【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.4 曲线与方程 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共64张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章
平面解析几何
2.4　曲线与方程
学习任务 1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系．(数学抽象)
2．理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(数学抽象、直观想象)
3．掌握求轨迹方程的几种常用方法．(数学运算)
4．初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质．(数学抽象、逻辑推理)
笛卡儿被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”，他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学等方面都有研究且成就颇高．笛卡儿曾给他的恋人写的一封信，内容只有短短的一个公式：r＝a(1－sin θ)．你知道这是何意？其实这就是笛卡儿的爱心函数，图形是心形线，是一个圆上的
固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚
动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名．同学们，你
能说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　曲线的方程与方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的__．
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在________，则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程．
解
曲线C上
思考　1．如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明．
[提示]　如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆．
思考　2．如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
[提示]　若点P在曲线C上，则F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)＝0．
知识点2　求两条曲线的交点坐标
已知两条曲线C1，C2的方程分别为F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，则求两
条曲线的交点坐标只需求方程组的实数解就可以得到．确定两曲线交点个数问题，可转化为讨论方程组解的组数问题．
[拓展]　过两曲线交点的曲线系方程
过两曲线F1(x，y)＝0，F2(x，y)＝0交点的曲线系方程可用F1(x，y)＋λF2(x，y)＝0(λ∈R) 表示，但应注意该方程不能表示曲线F2(x，y)＝0．
知识点3　求动点M轨迹方程的一般步骤
(1)设动点M的坐标为________(如果没有平面直角坐标系，需先建立)．
(2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用__________表示出来．
(3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程．
(x，y)
M的坐标
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，则方程F(x，y)＝0，即为曲线C的方程． (　　)
(2)方程x＋y－2＝0是以A(2，0)，B(0，2)为端点的线段的方程． (　　)
(3)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样． (　　)
(4)求轨迹方程就是求轨迹． (　　)
×
√
×
×
[提示]　(1)×　曲线的方程必须满足两个条件．
(2)×　以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上，如M(－4，6)就不在线段AB上．
(3)√　对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方程也不一样．
(4)×　求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形．
2．在平面直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的动点的轨迹方程是(　　)
A．|x|－|y|＝1　　 B．|x－y|＝1
C．||x|－|y||＝1 D．|x±y|＝1
√
C　[动点(x，y)到x，y轴的距离分别为|y|，|x|，由题意，得||y|－|x||＝1，即||x|－|y||＝1．]
3．笛卡儿、牛顿都研究过方程(x－1)(x－2)(x－3)＝xy，关于这个方程的曲线有下列说法，其中正确的是(　　)
A．该曲线关于y轴对称
B．该曲线关于原点对称
C．该曲线不经过第三象限
D．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数
√
C　[以－x代替x，得到(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝xy，方程改变，不关于y轴对称；
以－x代替x，－y代替y，得到(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝－xy，方程改变，不关于原点对称；
当x＜0，y＜0时，(x－1)(x－2)(x－3)＜0，xy＞0，显然方程不成立，
所以该曲线不经过第三象限．
令x＝－1，易得y＝24，即(－1，24)，符合题意，同理可得(1，0)，(2，0)，(3，0)符合题意，
所以该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的．]
4．曲线y＝x2与x2＋y2＝5的交点坐标是____________________．
(－2，1)和(2，1)　[联立两曲线方程，得y2＋4y－5＝0，
解得y＝1或y＝－5(舍去)，所以x＝±2．
故所求交点坐标是(－2，1)和(2，1)．]
(－2，1)和(2，1)
关键能力·合作探究释疑难
类型1　曲线与方程关系的应用
【例1】　已知方程x2＋(y－1)2＝10．
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值．
[思路导引]　
[解]　(1)因为12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
所以点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)因为点M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，所以x＝，y＝－m适合上述方程，
即＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－，
所以m的值为2或－．
反思领悟　1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
[跟进训练]
1．(1)命题“以方程f (x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是命题“曲线C的方程是f (x，y)＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)方程(2x＋3y－1)＝0所表示的是(　　)
A．一条直线和一条射线 B．两条射线
C．两条线段 D．两条直线
√
√
(1)B　(2)A　[(1)根据曲线方程的概念，“曲线C的方程是f (x，y)＝0”包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程f (x，y)＝0的解”和“以方程f (x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义．
(2)由(2x＋3y－1)＝0可得，当2x＋3y－1＝0时，x－3≥0，此时方程表示的是射线；
当x＝3时，也满足(2x＋3y－1)＝0，此时方程表示的是直线，故方程表示的是一条直线和一条射线．]
类型2　曲线方程的求解
角度1　定义法求曲线的方程
【例2】　设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
[解]　如图，设OQ为过点O的弦，P(x，y)为弦OQ的中点，连接CP．由题易知CP⊥OQ，∴∠OPC＝90°．
令线段OC的中点为M，
∴动点P在以点M为圆心，线段OC为直径的圆上，故所作弦的中点的轨迹方程为＋y2＝(0＜x≤1)．
反思领悟　若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义(如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等，其中椭圆、双曲线、抛物线后面会学到)，则可用曲线的定义直接写出方程，这种方法叫作定义法．
[跟进训练]
2．若平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足||＝4，则点P的轨迹是(　　)
A．线段 B．半圆　　
C．圆　　 D．直线
√
C　[设线段AB的中点为O，则＝2，∵||＝4，∴||＝2．
∵A，B是定点，∴O为定点，
∴点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．]
角度2　直接法求曲线的方程
【例3】　(源自人教A版教材例题)已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍．试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系．
[思路导引]　建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系．
[解]　如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．由AB＝4，得A(－2，0)，B(2，0)．
设点M的坐标为(x，y)，由|MA|＝|MB|，得
＝，
化简，得x2－12x＋y2＋4＝0，即(x－6)2＋y2＝32．
所以点M的轨迹是以P(6，0)为圆心，半径为4的一个圆．
因为两圆的圆心距为|PO|＝6，两圆的半径分别为r1＝2，r2＝4，又r2－r1＜|PO|＜r2＋r1，所以点M的轨迹与圆O相交．
反思领悟　直接法求曲线方程的步骤
上面步骤简记为“建系设点、列出方程、代入坐标、整理化简、限制说明”．
[跟进训练]
3．已知平面上两定点A，B，|AB|＝2a，平面上一动点M到A，B的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程．
[解]　以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)．设A(a，0)，则B(－a，0)，设M(x，y)为所求轨迹上任意一点，那么点M属于集合P＝{M||MA|∶|MB|＝2∶1}．
由距离公式，得点M适合的条件可表示为∶＝2∶1，
两边平方化简，得3x2＋3y2＋10ax＋3a2＝0，即＋y2＝a2为动点M的轨迹方程．
角度3　代入法求曲线的方程
【例4】　已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
[解]　设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点，
所以即
又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，即＋y2＝，
所以P点的轨迹方程为＋y2＝1．
[母题探究]
1．(变条件)本例中把条件“M和定点B(3，0)连线的中点为P”改为“＝2”，求P点的轨迹方程．
[解]　设P(x，y)，M(x0，y0)，则＝(x－x0，y－y0)，＝(3－x，－y)，
由＝2得即又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以(3x－6)2＋9y2＝1，即(x－2)2＋y2＝．
所以点P的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝．
2．(变条件)本例中把条件“M和定点B(3，0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3，0)连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程．
[解]　设P(x，y)，M(x0，y0)，因为M为PB的中点，
所以又因为M在曲线x2＋y2＝1上，
所以＋＝1，即(x＋3)2＋y2＝4，
所以P点轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4．
反思领悟　代入法求解曲线方程的步骤
(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)．
(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系
(3)代入相关动点的轨迹方程．
(4)化简、整理，得所求轨迹方程．
其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”．
[跟进训练]
4．已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为________．
y＝2x　[设P(x，y)，R(x1，y1)．由＝知，点A是线段RP的中点，
∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x．]
y＝2x
类型3　利用方程研究曲线的性质
【例5】　(多选题)已知曲线C：＝1，则下列结论正确的有
(　　)
A．曲线C与坐标轴无公共点
B．曲线C关于原点对称
C．x的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．曲线C与圆x2＋y2＝2有交点
√
√
√
ABC　[对A，因为xy≠0，所以曲线C与坐标轴无公共点，A正确；对B，用(－x，－y)替换(x，y)，＝ 1 ＝1，所以曲线C关于原点对称，B正确；对C，因为＝1 －＞0，所以x2＞1，即x的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，C正确；对D，联立＝1和x2＋y2＝2，方程组无解，D错误．故选ABC．]
反思领悟　利用方程研究曲线性质的一般过程
[跟进训练]
5．已知曲线C的方程是x4＋y2＝1．关于曲线C的几何性质，给出下列结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线y＝x对称；
③曲线C所围成的区域的面积大于π．
其中，所有正确结论的序号是________．
①③
①③　[将方程中的x换成－x，y换成－y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；
将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4＋x2＝1与原方程不同，故②错误；
在曲线C上任取一点＝1，
因为|x0|≤1，
所以，
所以＝1，
即点M在圆x2＋y2＝1外，故③正确．
故正确结论的序号是①③．]
A　　　　　B　　　　C　　　　 D
学习效果·课堂评估夯基础
1．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是(　　)
√
D　[对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x＜0，y＜0，不满足方程，排除C．]
2．若点P的坐标为(a，b)，曲线C的方程为F(x，y)＝0，则“F(a，b)＝0”是“点P在曲线C上”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
C　[根据曲线与方程的关系可知，因为F(a，b)＝0，所以点P的坐标满足方程，所以点P在曲线上；反之，满足F(a，b)＝0的实数对(a，b)和点P对应．所以“F(a，b)＝0”是“点P在曲线C上”的充要条件，故选C．]
3．平面直角坐标系中，已知A，B分别为坐标轴上的动点且|AB|＝5，若线段AB的中点为M(x，y)，则动点M的轨迹方程为_________________．
x2＋y2＝　[根据题意及三角形的几何性质可知|OM|＝|AB|，即|OM|＝，
∴动点M的轨迹为以原点O为圆心，以为半径的圆，即x2＋y2＝．]
x2＋y2＝
4．曲线y＝和y＝－x＋公共点的个数为________．
1　[由，得－x＋＝，两边平方并整理得(x－1)2＝0，所以x＝，y＝，故公共点只有一个．]
1
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．曲线的方程和方程的曲线必须满足哪两个条件？
[提示]　曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．
2．求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？
[提示]　在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”，确保所求动点轨迹上的点一个也不多，一个也不少．
3．曲线方程一般化简到什么程度？
[提示]　方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程F(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
一、选择题
1．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线x－y＝0对称
课时分层作业(十八)　曲线与方程
√
C　[将(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
2．(多选题)下列命题错误的是(　　)
A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线
B．△ABC的顶点坐标分别为A(0，3)，B(－2，0)，C(2，0)，则中线AO的方程是x＝0
C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5
D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0
√
√
√
ABC　[对照曲线和方程的概念，A中的方程需满足y≠2；B中“中线AO的方程是x＝0(0≤y≤3)”；而C中，动点的轨迹方程为|y|＝5，只有D是正确的．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
3．在△ABC中，A(－2，0)，B(2，0)，点C在直线2x－3y＋5＝0上，则△ABC的重心G的轨迹方程为(　　)
A．2x－3y＋5＝0(y≠0)
B．6x－9y＋5＝0(y≠0)
C．6x－3y＋5＝0(x≠0)
D．6x－9y＋5＝0(x≠0)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
√
B　[因为△ABC的重心为G，
所以＝0，
设G(x，y) (y≠0)，C(m，n)，
则＝(－2－x，－y)＋(2－x，－y)＋(m－x，n－y)＝(m－3x，n－3y)＝0，
即m－3x＝0，n－3y＝0 m＝3x，n＝3y，
又点C在直线2x－3y＋5＝0上，
则2m－3n＋5＝0 6x－9y＋5＝0．
故△ABC的重心G的轨迹方程为6x－9y＋5＝0(y≠0)．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
二、填空题
4．动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－，则动点P的轨迹方程为_____________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
x2＋2y2－2＝0(x≠±)　[设P(x，y)，由题意知，x≠±，kAP＝，kBP＝，
由条件知kAP·kBP＝－，所以＝－，
整理得x2＋2y2－2＝0(x≠±)．]
x2＋2y2－2＝0(x≠±)
5．已知在平面直角坐标系xOy中，点A(－2，0)，B(4，0)，点P满足＝，则当P，A，B三点不共线时，△PAB面积的最大值为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
12
12　[设P(x，y)，则由＝得，4|PA|2＝，
即4(x＋2)2＋4y2＝(x－4)2＋y2，整理可得，x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，
∴P点轨迹是以(－4，0)为圆心，4为半径的圆，
如图所示，当P在圆心Q(－4，0)的正上方或
正下方时，P到AB的距离最大，且为半径4，
∴(S△PAB)max＝|AB|·|PQ|＝×6×4＝12．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
三、解答题
6．已知圆C经过(－2，3)，(4，3)，(1，0)三点．
(1)求圆C的方程；
(2)设点A在圆C上运动，点B(－1，0)，且点M满足＝2，求点M的轨迹．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
[解]　(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则
解得
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
(2)设M(x，y)，A(xA，yA)，又点B(－1，0)，＝2，
则(x－xA，y－yA)＝2(x＋1，y)，
所以即又点A在圆C上运动，
则(xA－1)2＋(yA－3)2＝9，所以(－x－2－1)2＋(－y－3)2＝9，即(x＋3)2＋(y＋3)2＝9，
所以点M的轨迹方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝9，
所以点M的轨迹是以(－3，－3)为圆心，以3为半径的圆．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
7．(多选题)在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点
A(－2，0)和点B(2，0)连线的斜率之和等于2，则关于曲线C的结论正确的有(　　)
A．曲线C是轴对称图形
B．曲线C上所有的点都在圆x2＋y2＝2外
C．曲线C是中心对称图形
D．曲线C上所有点的横坐标x满足|x|＞2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
√
√
BC　[设P(x，y)，则kPA＋kPB＝2，即＝2(x≠±2)，整理得x2－xy＝4(x≠±2)，所以曲线C是中心对称图形，不是轴对称图形，故C正确，A错误；x2＋y2＝2x2＋－8≥8－8>2，故B正确；由x2－xy＝4可知，x∈R且x≠0，x≠±2，故D错误．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
8．已知P为圆(x＋2)2＋y2＝1上的动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为_______________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
(x＋1)2＋y2＝　[设M(x，y)，P(x1，y1)．∵M为线段OP的中点，
∴即即P(2x，2y)．
将P(2x，2y)代入圆的方程(x＋2)2＋y2＝1，可得(2x＋2)2＋(2y)2＝1，即(x＋1)2＋y2＝，此方程为点M的轨迹方程．]
(x＋1)2＋y2＝
谢 谢！