0，即4k2－t2＋2>0，
由根与系数的关系得
　①
由椭圆的对称性可得D(－x2，y2)，
因为A，C，D三点共线，所以kAC＝kCD，
所以，即x1y2＋x2y1－(x1＋x2)＝0．
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由y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，得x1(kx2＋t)＋x2(kx1＋t)－(x1＋x2)＝0，
整理得2kx1x2＋(t－1)(x1＋x2)＝0，②
所以2k·＋(t－1)·＝0，
解得t＝2．
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谢 谢！