【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共70张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章
平面解析几何
2.2　直线及其方程
2.2.1　直线的倾斜角与斜率
学习任务 1．结合教材实例理解直线的倾斜角与斜率的概念及其计算．
(数学抽象)
2．能理解直线斜率与倾斜程度的关系，能利用斜率的计算公式解决相关的问题．(直观想象、数学运算)
3．理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用．(直观想象、数学运算)
在日常生活中，用坡度来刻画道路的倾斜程度，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比，这个比值反映了物体在水平方向的改变量和铅直方向的改变量的联系．例如，坡度为0.01，说明物体沿着该坡道运动，在水平方向上移动1 km，在铅直方向上上升或下降0.01 km(示意图如图)．显然坡度越大，坡的倾斜程度就越大．实际上，生活中这样的例子很多，如水库大坝、楼梯及屋顶的坡度等．
必备知识·情境导学探新知
实际上，坡度是利用高度的平均变化率刻画道路的倾斜程度．与坡度的意义类似，在平面直角坐标系中，如何用直线的平均变化率刻画直线相对于x轴正方向的倾斜程度？
知识点1　直线的倾斜角
(1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按______方向旋转到与直线重合时所转的________记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(2)特例：若直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为____，与x轴垂直的直线，倾斜角为______．
(3)范围：______________．
逆时针
最小正角
0°
90°
0°～180°
知识点2　斜率
1．直线上两点与倾斜角的关系
一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：
(1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝____；
(2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝______；
(3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝．
0°
90°
2．斜率的概念
(1)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝_________为直线l的斜率；当θ＝______时，称直线l的斜率不存在．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当__________时，直线l的斜率为k＝；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在．
tan θ
90°
x1≠x2
提醒　(1)所有直线都有唯一确定的倾斜角，但倾斜角为α的直线有无数条．
(2)直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，前者侧重代数角度，后者侧重几何角度．
(3)kAB＝＝kBA＝(x1≠x2)，所以直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关．
知识点3　直线的方向向量
(1)一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l___________，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作______．
(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量____都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定____．
(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝_________________是直线l的一个方向向量．
平行或重合
a∥l
λa
共线
(x2－x1，y2－y1)
(4)一般地，如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则
①当u＝0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为______．
②当u≠0时，直线l的斜率k存在，且(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝____，倾斜角θ满足tan θ＝____．
90°
知识点4　直线的法向量
一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l．
思考　如果a＝(－1，2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？
[提示]　(2，1)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． (　　)
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． (　　)
(3)倾斜角为135°的直线的斜率为1． (　　)
(4)若直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α． (　　)
×
×
×
×
[提示]　(1)×　除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度．
(2)×　倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．
(3)×　倾斜角为135°的直线的斜率为－1．
(4)×　倾斜角α不等于90°时，它的斜率才是k＝tan α．
2．如图所示，直线l的倾斜角为(　　)
A．30°　　　　　 B．60°
C．120° D．以上都不对
√
C　[根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°．]
3．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为________．
　[由题意，若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则＝，即－1＝，故m＝．]
4．已知直线l经过两点P(1，2)，Q(－2，1)，那么直线l的一个方向向量为___________________；一个法向量为__________________；
斜率为________．
(－3，－1)(答案不唯一)　(－1，3)(答案不唯一)　　[由已知可得＝(－2，1)－(1，2)＝(－3，－1)是直线l的一个方向向量．则
(－1，3)是直线l的一个法向量，直线l的斜率k＝＝．]
(－3，－1)(答案不唯一)
(－1，3)(答案不唯一)
关键能力·合作探究释疑难
类型1　直线的倾斜角
【例1】　(1)下列四个命题中，正确的是(　　)
A．直线的倾斜角θ的取值范围为0≤θ≤π
B．若直线的倾斜角为θ，则sin θ≥0
C．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θ
D．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ
√
(2)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
√
(1)B　(2)D　[(1)因为直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，即θ∈[0，π)，所以sin θ≥0，当θ≠时，直线的斜率k＝tan θ，故B正确，A，C错误；若直线的斜率k＝tan ＝，此时直线的倾斜角为，故D错误．
(2)根据题意，画出图形，如图所示：
通过画图可知：
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．]
反思领悟　求直线的倾斜角的方法及两点注意事项
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意事项：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°．
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．
提醒：求直线的倾斜角主要根据定义，关键是能画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
[跟进训练]
1．(1)直线x＝－tan 的倾斜角是(　　)
A．0　　　B．　　　C．　　　D．
(2)已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，l2与x轴的交点为B，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，则直线l2的倾斜角为________．
√
135°
(1)B　(2)135°　[(1)x＝－tan ，即x＝－1，直线的倾斜角为．
(2)因为l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B，所以倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°．]
类型2　直线斜率公式的应用
角度1　求直线的斜率
【例2】　已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)．
(1)当m为何值时，直线l的斜率是1
(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？
(3)当直线l的倾斜角为锐角时，求实数m的取值范围．
[解]　(1)kMN＝＝1，解得m＝．
(2)直线l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，解得m＝1．
(3)由题意知解得1发现规律　求直线斜率问题时的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式______________________解决．
(2)由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式______________________
求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用________求解．
k＝tan α(α≠90°)
数形结合
[跟进训练]
2．已知坐标平面内两点M(m＋3，2m＋5)，N(m－2，1)．
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
[解]　(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，
即k＝＝>0，
解得m>－2．
即当m>－2时，直线MN的倾斜角为锐角．
(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，
即k＝＝<0，
解得m<－2．
即当m<－2时，直线MN的倾斜角为钝角．
(3)当直线MN垂直于x轴时，直线的倾斜角为直角，
此时m＋3＝m－2，此方程无解，
故直线MN的倾斜角不可能为直角．
角度2　求直线斜率的取值范围
【例3】　已知直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为______________________．
[思路导引]　→→
∪[5，＋∞)
∪[5，＋∞)　[作出直线PA，PB，如图所示，
则kPA＝＝5，kPB＝＝－．
当直线l绕点P从直线PA逆时针转到与y轴平行的直线PC(PC⊥x轴)的位置时，直线l的斜率从5开始增大，并趋向于＋∞，即k∈[5，＋∞)．
当直线l从直线PC逆时针转到直线PB的位置时，直线l的斜率从－∞开始增大，并趋向于－，且在PB位置时达到－，即k∈．
所以直线l的斜率k的取值范围为∪[5，＋∞)．]
[母题探究]
(变条件)将本例中“B(3，0)”改为“B(－4，5)”，其他条件不变，则直线l的斜率k的取值范围是___________．
[－1，5]　[kPA＝＝5，kPB＝＝－1．在平面直角坐标系中画出直线PA，PB，如图所示．由图可知，直线l绕点P从PB逆时针旋转到PA的过程中，斜率始终存在，且逐渐增大．故直线l的斜率k的取值范围是[－1，5]．
[－1，5]
反思领悟　分析直线斜率k变化时应分三种情况：①0°≤θ<90°时，k随θ的增大而增大，k∈[0，＋∞)．②θ＝90°时，k不存在．③90°<θ<180°时，k随θ的增大而增大，k∈(－∞，0)(其中θ为直线的倾斜角)．
[跟进训练]
3．已知两点A(2，－3)，B(1，0)，直线l过点P(0，－1)且与线段AB有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
√
C　[如图所示，直线PA的斜率为
kPA＝＝－1，
直线PB的斜率为kPB＝＝1，
由图可知直线l与线段AB有交点，则直线l的斜率k∈[－1，1]，
所以直线l的倾斜角的取值范围为，故选C．]
类型3　求直线的方向向量或法向量
【例4】　已知直线l经过点A(1，2)，B(4，5)，求直线l的一个方向向量和法向量，并确定直线l的斜率与倾斜角．
[解]　＝(4－1，5－2)＝(3，3)是直线l的一个方向向量．由法向量与方向向量垂直，所以法向量可以为(－1，1)．因此直线的斜率k＝1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而可知θ＝45°．
反思领悟　求一条直线的方向向量和法向量的方法
(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)，当直线l的斜率存在时，方向向量可取为(1，k)，此时，可用斜率表示方向向量，当直线l的斜率不存在时，其方向向量可取为(0，1)．
(2)若直线l的方向向量为(1，k)，则(k，－1)或(－k，1)为直线l的两个法向量，直线的任意两个法向量可以同向，也可以反向．
(3)直线的方向向量和法向量不唯一．
[跟进训练]
4．已知直线的倾斜角为120°，它的一个法向量为v＝(m，m＋1)，则m＝________．
－　[因为直线的倾斜角为120°，所以可求直线的一个方向向量为(1，－)，
则(1，－)·(m，m＋1)＝0，
解得m＝－．]
－
学习效果·课堂评估夯基础
1．若已知直线l的一个方向向量为a＝(2，3)，则直线l的斜率为
(　　)
A．　　　B．　　　C．3　　　D．－
√
A　[由直线l的方向向量a＝(2，3)知，l的斜率k＝．]
2．关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法：
①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；
②平行于x轴的直线的倾斜角为0°或180°；
③若直线过点P1与P2，则该直线的斜率为．
其中正确说法的个数为(　　)
A．3　　B．2　　C．1　　D．0
√
D　[若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在．所以①不正确；
直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以平行于x轴的直线的倾斜角为0°，不可能是180°．所以②不正确；
当x1＝x2时，过点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的直线的斜率不存在；当x1≠x2时，过点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的直线的斜率为．所以③不正确．故选D．]
3．已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l的斜率的取值范围是_________________________．
(－∞，－1)∪[0，＋∞)　[设直线的斜率为k，当0°≤α＜90°时，k＝tan α≥0，当α＝90°时无斜率，当90°＜α＜135°时，k＝tan α＜－1，故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1)∪[0，＋∞)．]
(－∞，－1)∪[0，＋∞)
4．已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为________．
2或　[因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kBC，
即＝，所以a＝2或a＝．]
2或
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线的斜率与倾斜角有何区别与联系？
[提示]　(1)直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度．
(2)每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为直角的直线不存在斜率．
(3)不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是直角时，倾斜角的正切值就是斜率，此时斜率和倾斜角可以相互转化．
[提示]　
2．如何用斜率公式解决三点共线问题？
[提示]　
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
一、选择题
1．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1B．k2C．k2D．k1课时分层作业(十)　直线的倾斜角与斜率
√
A　[设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，
则k1＝tan α1，k2＝tan α2，k3＝tan α3，
由题图可知，0<α2<α3<<α1<π，所以k1<0，k3>k2>0，所以k1题号
1
3
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题号
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4
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2．若过点A(3，4)，Q(6，3a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为(　　)
A．　　　　　 B．
C．　　 D．
√
C　[因为直线AQ的斜率k＝＝a－，
又因为直线AQ的倾斜角为锐角，所以a－>0，解得a>．]
3．(多选题)下列各组中的点在同一条直线上的是(　　)
A．(1，－3)，(－7，5)，(3，－5)
B．(3，0)，(6，－4)，(－1，－3)
C．(1，0)，，(7，2)
D．(－2，－5)，(7，6)，(－5，3)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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13
14
15
√
√
AC　[过点(1，－3)，(－7，5)的直线的斜率m1＝＝－1，过点(－7，5)，(3，－5)的直线的斜率m2＝＝－1，两者相等，故三点在同一条直线上，A选项正确；过点(3，0)，(6，－4)的直线的斜率n1＝＝－，过点(6，－4)，(－1，－3)的直线的斜率n2＝＝－，两者不相等，故三点不在同一条直线上，B选项错误；过点(1，0)，的直线的斜率k1＝，过点(1，0)，(7，2)的直线的斜率k2＝，两者相等，故此三点在同一条直线上，C选项正确；过点(－2，－5)，(7，6)的直线的斜率a1＝＝，过点(7，6)，(－5，3)的直线斜率a2＝＝，两者不相等，故三点不在同一条直线上，D选项错误．]
题号
2
1
3
4
5
6
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15
4．若直线过点A(1，－1)，B(2，－1)，则此直线的一个方向向量和倾斜角分别为(　　)
A．(1，－1)，30°　　 B．(2，－1)，45°
C．(1，)，60°　　 D．(，1)，90°
题号
2
1
3
4
5
6
8
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15
√
C　[直线过点A(1，－1)，B(2，－1)，可得＝(1，)是直线的一个方向向量，设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝k＝＝，所以θ＝60°．]
5．已知点A， B， 若点M 在线段AB上，则的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
题号
2
1
3
4
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15
√
A　[设Q，则kQA＝＝，kQB＝＝－，
因为点M在线段AB上，所以的取值范围是．故选A．]
题号
2
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3
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5
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15
二、填空题
6．已知三个不同的点A(2，a)，B(a＋1，2a＋1)，C(－4，1－a)在同一条直线上，则实数a的值为________．
题号
2
1
3
4
5
6
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15
－或5　[因为kAC＝＝，
所以该直线斜率存在，又kAB＝＝，
根据题意得＝，解得a＝－或a＝5．]
－或5
7．已知直线l的一个方向向量为p＝，则直线l的倾斜角为__________．
题号
2
1
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4
5
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8
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15
　[由题意可得，直线l的斜率k＝＝＝tan ，即直线l的倾斜角为．]
8．已知某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为，则与该角平分线相邻两边所在直线的斜率分别为______________．
题号
2
1
3
4
5
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15
，3　[某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为，
设这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为k，m，且k则tan 30°＝＝＝，解得k＝，m＝3．]
，3
三、解答题
9．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
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11
12
13
14
15
[解]　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1．
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的
斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1．
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°．
题号
2
1
3
4
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15
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2，0)，过点A的直线交x轴于点C(a，0)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则a＝(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．
题号
2
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√
B　[设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，且tan 2α＝，由题可知tan2α＝kAC＝，tan α＝kAB＝，所以＝，解得a＝，故选B．]
题号
2
1
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4
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6
8
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15
11．(多选题)下列说法中，表述正确的是(　　)
A．向量m＝(－3，)为直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为
B．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为θ，直线l绕点A顺时针旋转后得直线l1，则直线l1的倾斜角为θ－
C．若实数x，y满足y＝－x＋3，－1≤x≤1，则代数式的取值范围为
D．若直线l1，l2的倾斜角分别为θ1，θ2，则“sin (θ1－θ2)＝1”是“l1⊥l2”的充要条件
题号
2
1
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√
√
AC　[A中向量m＝(－3，)为直线l的方向向量，则直线l的斜率为－，故直线l的倾斜角为，故A正确；
B中若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为θ，直线l绕点A顺时针旋转后得直线l1，则当≤θ<π时，直线l1的倾斜角为θ－；当0≤θ<时，直线l1的倾斜角为π＋＝θ＋，故B错误；
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C中若实数x，y满足y＝－x＋3，－1≤x≤1，设A(－1，4)，B(1，2)，则代数式＝表示线段AB上任意一点(x，y)和点C(－2，－3)连线的斜率，
由图可知，＝∈[kBC，kAC]＝，故C正确；
D中若直线l1，l2的倾斜角分别为θ1、θ2，则0≤θ1<π，0≤θ2<π，－π<－θ2≤0，
所以－π<θ1－θ2<π，
则sin (θ1－θ2)＝1 θ1－θ2＝ l1⊥l2；
当l1⊥l2时，|θ1－θ2|＝ θ1－θ2＝±；
故“sin (θ1－θ2)＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，
故D错误．]
题号
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12．已知向量m＝(a，a2＋1)(a≠0)，直线AB的一个方向向量为n，若m与n共线，则直线AB的斜率的取值范围是_________________________．
题号
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(－∞，－2]∪[2，＋∞) 　[因为m＝(a，a2＋1)(a≠0)，直线AB的一个方向向量为n，且m与n共线，则n＝λ(a，a2＋1)，
所以直线AB的斜率k＝＝a＋，
当a>0时，a＋≥2，当a<0时，a＋≤－2．]
(－∞，－2]∪[2，＋∞)
13．已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为___________，直线AC的一个方向向量为______________________________．
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2－3　(1，－)(答案不唯一)　[设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，
又tan α＝＝，
2－3
(1，－)(答案不唯一)
又0°≤α<180°，所以α＝60°，2α＝120°，
所以kAC＝＝tan 120°＝－，
得m＝2－3；
由上述分析得kAC＝－，
所以直线AC的一个方向向量为(1，－)．]
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[解]　由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与函数y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象上任意一点(x，y)的直线的斜率k．
如图所示，可知kPA≤k≤kPB．由已知可得A(1，1)，
B(－1，5)，所以kPA＝，kPB＝8．数形结合可知，
的最大值为8，最小值为，则的取值范围
为．
14．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的取值范围．
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15．直线x sin α－y＋1＝0的倾斜角的取值范围为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
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D　[设直线x sin α－y＋1＝0的倾斜角为θ，可得tan θ＝sin α∈[－1，1]，
所以θ的取值范围为．故选D．]
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谢 谢！