【学霸笔记：同步精讲】模块综合测评(一) 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共49张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
模块综合测评(一)
题号
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√
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满分：150分　时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)．若向量a＋b与向量c＝(－2，m，－4)平行，则实数m的值是(　　)
A．2　　　B．－2　　　C．10　　　D．－10
A　[a＋b＝(1，－1，2)，由(a＋b)∥c得，解得m＝2．]
题号
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2．已知直线l1：2x＋y＋n＝0与l2：4x＋my－4＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，则m＋n＝(　　)
A．－3或3 　 B．－2或4
C．－1或5 　 D．－2或2
√
A　[由2m－4＝0，解得m＝2．满足l1∥l2，l2的方程为2x＋y－2＝0，有＝3，解得n＝1或－5，故m＋n＝±3．]
题号
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3．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　)
A．2x－y－5＝0 　 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 　 D．x－y－3＝0
√
D　[圆心C(1，0)，kPC＝＝－1，
则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，
即x－y－3＝0，故选D．]
题号
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4．已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A．＝1(y>0) 　 B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) 　 D．＝1(y>0)
√
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A　[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，
又P在曲线C上，
所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
题号
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5．在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF＝2FD，E为BC的中点，则＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
√
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B　[在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF＝2FD，E为BC的中点，所以－，即．]
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6．若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
√
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C　[因为双曲线＝1的渐近线方程为y＝，而e＝＝2，所以，故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为．]
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7．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 (　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
√
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A　[建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，
，所以＝(a，a，0)，＝(a，0，a)．
设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则可得n＝(1，－1，－2)．
所以d＝a．]
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8．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图(1)所示，其结构图如图(2)所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，且内层与外层的椭圆的长轴之比为1∶2．已知外层椭圆的方程为＝1，若由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线，则切线的斜率为(　　)
A． 　 B．
C．± 　 D．±
√
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C　[由＝1，得a＝4，b＝2，c＝2，则离心率e＝，则由题意知内层椭圆的方程为＝1，点A(－4，0)，
由题意可知过点A的切线的斜率存在，设切线方程为y＝k(x＋4)，
由得－1＝0，所以Δ＝＝0，化简得k2＝，解得k＝±．故选C．]
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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，Q分别是棱A1D1，AB，D1C1的中点，点P为AC上的动点，则(　　)
A．异面直线MD与BD1所成角的余弦值为
B．MC1⊥D1N
C．三棱锥P-MDC1的体积为定值
D．平面MNQ截正方体所得的截面是五边形
√
√
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AB　[如图建立空间直角坐标系，
则M(1，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，N(2，1，0)，B(2，2，0)，
所以＝(1，0，2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，－2，2)，
所以＝，A正确；
题号
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所以＝(－1，2，0)，＝(2，1，－2)，＝0，所以MC1⊥D1N，B正确；
因为点P为AC上的动点，且AC与平面MDC1不平行，所以AC上的动点P到平面MDC1的距离不是定值，所以三棱锥P-MDC1的体积不为定值，C错误；平面MNQ截正方体所得的截面为正六边形，D错误． ]
题号
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10．已知O是坐标原点，A，B是抛物线y＝x2上不同于O的两点，OA⊥OB，则下列结论中正确的是(　　)
A．|OA|·|OB|≥2
B．|OA|＋|OB|≥2
C．直线AB过抛物线y＝x2的焦点
D．O到直线AB的距离小于等于1
√
√
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ABD　[设，
由OA⊥OB，则＝0，即x1x2(1＋x1x2)＝0，所以x2＝－．
对于A，|OA|·|OB|＝≥2，
当且仅当x1＝±1时取等号，正确；
题号
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对于B，|OA|＋|OB|≥2，正确；
对于C，直线AB的方程为y－ (x－x1)，不过点，错误；
对于D，原点到直线AB：x－y＋1＝0的距离d＝≤1，正确．]
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11．已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点M(p，0)．若|AF|＝|AM|，则
(　　)
A．直线AB的斜率为2
B．|OB|＝|OF|
C．|AB|>4|OF|
D．∠OAM＋∠OBM<180°
√
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ACD　[选项A：设FM中点为N，则xA＝xN＝，所以p2(yA>0)，所以yA＝，故kAB＝．故A正确．
选项B： ＝ xB＝，所以．所以|OB|2＝≠．故B错误．
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选项C：|AB|＝>2p＝4|OF|．故C正确．
选项D：由选项A，B知A，所以p2<0，所以∠AOB为钝角；
又p2<0，所以∠AMB为钝角；
所以∠OAM＋∠OBM<180°．故D正确．
故选ACD．]
题号
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________________________．
(x－2)2＋　[如图，
由已知可设圆心为(2，b)，
由22＋b2＝(1－b)2＝r2，得b＝－．
故圆C的方程为(x－2)2＋．]
(x－2)2＋　
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13．已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，离心率为，则C的方程为_____________．
＝1　[令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a，b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c＝2，
由双曲线C的离心率为，得，
解得a＝，则b＝，
所以双曲线C的方程为＝1．]
＝1　
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14．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆交于P，Q两点．若△PF2Q的内切圆与线段PF2在其中点处相切，与PQ相切于点F1，则椭圆的离心率为________．
　
题号
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　[可设△PF2Q的内切圆的圆心为I，M为切点，且为中点，
可得△PF2Q为等腰三角形，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m＋n＝2a，由切线的性质可得m＝n，
解得m＝＝t，|QF2|＝2a－t，
由t＝2a－t－，解得t＝，
则△PF2Q为等边三角形，即有2c＝，
即有e＝．]
题号
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，E为棱PD的中点，(λ为常数，且0＜λ＜1)．若直线BF∥平面ACE，求实数λ的值．
题号
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[解]　因为PA⊥底面ABCD，AB，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD．
由题意可知，AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，E(0，2，1)，
题号
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所以＝(2，2，0)，＝(0，2，1)，＝(－2，0，2)，＝(2，2，－2)，
则＝(2λ，2λ，－2λ)，所以＝(2λ－2，2λ，2－2λ)．
设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)．
由得令x＝1，得m＝(1，－1，2)．因为BF∥平面ACE，所以·m＝2λ－2－2λ＋4－4λ＝0，解得λ＝．
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16．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2．
(1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD；
(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
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[解]　(1)取PD的中点G，连接FG，CG(图略)．
因为F为PE的中点，所以FG＝DE＝1，FG∥DE，
又BC＝1，AD∥BC，所以FG＝BC，FG∥BC，
所以四边形FGCB为平行四边形，
所以BF∥CG，
又BF 平面PCD，CG 平面PCD，所以BF∥平面PCD．
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(2)因为AB⊥平面PAD，PE 平面PAD，所以AB⊥PE，
又PE⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD．
连接EC，易知四边形ABCE为矩形，故直线EC，ED，EP两两垂直，故以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
题号
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则P(0，0，2)，C(1，0，0)，D(0，2，0)，A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，则＝(1，0，0)，＝(0，1，2)，＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)．
设平面PAB的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则可取n1＝(0，－2，1)．
题号
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设平面PCD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则可取n2＝(2，1，1)．
设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝．
所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为．
题号
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17．(本小题满分15分)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率e＝，且________．
在①过点，②过焦点且垂直于长轴的弦的长度为，③长轴长为6这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．当直线l的倾斜角为时，求△POQ的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题号
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[解]　(1)设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
若选①，有解得
所以椭圆的方程为＋y2＝1．
若选②，有解得
所以椭圆的方程为＋y2＝1．
若选③，有解得
所以椭圆的方程为＋y2＝1．
题号
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(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由(1)可知右焦点为，当直线l的倾斜角为时，可得直线方程为y＝．
所以坐标原点到直线l的距离d＝．
联立直线方程与椭圆方程，并整理化简得4x2－＋15＝0，
所以x1＋x2＝3＝＝2，所以S△POQ＝·d＝．
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18．(本小题满分17分)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1．

(1)证明：A1C＝AC；
(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．
题号
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[解]　(1)证明：过A1作A1D⊥CC1，垂足为D，
∵A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴A1C⊥BC，
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵A1C，AC 平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵A1D 平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，
又CC1，BC 平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，
∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1．
题号
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由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1，
又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，
∴A1C＝AC．
(2)连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F，
∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2，
又A1D＝1且A1C＝AC，
∴A1C＝A1C1＝AC＝．
题号
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建立空间直角坐标系C-xyz如图所示，
则C(0，0，0)，，B，，C1，
∴＝＝＝．
题号
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设平面BCC1B1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即取x＝1，则y＝0，z＝1，
∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1)．
设AB1与平面BCC1B1所成角为θ，
则sin θ＝＝．
∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为．
题号
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19．(本小题满分17分)椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，以椭圆C的上顶点T为圆心作圆T：x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)，圆T与椭圆C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B．

(1)求椭圆C的方程；
(2)求的最小值，并求出此时圆T的方程；
(3)设点P是椭圆C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证：|OM|·|ON|为定值．
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[解]　(1)由题意知，b＝1，e＝，所以a2－c2＝1，，得a2＝4，c2＝3，b2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)点A与点B关于y轴对称，设，由点A在椭圆C上，则，因为T(0，1)，得＝(x1，y1－1)，＝(－x1，y1－1)，
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所以＋(y1－1)2＝52－，由题意得0＜y1＜1，
当y1＝时，取最小值－，此时，
故A，又点A在圆T上，代入圆的方程，得r2＝．
故圆T的方程是x2＋(y－1)2＝．
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(3)证明：设P(x0，y0)，则PA的方程为y－y0＝·(x－x0)，
令x＝0，得yM＝y0－，同理yN＝，
故yM·yN＝，①
因为P，A都在椭圆C上，所以，代入①可得：
|yM·yN|＝＝1，即得|OM|·|ON|＝|yM·yN|＝1．
谢 谢！