【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2 2.2.3 两条直线的位置关系 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共73张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章
平面解析几何
2.2　直线及其方程
2.2.3　两条直线的位置关系
学习任务 1．掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标．(数学运算)
2．掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别．(逻辑推理、数学运算)
3．灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系．(逻辑推理、数学运算)
过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱子支撑．为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直．你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直
线的平行与垂直用什么来刻画呢？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　两条直线的相交、平行与重合
(1)几何方法判断
若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：
设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则
①l1与l2相交 __________．
②l1与l2平行 ______________________．
③l1与l2重合 ______________________．
k1≠k2
k1＝k2且b1≠b2
k1＝k2且b1＝b2
(2)向量方法判断
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量．
①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即__________________．
②l1与l2平行的充要条件是v1与v2共线，即_________________________________________．
l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ，使得A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2．
A1B2≠A2B1
A1B2＝A2B1，B1C2≠B2C1(或A1C2≠A2C1)
思考　1．直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是什么？重合的充要条件呢？
[提示]　平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件为C1＝C2．
知识点2　两条直线的垂直
(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2 ______________．
(2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2 ______________________．
k1k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
思考　2．两直线互相垂直，一定能得到两直线的斜率之积等于－1吗？
[提示]　 不一定，因为两直线互相垂直，其中一条直线的斜率可能不存在．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行． (　　)
(2)若l1∥l2，则k1＝k2． (　　)
(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交． (　　)
(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行． (　　)
(5)若直线l1，l2的方程组成的方程组有解，则l1与l2一定相交．
(　　)
×
√
×
×
×
[提示]　(1)、(4)、(5)中两直线有可能重合，故(1)(4)(5)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确．
2．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是
(　　)
A．1　　 B．－2　　
C．1或－2　　 D．－1或2
√
B　[由已知，得a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1．当a＝1时，两直线重合，所以a＝－2．]
3．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)，(6，y)，且l1⊥l2，则y＝(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．1
√
D　[由题意得直线l1的斜率不存在，∵l1⊥l2，
∴直线l2的斜率为0，∴y＝1．故选D．]
4．已知直线l1：x＋ay＋1＝0与l2：x－y＋1＝0垂直，则a＝______．
1　[显然l2斜率存在且为1，又因为两直线垂直，所以l1斜率为－1，即－＝－1，解得a＝1．]
1
关键能力·合作探究释疑难
类型1　两条直线相交、平行、重合的判定
【例1】　(源自人教A版教材例题)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0．
[思路导引]　解直线l1，l2的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则l1与l2相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则l1∥l2；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则l1与l2重合．
[解]　(1)解方程组
得
所以l1与l2相交，交点是．
(2)解方程组
①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2．
(3)解方程组
①×2得6x＋8y－10＝0
①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
反思领悟　两条直线相交、平行或重合的四种判断方法
(1)把直线方程都化为斜截式，利用直线的斜率与截距的关系判断；
(2)把直线的方程化为一般式，利用方程中的x，y的系数之间的关系判断；
(3)解由直线的方程组成的方程组，利用方程组的解的个数判断；
(4)求两条直线的法向量，利用两个法向量的关系进行判断．
[跟进训练]
1．已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：
(1)相交；(2)平行；(3)重合．
[解]　因为直线l1：x＋my＋6＝0，
直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
所以A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m．
(1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0，
即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，即m≠3，且m≠－1．
故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交．
(2)若l1∥l2，则有即
即即
所以m＝－1．
故当m＝－1时，直线l1与l2平行．
(3)若l1与l2重合，则有即
所以所以m＝3．
故当m＝3时，直线l1与l2重合．
类型2　两条直线垂直的判定
【例2】　【链接教材P95例3】
(1)l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直．
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．
[解]　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2．
(2)由题意知，l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．
当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，
则l1⊥l2，满足题意．
当l1的斜率k1存在时，a≠5，
由斜率公式，得
k1＝＝，k2＝＝．
由l1⊥l2，知k1k2＝－1，
即＝－1，解得a＝0．
综上所述，a的值为0或5．
【教材原题·P95例3】
【例3】　判断下列各对直线是否垂直：
(1)l1：y＝2x－2，l2：x－2y＋1＝0；
(2)l1：x＝2，l2：y－3＝0．
[解]　(1)将l2的方程化为斜截式为y＝x＋．因此l2的斜率为，又因为l1的斜率为2，而且×2＝1≠－1，
从而可知l1与l2不垂直．
(2)显然，l1的倾斜角为90°，l2的倾斜角为0°，从而可知l1与l2垂直．
发现规律　判断两直线垂直的方法
(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2 ______________________判断．
(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2 ________________判断．
(3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为______方程再判断．
A1A2＋B1B2＝0
k1·k2＝－1
一般式
[跟进训练]
2．若直线ax＋(1－a)y＝3与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则a的值为____________．
1或－3　[若两直线垂直，则满足a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，整理得a2＋2a－3＝0，解得a＝1或a＝－3．]
1或－3
类型3　直线平行与垂直的综合应用
【例3】　如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t＞0．试判断四边形OPQR的形状．
[解]　由斜率公式得kOP＝＝t，kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，kPQ＝＝＝－．
所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ．
所以四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，又|OP|＝，|OR|＝2，所以|OP|≠|OR|，故四边形OPQR为矩形．
[母题探究]
(变条件)将本例中的四个点，改为“A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)”，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．
[解]　由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，
由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝
－3，kBC＝＝－．
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
反思领悟　判定几何图形形状的注意点
(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标．
(2)证明两直线平行时，仅仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况．
(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且确定不会产生其他的情况．
[跟进训练]
3．已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(2，7)，C(－3，4)，则△ABC为(　　)
A．锐角三角形　　 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
√
D　[由题意，可知kAB＝＝4，kAC＝＝－，kBC＝＝．设F为BC的中点，连接AF(图略)，则F，
则kAF＝＝－．所以kAB·kAC＝－1，kBC·kAF＝－1，所以AB⊥AC，BC⊥AF，所以△ABC为等腰直角三角形．]
学习效果·课堂评估夯基础
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　)
A．(4，1)　　　　 　　　 B．(1，4)
C．
√
C　[由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是．]
2．(教材P96练习A T3改编)已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　)
A．－8　 B．0　 　　
C．2　　 　 D．10
√
A　[由已知，得＝－2，所以m＝－8．]
3．已知直线l经过点(2，1)，且与直线2x－y＋1＝0垂直，则直线l的一般式方程为(　　)
A．x＋2y－4＝0 B．x＋2y＝0
C．2x－y－3＝0 D．4x－y＝0
√
A　[法一：因为直线l与直线2x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k满足k×2＝－1，
解得k＝－．又直线l经过点(2，1)，
所以由直线方程的点斜式得y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
法二：因为直线l与直线2x－y＋1＝0垂直，所以可设直线l的方程为x＋2y＋C＝0，C∈R，又直线l经过点(2，1)，所以2＋2＋C＝0，解得C＝－4，所以直线l的一般式方程为x＋2y－4＝0．]
4．已知点A(2，0)与B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a＝________，b＝________ ．
－
－
－　－　[kAB＝＝－2，若点A(2，0)与B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则直线AB与直线ax＋y＋b＝0垂直，直线ax＋y＋b＝0的斜率是－a，
所以(－a)·(－2)＝－1，得a＝－．
线段AB的中点(1，2)在直线ax＋y＋b＝0上，则a＋2＋b＝0，得b＝－．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何判断两直线平行？
[提示]　
前提 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 斜截式：k1＝k2； 一般式：A1B2－A2B1＝0 l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
2．如何判断两直线垂直？
对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，且l1⊥l2 斜截式：k1k2＝－1；一般式：A1A2＋B1B2＝0 l1与l2中的一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零，则l1⊥l2
图示
[提示]
3．如何根据直线的位置关系求直线方程？
[提示]　(1)根据两直线平行或垂直，可先确定出待求直线的斜率，再根据待求直线上点的坐标或其他条件求解直线方程．
(2)根据平行直线系方程或垂直直线系方程，设出待求直线的方程，利用待定系数法求解．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
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4
6
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一、选择题
1．直线l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行　　
C．相交　　 D．重合
课时分层作业(十二)　两条直线的位置关系
√
B　[因为A1B2－A2B1＝0且B1C2≠B2C1，所以l1∥l2．]
题号
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2．直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是
(　　)
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
√
A　[依题意可设所求直线方程为3x＋2y＋c＝0，
又直线l过点(－1，2)，代入可得c＝－1，
故所求直线方程为3x＋2y－1＝0．]
3．(多选题)已知直线l1：ax＋2y＋8＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的可能取值是(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
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√
AD　[因为l1∥l2，
所以
解得a＝2或a＝－1．故选AD．]
√
4．(教材P96练习A T3改编)过点A(2，3)且平行于直线2x＋y－5＝0的直线的方程为(　　)
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x＋2y－8＝0 D．4x＋2y－5＝0
题号
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√
B　[设直线方程为2x＋y＋C＝0，将点A(2，3)代入直线方程得到4＋3＋C＝0，解得C＝－7．故直线方程为2x＋y－7＝0．]
5．已知直线l：x＋y－1＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．直线l的倾斜角为
B．向量v＝(1，1)是直线l的一个方向向量
C．过点(1，3)与直线l平行的直线方程为x＋y＋4＝0
D．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
题号
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√
D　[对于A：l：x＋y－1＝0的斜率为k＝－1，所以直线l的倾斜角为，故A错误；
对于B：因为直线ax＋by＋c＝0的方向向量为v＝(－b，a)或v＝(b，－a)，
所以l：x＋y－1＝0的方向向量为v＝(－1，1)或v＝(1，－1)，故B错误；
题号
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对于C：因为与直线l：x＋y－1＝0平行的直线方程可设为x＋y＋m＝0，
又直线过点(1，3)，故1＋3＋m＝0，解得m＝－4，
故所求直线为x＋y－4＝0，故C错误；
对于D：m：x－y＋1＝0，l：x＋y－1＝0，则kl＝－1，km＝1，kl·km＝－1，
所以l⊥m，故D正确．故选D．]
题号
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二、填空题
6．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m＋n－p＝________．
题号
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0　[由两条直线垂直，得k1·k2＝－1，即－＝－1，
所以m＝10，直线为10x＋4y－2＝0，
又因为垂足为(1，p)，故p＝－2，
所以垂足为(1，－2)，代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12，
故m＋n－p＝10＋(－12)－(－2)＝0．]
0
7．直线x＋2y－3＝0关于直线x＝1对称的直线的方程是_________________．
题号
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x－2y＋1＝0　[由得交点(1，1)．因为直线x＋2y－3＝0的斜率为－，所以直线x＋2y－3＝0关于直线x＝1对称的直线的斜率为，所以所求直线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0．]
x－2y＋1＝0
8．已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，有O，A，B，C四点共圆，那么y的值是________．
题号
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　[由于O，A，B，C四点共圆，CO⊥OA，所以AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，
即＝－1，解得y＝．]
三、解答题
9．已知△ABC的顶点B(5，1)，AB边上的高所在的直线方程为x－2y－5＝0．
(1)求直线AB的一般式方程；
(2)在下列两个条件中任选一个，求直线AC的一般式方程．
①角A的平分线所在直线方程为x＋2y－13＝0；
②BC边上的中线所在的直线方程为2x－y－5＝0．
题号
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[解]　(1)AB边上的高所在的直线方程为x－2y－5＝0，斜率为，
所以直线AB的斜率为－2，
所以直线AB的方程为y－1＝－2，整理得2x＋y－11＝0．
(2)若选①，角A的平分线所在直线方程为x＋2y－13＝0，
联立 故A．
题号
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设B1是点B关于直线x＋2y－13＝0的对称点，
则解得a＝，b＝，即B1，
由于B1是直线AC上的点，所以kAC＝＝，
所以直线AC的方程为y－5＝，
整理得直线AC的一般式方程为2x－11y＋49＝0．
题号
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若选②，BC边上的中线所在的直线方程为2x－y－5＝0，
联立 故A．
设C，则BC的中点在直线2x－y－5＝0上，
即2×－5＝0，整理得2m－n－1＝0，
C在直线x－2y－5＝0，即m－2n－5＝0，
联立 即C，所以kAC＝＝，
所以直线AC的方程为y－3＝，
整理得直线AC的一般式方程为6x－5y－9＝0．
题号
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10．若直线l：y＝kx－与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 (　　)
A．
C．
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√
C　[联立方程得交点，由交点在第一
象限知解得k> ，设直线l的倾斜角为α，即tan α>，
又α是锐角，故<α<，故选C．]
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11．设M，N为不同的两点，直线l：ax＋by＋c＝0，δ＝，下列命题中正确的有(　　)
①无论δ为何值，点N都不在直线l上；
②若δ＝1，则过点M，N的直线与直线l平行；
③若δ＝－1，则直线l经过MN的中点；
④若δ>1，则点M，N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交．
A．1个 B．2个　　
C．3个　　 D．4个
题号
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√
D　[因为δ＝中，ax2＋by2＋c≠0，所以点N不在直线l上，故①正确；
当b≠0时，根据δ＝1得到＝1，化简得＝－，
即直线MN的斜率为－，又直线l的斜率为－，由①可知点N不在直线l上，
得到直线MN与直线l平行，
当b＝0时，可得直线MN与直线l的斜率都不存在，也满足平行，故②正确；
题号
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当δ＝－1时，得到＝－1，
化简得a·＋b·＋c＝0，
而线段MN的中点坐标为，所以直线l经过MN的中点，故③正确；
当δ>1时，得到>1，所以>0，
即>0，所以点M，N在直线l的同侧，
且>，可得点M与点N到直线l的距离不等，
所以延长线与直线l相交，故④正确．综上，命题正确的有4个，故选D．]
题号
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12．设点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点为Q，则Q点的坐标为____________，过Q且与直线x＋y－3＝0垂直的直线方程为_____________．
题号
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(－4，－1)　x－y＋3＝0　[设Q(a，b)，则解得
a＝－4，b＝－1．即对称点坐标为Q(－4，－1)，设与直线x＋y－3＝0垂直的直线方程为x－y＋C＝0，将(－4，－1)代入上式得C＝3，所以直线方程为x－y＋3＝0．]
(－4，－1)
x－y＋3＝0
13．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是_____________________________．
题号
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{k|k∈R且k≠±5，k≠－10}　[由l1∥l3得k＝5，由l2∥l3得k＝－5，
由得
若(1，1)在l3上，则k＝－10．
故若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5，k≠－10．]
{k|k∈R且k≠±5，k≠－10}
14．(1)求A(3，2)关于B(－3，4)的对称点C的坐标；
(2)求直线3x－y－4＝0关于P(2，－1)对称的直线l的方程；
(3)求A(2，2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点B的坐标；
(4)求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．
题号
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[解]　(1)设C(x，y)，由中点坐标公式得解得
故所求的对称点的坐标为C(－9，6)．
(2)取直线l上任一点(x，y)，则它关于P(2，－1)的对称点(4－x，－2－y)在直线3x－y－4＝0上．
所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0．所以3x－y－10＝0．
所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0．
题号
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(3)设B(a，b)是A(2，2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点，根据直线AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线2x－4y＋9＝0上，
则有解得
所以所求的对称点B的坐标为(1，4)．
题号
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(4)由得交点E(3，－2)，E也在直线b上．
在a：2x＋y－4＝0上取点A(2，0)，设A关于l的对称点为B(x0，y0)，
则有解得
所以B．
故由两点式得直线b的方程为2x＋11y＋16＝0．
题号
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15．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB，AD分别在x轴、y轴的非负半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形ABCD折叠，使点A落在线段DC上．
(1)当点A落在线段DC的中点处时，求折痕所在的直线方程；
(2)若折痕所在直线的斜率为k，求折痕所在的
直线与y轴的交点坐标(答案中可以出现k)．
题号
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[解]　(1)当点A落在线段DC的中点处时，折痕所在的直线过点D(0，1)，点(1，0)，易求得折痕所在的直线方程为x＋y－1＝0．
(2)①当k＝0时，点A与点D重合，折痕所在的直线方程为y＝．
②当k≠0时，将矩形ABCD折叠后，点A落在线段DC上的点记为G(a，1)，0则有kAG·k＝－1，即·k＝－1，解得a＝－k，
故点G的坐标为(－k，1)，
题号
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所以折痕所在的直线与AG的交点(即线段AG的中点)坐标为，
所以折痕所在的直线方程为y－＝k，
即y＝kx＋．
当k＝0时，折痕所在的直线方程也满足上式．
综上，折痕所在的直线方程为y＝kx＋．
令x＝0，得y＝．
故折痕所在的直线与y轴的交点坐标为．
题号
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谢 谢！