【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.3 2.3.2 圆的一般方程 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共67张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章
平面解析几何
2.3　圆及其方程
2.3.2　圆的一般方程
学习任务 1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．
(数学抽象)
2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(数学运算、直观想象)
3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(数学运算)
钻石又名金刚石，提起它的大名，应该说很少有人会不知道，在大自然中，还有另一种与钻石成分一模一样，但用途却完全不同的物质——石墨．
必备知识·情境导学探新知
钻石和石墨的成分都是碳，但是因为碳元素间的结构不同，决定了这一对孪生兄弟有了截然不同的命运．
数学上也有因为结构不同而造成“用途”不同的“物质”，如本节课要学习的圆的一般方程就是圆的方程的另外一种形式．
问题1：把圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝9中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？
问题2：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
知识点1　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0左边配方，并将常数项移到右边得
＋＝．
(1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为____________，半径为______________的圆．
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点_______________ ．
(3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
知识点2　圆的一般方程
(1)一般方程：当D2＋E2－4F >0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
思考　1．圆的一般方程的特点是什么？
[提示]　(1)x2和y2系数相等，都为1．
(2)没有xy项．
思考　2．如何判断点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系？
[提示]　(1)点在圆内：＋Dx0＋Ey0＋F<0．
(2)点在圆上：＋Dx0＋Ey0＋F＝0．
(3)点在圆外：＋Dx0＋Ey0＋F>0．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)圆的标准方程与一般方程可以互化． (　　)
(2)方程2x2＋2y2－3x＝0不是圆的一般方程． (　　)
(3)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程． (　　)
(4)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆． (　　)
×
√
×
√
[提示]　(1)圆的标准方程与一般方程可以互化．
(2)方程2x2＋2y2－3x＝0即x2＋y2－x＝0，是圆的一般方程．
(3)圆的方程都能写成一个二元二次方程．
(4)当a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－22．已知m是实数，若方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲线是圆，则m的取值范围为(　　)
A．(－∞，20)　　　 B．(－∞，5)
C．(5，＋∞) D．(20，＋∞)
√
B　[由于方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲线为圆，则22＋42－4m>0，解得m<5．因此，实数m的取值范围是(－∞，5)．]
3．过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为
______________________．
x2＋y2－3x－4y＝0　[设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，所
以解得
所以圆的一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0．]
x2＋y2－3x－4y＝0
关键能力·合作探究释疑难
类型1　求圆的一般方程
【例1】　【链接教材P107例1】
已知△ABC顶点的坐标为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求其外接圆的一般方程．
[解]　(法一：待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得因此其外接圆的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0．
(法二：几何法)AB的垂直平分线方程y－＝x－，即y＝x－2．AC的垂直平分线方程y－＝－，即y＝－x＋4．
由得圆心(3，1)，
半径为＝．
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－6x－2y＋5＝0．
(法三：几何法)因为AB，AC的斜率，满足kAB·kAC＝＝－1，所以AB⊥AC，△ABC为直角三角形．
所以BC为外接圆的直径．外接圆圆心(3，1)，半径为|BC|＝＝，
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－6x－2y＋5＝0．
【教材原题·P107例1】
【例1】　已知A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)是⊙P上的三点，求这个圆的方程．
[解]　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都是圆上的点，所以它们的坐标都是方程的解，因此可得
解方程组可得D＝6，E＝－2，F＝－15．
因此所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0．
反思领悟　关于圆的一般方程
(1)圆的一般方程更体现方程的特点，只要求出系数D，E，F即可；
(2)当已知圆上三个点时，求圆的一般方程比较简便．
提醒：如果由已知条件确定圆心和半径较容易，那么可以求圆的标准方程．
[跟进训练]
1．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为_______________________________________________________
_________________________________________________________．
＋＝13或＋＝5或＋＝或＋＝(写出一个即可)　[依题意，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
＋＝13或＋＝5或
＋＝或＋＝(写出一个即可)
若过三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即＋＝13；
若过三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即＋＝5；
若过三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，
即＋＝；
若过三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，
即＋＝．]
类型2　圆的一般方程的应用
【例2】　已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)所表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
[解]　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1，
由r2＝－7t2＋6t＋1＞0得－＜t＜1．
所以t的取值范围是．
(2)因为r＝＝，因为∈，
所以当t＝时，圆的面积最大，rmax＝．
所对应的圆的方程为＋＝．
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0，点P恒在圆内，所以8t2－6t＜0，所以0＜t＜．
反思领悟　形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时的2种方法
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
提醒：应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
[跟进训练]
2．(源自北师大版教材例题)讨论方程λ(x2＋y2)＝(x－3)2＋y2表示的是怎样的图形．
[解]　将原方程整理为(λ－1)x2＋(λ－1)y2＋6x－9＝0． ①
当λ＝1时，方程①是一元一次方程6x－9＝0，表示与x轴垂直的直线．
当λ≠1时，方程①可进一步整理为＋y2＝． ②
当λ<0时，方程②无解，故原方程不表示任何图形；
当λ＝0时，方程②只有一组解故原方程表示一个点(3，0)；
当λ>0且λ≠1时，原方程表示一个圆心在点，半径为的圆．
类型3　二元二次方程表示圆的条件
【例3】　已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是_____________，半径是___________．
(－2，－4)　5　[由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2．
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；
当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即＋(y＋1)2＝
－，不表示圆．故圆心坐标是(－2，－4)，半径是5．]
(－2，－4)
5
[母题探究]
(变条件，变结论)判断方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0(a≠0)是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径．
[解]　(法一)因为a≠0，所以原方程可化为x2＋y2－x＋y＝0，
即＋＝＞0，
所以原方程表示圆，此时圆心坐标为，半径r＝．
(法二)因为a≠0，所以原方程可化为x2＋y2－x＋y＝0．
因为D2＋E2－4F＝＝＞0，
所以原方程表示圆，此时圆心坐标为，半径r＝．
反思领悟　二元二次方程表示圆的判断方法
二元二次方程中没有xy项，若x2，y2的系数相等且不为1时，先化系数为1，变为形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程．判断其是否表示圆时有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正，若D2＋E2－4F＞0，则方程表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方变成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
[跟进训练]
3．已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，求a的取值范围．
[解]　由点A在圆外得
所以即2＜a＜，
所以a的取值范围是．
学习效果·课堂评估夯基础
1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1)　　　　 B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．
√
A　[方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．]
2．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为(　　)
A．，4 B．(3，2)，4
C．
C　[方程2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0可化为x2＋y2＋3x－2y－＝0，即＋(y－1)2＝，易知圆心的坐标为，半径为．]
√
3．原点O与圆：x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0原点O在圆外　[把(0，0)代入圆的方程左边，得(a－1)2．因为a∈(0，1)，所以(a－1)2>0，故原点O在圆外．]
原点O在圆外
4．经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的一般方程为__________________________．
x2＋y2－7x－3y＋2＝0　[设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点的坐标代入方程整理可得
解得
故所求圆的一般方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0．]
x2＋y2－7x－3y＋2＝0
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．圆的标准方程与一般方程有何区别与联系？
[提示]　(1)①圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标与半径．
②圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，它表现出明显的代数结构形式，圆心坐标与半径需要运算才能得出来，即可由一般方程的系数D，E，F写出圆的圆心坐标和半径，但要先把二次项的系数化为1．
(2)二者可以互化(如图所示)．
2．求圆的方程的基本思想是什么？
[提示]　求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心坐标和半径，则可直接写出圆的标准方程，否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
一、选择题
1．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
课时分层作业(十五)　圆的一般方程
√
D　[原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
所以即所以方程表示点(－a，－b)．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．“实数a>0”是“方程x2＋y2－2x－a＝0表示圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
√
A　[因为x2＋y2－2x－a＝0表示圆，则(－2)2＋02－4×(－a)>0，即a>－1．a>0能推出a>－1，反之不能．故选A．]
3．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　)
A．2或1 B．－2或－1
C．2 D．1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，
则有2m2－6m＋4＝0，且－6m＋4)>0，解得m＝2．]
4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　)
A．－2或2 B．或
C．2或0 D．－2或0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1，2)，圆心到直线的距离d＝＝，所以a＝2或0，故选C．]
5．若点(2，3)在圆C：x2＋y2＋2x－2my＋4m＝0(m∈R)的外部，则实数m的取值范围是(　　)
A．
B．
C．(－∞，2－
D．(2＋，＋∞)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[因为方程x2＋y2＋2x－2my＋4m＝0(m∈R)表示圆，所以22＋(－2m)2－4×4m>0，即m2－4m＋1>0，解得m>2＋或m<2－．又点(2，3)在圆C：x2＋y2＋2x－2my＋4m＝0(m∈R)的外部，所以22＋32＋2×2－2m×3＋4m>0，解得m<．从而2＋题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、填空题
6．(教材P109练习A T1改编)已知圆x2＋y2－2x－4y＝0，则该圆的圆心坐标为__________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(1，2)　[根据圆的一般方程可得圆的圆心坐标为，即(1，2)．]
(1，2)
7．已知点M(1，t)在圆x2＋y2－2ty＋1＝0的外部，则实数t的取值范围为________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(－，－1)∪(1，)　[因为M(1，t)在圆x2＋y2－2ty＋1＝0外，即在圆x2＋(y－t)2＝t2－1外，
所以可得t2－1>0，且1＋t2－2t2＋1>0，即1－1)∪(1，)．]
(－，－1)∪(1，)
8．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
5　[由题意，得直线l恒过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5．]
5
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点坐标分别为A，B，C，经过这三个点的圆记为M．
(1)求BC边的中线所在直线的一般式方程；
(2)求圆M的一般方程．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)设BC的中点为D(x，y)，
所以x＝＝1，y＝＝－2，则D(1，－2)，
所以直线AD的斜率k＝＝－，
则直线AD的方程为y＝－(x＋3)，整理成一般式为x＋2y＋3＝0．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以圆M的方程为x2＋y2＋x＋y－6＝0．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．(多选题)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是(　　)
A．的最大值为9
B．圆关于直线y＝－2x对称
C．F＝4
D．圆与y轴相切
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
√
√
ABC　[表示圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离，因为圆心到(2，1)的距离为5，所以圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离的最大值为5＋4＝9，A正确；
因为圆心在直线y＝－2x上，所以B正确；
由题知，得D＝－4，E＝8，F＝4，C正确；
由题知圆心纵坐标绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，D错误．故选ABC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
11．(多选题)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是(　　)
A．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心是(－1，2)
B．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径是2
C．a＋b＝1
D．ab的取值范围是
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
√
√
ABC　[原方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，故其圆心是(－1，2)，半径是2．
由已知得，该圆的圆心在直线2ax－by＋2＝0上，
所以a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋，
所以ab的取值范围是．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12．已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
－2　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将(4，2)，(1，3)，(5，1)代入方程中，
得解得
－2
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0．
令x＝0，则y2＋4y－20＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；
令y＝0，则x2－2x－20＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝2，
故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝
－2．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m＝________，圆的面积为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
－3　8π　[设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆的方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根，
由根与系数的关系及判别式得
－3
8π
又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1，
即＝－1，
即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4，
代入上面的结果得m－2＋1＝－4，
所以m＝－3，符合m<1的条件．
r＝＝2，
所以圆的面积为πr2＝π×(2)2＝8π．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14．如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，
1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程．
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南
偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°
方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的
危险？
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)由题图可知O(0，0)，A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(2)易知D(－20，－20)，且该船航线所在直线l的斜率为1，故直线l：x－y＋20－20＝0，由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝10．由于圆心C到直线l的距离d＝＝10<10，故该船有触礁的危险．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f (x)＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
(1)若b＝－1，求圆C的方程；
(2)当b<1，且b≠0时，圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？若经过，求出该定点；若不经过，请说明理由．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，与x2＋2x＋b＝0是同一方程，所以D＝2，F＝b，
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0．因为二次函数的图象过点(0，b)，所以b2＋Eb＋F＝0，
所以E＝－b－1，
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x＋(－b－1)y＋b＝0，
当b＝－1时，圆C的方程为x2＋y2＋2x－1＝0．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(2)由(1)知，圆C的方程为x2＋y2＋2x＋(－b－1)y＋b＝0，可化为x2＋y2＋2x－y－(y－1)b＝0，
由解得或
故圆C经过定点(0，1)，(－2，1)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢！