【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.3 2.3.1 圆的标准方程 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共63张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章
平面解析几何
2.3　圆及其方程
2.3.1　圆的标准方程
学习任务 1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．
(数学抽象)
2．掌握点与圆的位置关系．(直观想象)
3．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算)
我们的祖先很早就掌握了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的洨河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座空腹式的圆弧形石拱桥．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍保存完好，被公认为是世界上最古老的拱桥．
由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　圆的定义
平面内到一定点的距离等于____的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．
定长
思考　1．确定一个圆需要几个要素？
[提示]　2个要素，圆心——确定圆的位置(定位)，半径——确定圆的大小(定形)．
知识点2　圆的标准方程
方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点__________为圆心，__为半径的圆的方程，称为圆的标准方程．
(a，b)
r
知识点3　点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d与r的大小关系 ______ ______ ______
d＞r
d＝r
d＜r
思考　2．若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？
[提示]　若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆(x－1)2＋(y＋1)2＝22的圆心为(－1，1)． (　　)
(2)圆心为(2，－1)，半径为的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5． (　　)
(3)圆x2＋y2＝a2的半径为a． (　　)
×
√
×
[提示]　(1)×　圆心为(1，－1)．
(2)√　由圆的标准方程可知正确．
(3)×　半径为|a|．
2．圆心为点P(－2，3)，并且与x轴相切的圆的方程是(　　)
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
√
C　[因为圆心P(－2，3)到x轴的距离为3，且圆与x轴相切，所以圆的半径为3，则该圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝9．]
3．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外　　　　　 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
√
A　[因为m2＋25＞24，所以点P在圆外．]
关键能力·合作探究释疑难
类型1　直接法求圆的标准方程
【例1】　(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1　　 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
√
(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
√
[思路导引]　(1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程．
(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程．
(1)A　(2)A　[(1)设圆心坐标为(0，b)，则由题意知
＝1，解得b＝2．
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1．
(2)设此直径两端点分别为(a，0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，
－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝＝，从而所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13．]
发现规律　直接法求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程只需确定________和____，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出________和____，然后直接写出圆的标准方程．
圆心坐标
半径
圆心坐标
半径
[跟进训练]
1．已知两点P(3，4)，Q(－5，6)，求以PQ为直径的圆C的方程．
[解]　由已知，圆心C为线段PQ的中点，可得圆心C的坐标为(－1，5)．
又半径r为直径PQ长度的一半，
即r＝|PQ|＝＝．
因此，所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－5)2＝17．
类型2　待定系数法与几何法求圆的标准方程
【例2】　(源自人教A版教材例题)已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程．
[思路导引]　设圆心C的坐标为(a，b)．由已知条件可知，|CA|＝|CB|，且a－b＋1＝0．由此可求出圆心坐标和半径．又因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法．
[解]　(法一)设圆心C的坐标为(a，b)，因为圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，所以a－b＋1＝0． ①
因为A，B是圆上两点，所以|CA|＝|CB|．
根据两点间距离公式，有
＝，
即a－3b－3＝0． ②
由①②可得a＝－3，b＝－2．所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆的半径r＝|AC|＝＝5．
所以，所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
(法二)如图，设线段AB的中点为D．由A，B两点的坐标为(1，1)，(2，－2)，可得点D的坐标为，直线AB的斜率为kAB＝＝－3．
因此，线段AB的垂直平分线l′的方程是
y＋＝，即x－3y－3＝0．
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组
的解．
解这个方程组，得
所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆的半径r＝|AC|＝＝5．
所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
发现规律　求圆的标准方程的两种常用方法
一是待定系数法，由三个独立的条件建立关于__________的方程组，进而求得圆的方程，它是求圆的方程的常用方法．
二是几何法，常用到中点坐标公式，两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过____”“两条弦的中垂线交点必为____”等．
a，b，r
圆心
圆心
[跟进训练]
2．(源自北师大版教材例题)求经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程．
[解]　(法一)设该圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上，
可得方程组
①—②，
得(1－a)2＋(3－b)2＝(4－a)2＋(2－b)2， ④
化简、整理，得3a－b－5＝0． ⑤
联立③⑤解得代入①，得r2＝5．
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
(法二)如图，连接AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点．线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0．
联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组
解得即圆心C的坐标为(2，1)．
又该圆经过点A，则r2＝(1－2)2＋(3－1)2＝5，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
类型3　点与圆的位置关系的判定及应用
【例3】　已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则这个圆的标准方程为_______________________．
(x－2)2＋(y＋1)2＝13
(x－2)2＋(y＋1)2＝13　[要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|中的中间值．
因为|PA|＝＝，
|PB|＝＝，
|PC|＝＝5，即|PA|<|PB|<|PC|，所以圆的半径r＝|PB|＝．
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13．]
反思领悟　判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)用点与圆心的距离和半径的大小进行比较并判断．
(2)将点的坐标代入圆的标准方程中的左式，比较左式的值与右式r2的大小进行判断．
[跟进训练]
3．若点(1，1)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，1)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1，1]
√
B　[因为点(1，1)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(1－m)2＋(1＋m)2<4，解得－1学习效果·课堂评估夯基础
1．(教材P106练习A T1改编)以点(1，2)为圆心，且经过点(2，0)的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋y2＝5
B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝13
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝13
√
B　[设圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，
又经过点(2，0)，所以(2－1)2＋(0－2)2＝r2，
即r2＝5，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5．]
2．设A(2，－1)，B(4，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8
C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8
√
A　[直径|AB|＝＝2，
所以半径为，中点坐标(3，0)，
所以圆的方程为(x－3)2＋y2＝2．]
3．(多选题)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是
(　　)
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．原点在圆M内部
C．圆M的半径为5
D．圆M被y轴截得的弦长为6
√
√
√
ACD　[由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，故圆心为(4，－3)，半径为5，则A、C正确；原点在圆M上，故B错误；令x＝0，得y＝0或y＝－6，弦长为6，故D正确．故选ACD．]
4．已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．
[0，1)　[由题意知
解得0≤a<1．]
[0，1)
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m一定表示圆吗？
[提示]　不一定．当m＞0时，表示圆心为C(a，b)，半径为的圆；
当m＝0时，表示一个点C(a，b)；
当m＜0时，不表示任何图形．
2．如何求解圆的标准方程？
[提示]　(1)直接代入法：根据已知条件求圆心坐标和半径，直接写出圆的标准方程．
(2)待定系数法：第一步，设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
第二步，根据条件列方程组求待定系数a，b，r．
第三步，代入所设方程中得到圆的标准方程．
(3)几何法．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝3的位置关系为(　　)
A．点在圆外　　　　 B．点在圆内
C．点在圆上 D．与m的值有关
课时分层作业(十四)　圆的标准方程
√
A　[因为(m－2)2＋(3－1)2＝(m－2)2＋4>3，所以P(m，3)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝3外．]
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2．圆心在y轴上，半径为1且过点(－1，2)的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y－3)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝1
C．(x－2)2＋y2＝1　　 D．(x＋2)2＋y2＝1
√
B　[设圆心(0，b)，则x2＋(y－b)2＝1．又圆过点(－1，2)，代入得b＝2，
所以圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝1．]
3．(教材P106练习B T1改编)已知圆心在x轴上的圆经过A(3，1)，B(1，5)两点，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋4)2＋y2＝50 B．(x＋4)2＋y2＝25
C．(x－4)2＋y2＝50 D．(x－4)2＋y2＝25
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√
A　[设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－0)2＝r2．
圆C经过A(3，1)，B(1，5)两点，则有(3－a)2＋1＝(1－a)2＋25，
解得a＝－4，即圆心C为(－4，0)，则圆的半径r＝|CA|＝＝，
则圆C的方程为(x＋4)2＋y2＝50．]
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4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心， 为半径的圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
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√
C　[直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0．
由得所以C(－1，2)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5．]
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5．圆C上的点关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆C上，且该圆的半径为，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2＝5
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝5
C．x2＋y2＝5或(x－1)2＋(y＋1)2＝5
D．x2＋y2＝5或(x＋1)2＋(y－1)2＝5
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√
D　[因为圆C上的点(1，2)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆C上，
所以圆心在直线x＋y＝0上，
设圆心的坐标为C(a，－a)，
因为该圆的半径为，
则＝，
解得a＝0或a＝－1，
所以圆心C为(0，0)或(－1，1)，
则圆C的方程为x2＋y2＝5或(x＋1)2＋(y－1)2＝5．故选D．]
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二、填空题
6．在平面直角坐标系内，若圆C：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为______________．
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(－∞，－2)　[由题意知圆心为(－a，2a)，半径r＝2，故由题意知
解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．]
(－∞，－2)
7．若点P在圆(x－1)2＋y2＝1上运动，Q(m，－m－1)，则PQ的最小值为___________．
题号
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－1　[由Q(m，－m－1)，设x＝m，y＝－m－1，得y＝－x－1，
即点Q在直线x＋y＋1＝0上，由点P在圆(x－1)2＋y2＝1上运动，
则PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，
即－1＝－1．]
－1
1　[如图，∵|AB|＝2，∴当△ABC的高，即C到AB的距离最小时，S△ABC最小，
又圆心为(2，2)，半径为1．
∴此时C的坐标为(2，1)，∴S△ABC的最小值为1．]
8．已知△ABC的顶点A(－1，0)，B(1，0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________．
题号
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三、解答题
9．在①A(4，a)，B(－2，4)；②A(b，6)，B(－2，b)；③A(4，6)，B(c，4)中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知A，B的中点坐标是(1，5)，且________．
(1)直线AB的方程；
(2)以线段AB为直径的圆的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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[解]　(1)若选①，则＝，所以A，B；
若选②，则＝，所以A，B；
若选③，则＝，所以A，B；
所以①②③无论选择谁，A，B的坐标都一样，即A(4，6)，B(－2，4)．
设直线上的点的坐标为，A，B(－2，4)，
则有y－6＝，化简得x－3y＋14＝0．
题号
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(2)由＝＝2，
所以圆的半径r＝，圆心坐标为(1，5)，所以圆的方程为＋＝10．
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10．点M，N在圆＋(y＋1)2＝－3上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径是(　　)
A．2　　 B．
C．1　　　　 D．3
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C　[由题意知，直线x－y＋1＝0过圆心，即－＋1＋1＝0．
所以k＝4，r＝＝1．]
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11．(多选题)设圆的方程是＋＝a2＋b2，其中a>0，b>0，下列说法中正确的是(　　)
A．该圆的圆心为
B．该圆过原点
C．该圆与x轴相交于两个不同点
D．该圆的半径为a2＋b2
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√
√
BC　[由圆的标准方程可知，该圆的圆心坐标为，半径为，所以选项A、D不正确；因为＋＝a2＋b2，所以该圆过原点，因此选项B正确；
在圆的方程＋＝a2＋b2中，令y＝0，
有＋b2＝a2＋b2 ＝a2 x＝2a，或x＝0，因为a>0，
所以该圆与x轴相交于两个不同点，因此选项C正确．
故选BC．]
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12．已知在平面直角坐标系中，A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，△ABC恰好被面积最小的圆＝r2及其内部所覆盖，则a－2b＝__________________，r＝________．
题号
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－5　　[由题可知，＝(3，－1)，＝(1，3)，则＝0，所以△ABC是直角三角形且∠B＝，
易知覆盖△ABC且面积最小的圆为△ABC的外接圆，故外接圆的半径为＝＝，圆心为(1，3)，所以△ABC的外接圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5，所以a－2b＝1－2×3＝－5，r＝．]
－5
13．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为________．
题号
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4　[设该圆的圆心为(a，b)，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，
∵该圆过点(3，4)，∴(3－a)2＋(4－b)2＝1，此式子表示点(a，b)在以(3，4)为圆心，1为半径的圆上，则点(a，b)到原点的最小值为－1＝4．]
4
14．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在的直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．
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[解]　(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为－3．又点T(－1，1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0．
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(2)由解得点A的坐标为(0，－2)，因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2，0)，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又r＝|AM|＝＝2，所以矩形ABCD外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝8．
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15．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝，求d的最大值及最小值．
题号
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[解]　设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝(x－0)2＋(y＋1)2＋(x－0)2＋(y－1)2＝2(x2＋y2)＋2．因为圆心C的坐标为(3，4)，
所以|CO|2＝32＋42＝25，所以(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2，即16≤x2＋y2≤36．所以d的最小值为2×16＋2＝34，最大值为2×36＋2＝74．
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