【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2 2.2.4 点到直线的距离 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共71张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章
平面解析几何
2.2　直线及其方程
2.2.4　点到直线的距离
学习任务 1．掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题．(逻辑推理、数学运算)
2．会求两条平行直线之间的距离．(数学运算)
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P．
必备知识·情境导学探新知
问题1　若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？
问题2　如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？
知识点1　点到直线的距离
(1)定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得______的长度．
(2)公式：直线外一点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
__________________ ．
提醒　应用点到直线的距离公式时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，则先化成一般式再用公式求解．
垂线段
知识点2　两条平行直线之间的距离
(1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上________到另一条直线的____．
(2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．
(3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ ________ ．
任意一点
距离
提醒　使用两条平行直线间的距离公式时，直线的方程必须是一般式，而且方程中x，y的系数分别对应相等，对于系数不同的方程，应先将系数化为相等后再求距离．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b．
(　　)
(2)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为． (　　)
(3)两直线2x＋2y＝m与x＋y＝2n的距离为． (　　)
×
√
×
[提示]　(1)错误．d＝|y0－b|．
(2)正确．
(3)错误．求两条平行线间的距离必须先把x与y的系数化为相同形式．将2x＋2y＝m化为x＋y＝，
因此距离为．
2．点(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离为(　　)
A． B．2
C．3　 D．4
√
B　[根据距离公式可得点(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝＝2．]
3．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
－4　[由＝，得m＝－4或m＝0，
又因为m<0，
所以m＝－4．]
－4
4．两条平行直线5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之间的距离为________．
　[由两条平行直线的距离公式得，d＝＝．]
关键能力·合作探究释疑难
类型1　点到直线的距离
【例1】　(源自北师大版教材例题)求点P(－2，1)到下列直线的距离：
(1)3x＋4y－1＝0；
(2)y＝2x＋3；
(3)2x＋5＝0．
[解]　(1)根据点到直线的距离公式，
得d＝＝．
即点P(－2，1)到直线3x＋4y－1＝0的距离为．
(2)直线方程y＝2x＋3可化为一般式2x－y＋3＝0．
根据点到直线的距离公式，
得d＝＝＝．
即点P(－2，1)到直线y＝2x＋3的距离为．
(3)直线方程2x＋5＝0可化为x＝－，这条直线垂直于x轴，
所以d＝＝．
即点P(－2，1)到直线2x＋5＝0的距离为．
发现规律　点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为______方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝____________或d＝____________．
一般式
|x0－a|
|y0－b|
[跟进训练]
1．(1)若O(0，0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________________．
(2)已知点P(2，3)，点Q是直线l：3x＋4y＋2＝0上的动点，则|PQ|的最小值为_______ ．
－2或4或6
4
(1)－2或4或6　(2)4　[(1)(法一)由题意，得＝，即4a－a2＋6＝±6，解得a＝0或－2或4或6．
检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6．
(法二)当直线平行于OA时，
∵kOA＝－，∴－＝－，解得a＝4；
当直线过OA的中点时，∵OA的中点坐标为，
∴a×2＋a2×＋6＝0，即a2－4a－12＝0，
解得a＝－2或6．综上a＝－2或4或6．
(2)点P(2，3)，点Q是直线l：3x＋4y＋2＝0上的动点，则|PQ|的最小值为点P到直线l的距离，所以|PQ|的最小值为d＝＝＝4．]
类型2　两条平行线之间的距离
【例2】　【链接教材P100例2】
(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程．
(1)　[由题意，得＝，所以m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间的距离公式，得＝＝．]
(2)[解]　设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，
由两平行线间的距离公式得＝3，
解得m＝16或m＝－14．
故所求的直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0．
[母题探究]
(变条件)把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”．
[解]　由直线l平行于直线3x－4y＋1＝0，
可设l的方程为3x－4y＋c＝0，
又点P到l的距离为3，所以＝3．解得c＝21或c＝－9，
故所求直线方程为3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0．
【教材原题·P100例2】
【例2】　求平行线l1：3x－4y＋3＝0与l2：6x－8y－5＝0之间的距离．
[解]　在l1的方程中，令y＝0，则可得x＝－1，因此(－1，0)是直线l1上一点．
又因为(－1，0)到6x－8y－5＝0的距离为＝，
所以所求距离为．
反思领悟　求两平行直线l1与l2间距离的两种方法
(1)公式法：当直线为l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2且b1≠b2时，d＝；
当直线为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝．但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
(2)转化法：将两平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
[跟进训练]
2．(1)已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)
A．4　　　　　　 B．
C．
√
(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝(　　)
A．0 B．1
C．－2 D．－1
√
(1)D　(2)C　[(1)由题意，直线3x＋2y－3＝0和直线6x＋my＋1＝0平行，
则＝，即m＝4．
所以对应直线方程为6x＋4y＋1＝0．
又直线3x＋2y－3＝0可化为6x＋4y－6＝0，
所以两平行直线间的距离为d＝＝＝．
(2)因为l1∥l2，所以＝，
解得n＝－4，即直线l2：x－2y－3＝0，
所以两平行直线间的距离d＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，
所以m＋n＝－2．]
类型3　距离公式的综合应用
【例3】　在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大．
[思路导引]　点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题．
[解]　如图所示，设点B关于直线l的对称点B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，
即3·＝－1，
所以a＋3b－12＝0．①
又由于线段BB′的中点坐标为，且在直线l上，
所以3×－1＝0，即3a－b－6＝0，②
解①②得a＝3，b＝3，所以B′(3，3)．
于是AB′的方程为＝，
即2x＋y－9＝0．
所以由解得
即直线l与AB′的交点坐标为(2，5)．
所以点P(2，5)为所求．
[解]　如图所示，设点C关于直线l的对称点为C′，求出点C′的坐标为．
所以AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，
则AC′和l的交点坐标为．
故点P为所求．
[母题探究]
(变条件)在本例中，求到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小的P点的坐标．
反思领悟　距离公式综合应用的三种常用类型
(1)最值问题：①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．
(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
(3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
[跟进训练]
3．已知△ABC的顶点坐标为A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1[解]　|AC|＝＝，
直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0．
因为点B(m，)到直线AC的距离d＝，
所以S△ABC＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝．
因为1所以0<，0所以当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大．
学习效果·课堂评估夯基础
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)
A．7　　 B．5　　　　
C．3　　　　 D．2
√
A　[直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝5－(－2)＝7．]
2．已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a＝(　　)
A．－3　 B．3或－3
C．－1或－3 D．1
√
B　[由题意得＝，解得a＝3或－3．]
3．直线6x＋8y－2＝0与6x＋8y－3＝0之间的距离为(　　)
A．1 B．3
C．
√
C　[由平行线间的距离公式可知，直线间的距离为d＝＝．]
4．给出定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，则曲线C1：y＝x2＋2到直线l：y＝x的距离等于________．
　[设曲线C1：y＝x2＋2上任意一点＋2)，则点P到直线l：y＝x的距离d＝＝，
当且仅当x0＝时，等号成立，
故曲线C1：y＝x2＋2到直线l：y＝x的距离等于．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．怎样利用点到直线的距离公式求解距离问题？
[提示]　(1)点到直线的距离是该点到直线上的点的距离的最小值．
(2)点到直线的距离公式适用于平面上任意一点，特别地，①当点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上时，点P到直线的距离为0；②当点P为原点时，d＝．
(3)在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．
(4)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|．
(5)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|．
(6)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|．
(7)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|．
2．应用两条平行直线间的距离公式时，有哪些注意事项？
[提示]　(1)使用两条平行直线间的距离公式时，直线的方程必须化为一般式，而且方程中x，y的系数分别对应相等，对于系数不同的方程，应先将系数化为相等后再求距离．
(2)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来求两直线间的距离．
①两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|．
②两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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15
一、选择题
1．若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值为
(　　)
A．　 B．2　　　
C．　　　 D．2
课时分层作业(十三)　点到直线的距离
√
B　[|OP|的最小值即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，由点到直线的距离公式得d＝＝2．]
题号
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2．若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．2 D．6
√
B　[由已知(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1，0)距离的平方，故其最小值为点(1，0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝＝4．]
3．(多选题)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则直线l的方程可能是(　　)
A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0
C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0
题号
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√
√
BC　[当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不成立．
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0．
因为点A(－2，2)，B(4，－2)到直线的距离相等，
所以＝，解得k＝－或k＝2．
题号
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当k＝－时，直线l的方程为y－4＝－(x－3)，整理得2x＋3y－18＝0；
当k＝2时，直线l的方程为y－4＝2(x－3)，整理得2x－y－2＝0．综上，直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0．故选BC．]
题号
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4．已知直线l：kx－y－3k＋1＝0，当k变化时，O(0，0)到直线l的最大距离为(　　)
A．2
C． D．2
题号
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√
C　[直线l：kx－y－3k＋1＝0，即k(x－3)－y＋1＝0，令解得即直线l恒过定点(3，1)，故当k变化时，O(0，0)到直线l的最大距离为＝．故选C．]
题号
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5．(多选题)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线的方程可以为
(　　)
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．2x＋3y－5＝0 D．12x＋18y－13＝0
题号
2
1
3
4
5
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15
√
√
BD　[直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0．
设l到l1的距离为d1，l到l2的距离为d2，l的方程为4x＋6y＋c＝0(c≠
－2且c≠－9)，则d1＝，d2＝．
依题意得＝，即d2＝2d1，
所以|c＋9|＝2|c＋2|，解得c＝5或c＝－．
因此，直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0．]
题号
2
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二、填空题
6．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上一点，则|PQ|的最小值为________．
题号
2
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　[|PQ|的最小值即为两平行直线的距离d＝＝．]
7．直线l1：x＋2y－3＝0与l2：2x＋my－1＝0平行，则m＝________，l1与l2的距离为________．
题号
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4　　[可知m≠0，由两直线平行可得＝≠，解得m＝4，
将l1化为2x＋4y－6＝0，则l1与l2的距离为＝．]
4
8．已知点A(0，2)，B(2，0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为__________．
题号
2
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4　[由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程为x＋y－2＝0．
因为△ABC的面积为2，所以AB边上的高h满足方程×2h＝2，得h＝．
设点C(t，t2)，则由点到直线的距离公式得＝，即|t2＋t－2|＝2，则t2＋t－4＝0或t2＋t＝0，这两个方程共有4个不相等的实数根，故满足题意的点C有4个．]
4
三、解答题
9．已知两条直线l1：x＋(1＋a)y＋a－1＝0，l2：ax＋2y＋6＝0，a∈R．
(1)若l1⊥l2，求a的值；
(2)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离．
题号
2
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[解]　(1)由于l1⊥l2，所以1×a＋×2＝0，a＝－．
(2)当a＝0时，两条直线的方程分别为x＋y－1＝0和y＋3＝0，此时两直线不平行，不符合题意．
当a≠0时，由于l1∥l2，所以＝≠，解得a＝1或a＝－2(舍去)，
当a＝1时，两条直线的方程分别为x＋2y＝0和x＋2y＋6＝0，
l1，l2之间的距离为＝＝．
题号
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10．(多选题)已知点M(1，2)关于直线l：y＝kx＋b对称的点是N(－1，
6)，直线m过点M，则(　　)
A．kb＝－2
B．l在x轴上的截距是－8
C．点M到直线l的距离为1
D．当m∥l时，两直线间的距离为
题号
2
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√
√
BD　[因为点M(1，2)关于直线y＝kx＋b对称的点是N(－1，6)，线段MN的中点坐标为(0，4)，所以解得所以kb＝2，故A错误；此时直线方程为y＝x＋4，令y＝0，解得x＝
－8，所以直线y＝kx＋b在x轴上的截距是－8，故B正确；由点到直线的距离公式和两平行直线间的距离公式可知，C错误，D正确，故选BD．]
题号
2
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3
4
5
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11．已知点A在直线x＋2y－1＝0上，点B在直线x＋2y＋3＝0上，线段AB的中点为P(x0，y0)，且满足y0>x0＋2，则的取值范围为(　　)
A．
C．
题号
2
1
3
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15
√
A　[设A(x1，y1)，＝k，则y0＝kx0，因为AB的中点为P(x0，y0)，所以B(2x0－x1，2y0－y1)，因为A，B分别在直线x＋2y－1＝0和x＋2y＋3＝0上，
所以x1＋2y1－1＝0，2x0－x1＋2(2y0－y1)＋3＝0，所以2x0＋4y0＋2＝0，即x0＋2y0＋1＝0．
因为y0＝kx0，所以x0＋2kx0＋1＝0，即x0＝－，
又y0>x0＋2，所以kx0>x0＋2，即(k－1)x0>2，
所以(k－1)>2，即 <0，解得－题号
2
1
3
4
5
6
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15
12．直线l1：2mx＋(m－2)y＋4＝0(m∈R)恒过定点____________；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为________．
题号
2
1
3
4
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6
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15
(－1，2)　y＝x　[由2mx＋(m－2)y＋4＝0，
得(2x＋y)m＋(4－2y)＝0，
由得所以l1恒过定点(－1，2)．
(－1，2)
y＝x
设直线l2的方程为：2mx＋(m－2)y＋C＝0，
因为l2过原点，所以C＝0，所以l2：2mx＋(m－2)y＝0，
则l1，l2之间的距离d＝＝，
当m＝时，(5m2－4m＋4)min＝，
所以dmax＝．所以l2的方程为y＝x．]
题号
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13．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1，0)，B(0，1)，则(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围是___________．
题号
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　[由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间的距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，
则|PQ|＝，
于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值．
如图所示，当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值，即
＝，
当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q
点到直线AB的距离，由A，B两点坐标可得直线
AB的方程为x＋y－1＝0．
则Q点到直线AB的距离d＝＝＝，所以≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13．]
题号
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14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(3，4)，AB边上中线CD所在直线方程为2x＋3y－11＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－3y＋7＝0，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
题号
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[解]　(1)∵AC⊥BH，BH的方程为x－3y＋7＝0，
不妨设直线AC的方程为3x＋y＋m＝0，
将A代入得9＋4＋m＝0，解得m＝－13，
∴直线AC的方程为3x＋y－13＝0，
联立直线AC，CD的方程，即
解得点C的坐标为．
题号
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(2)设B，则D，∵点B在BH上，点D在CD上，
所以解得B．
直线AC的方程为3x＋y－13＝0，
则B到直线AC的距离为＝，
又A(3，4)，C(4，1)，则＝＝，
∴S△ABC＝＝7．
题号
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15．(多选题)某同学在研究函数f (x)＝＋|x－1|的最值时，联想到两点之间的距离公式，从而将函数变形为f (x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)的最小值为
B．函数f (x)的最小值为
C．函数f (x)没有最大值
D．函数f (x)有最大值
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√
√
BC　[f (x)＝可理解为动点P(x，0)到两个定点A(0，1)，B(1，0)的距离和．如图，连接PA，PB，AB，由三角形三边关系可得|PA|＋|PB|≥|AB|＝，当点P和点B重合时等号成立，此时|PA|＋|PB|取得最小值．易知|PA|＋|PB|没有最大值．故选BC．]
题号
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谢 谢！