【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.5 2.5.1 椭圆的标准方程 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共71张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章
平面解析几何
2.5　椭圆及其方程
2.5.1　椭圆的标准方程
学习任务 1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．
(数学抽象)
2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
(数学运算)
3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(逻辑推理、数学运算)
2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．10月26日17时46分，神舟十七号载人飞船与中国空间站核心舱前向端口完成自主快速交会对接，形成三舱三船组合体，继续开展空间科学实验和技术试验．神舟十七号载人飞船的成功发射标志着我国航天事业又上一个新台阶．神舟十七号载人飞船入轨的运行轨道是椭圆形的．
必备知识·情境导学探新知
问题：请你在平面内固定两个图钉，拉一根无弹性的细绳，两端系在图钉上(如图)，用铅笔抵住细绳并上下左右转动，看铅笔留的轨迹是否是椭圆？
知识点1　椭圆的定义
(1)定义：如果F1，F2是平面内的两个____，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足_________________的动点P的轨迹称为椭圆．
(2)相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的____，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的____．
思考1．定义中的常数不满足2a>|F1F2|时点的轨迹是什么？
[提示]　(1)当|PF1|＋|PF2|＝2a<|F1F2|时，P的轨迹不存在．
(2)当|PF1|＋|PF2|＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹为以F1，F2为端点的线段．
定点
|PF1|＋|PF2|＝2a
焦点
焦距
知识点2　椭圆的标准方程
焦点位置 在x轴上 在y轴上
标准方程 ____________(a>b>0) ____________(a>b>0)
图形
焦点坐标 (±c，0) (0，±c)
a，b，c的关系 a2＝______
＝1
b2＋c2
思考2．根据椭圆方程，如何确定焦点位置？
[提示]　把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．
×
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． (　　)
(2)椭圆＝1的焦点坐标是(3，0)与(－3，0)． (　　)
(3)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆． (　　)
×
×
[提示]　(1)由椭圆的定义知，当常数2a＞|F1F2|时，点的轨迹才是椭圆．
(2)椭圆＝1的焦点坐标是(0，3)与(0，－3)．
(3)只有当a2＞b2＞0时，＝1(a≠b)才表示焦点在y轴上的椭圆．
√
2．(多选题)椭圆＝1的焦距为4，则m的可能取值为(　　)
A．9　　　B．12　　　C．17　　　D．20
√
AC　[因为＝1表示椭圆，所以m>－2且m≠13，
又椭圆＝1的焦距为4，所以2c＝4，即c＝2，
当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝15，b2＝2＋m，所以15＝2＋m＋22，即m＝9；
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝2＋m，b2＝15，所以2＋m＝15＋22，即m＝17．]
3．椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________．
2　[由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝6，所以|PF2|＝6－|PF1|＝6－4＝2．]
2　
关键能力·合作探究释疑难
类型1　求椭圆的标准方程
【例1】　【链接教材P132例1】
根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26．
(2)经过点P，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．
(3)过(－3，2)且与＝1有相同的焦点．
[解]　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
因为2a＝26，2c＝10，所以a＝13，c＝5．
所以b2＝a2－c2＝144．
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
(2)设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，
因为焦点在x轴上，2c＝2，所以a2＝b2＋1，
又椭圆经过点P，所以＝1，
解得b2＝3，所以a2＝4．
所以椭圆的标准方程为＝1．
(3)由方程＝1可知，其焦点的坐标为，即c＝．
设所求椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，则a2＝b2＋5，因为过点
(－3，2)，代入方程为＝1(a＞b＞0)，
解得a2＝15(a2＝3舍去)，b2＝10，故椭圆的标准方程为＝1．
【教材原题·P132例1】
【例1】　分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点分别是F1(－3，0)，F2(3，0)，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8；
(2)两个焦点分别是F1(0，－4)，F2(0，4)，并且椭圆经过点．
[解]　(1)由已知得2a＝8，因此a＝4．又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝42－32＝7，因为椭圆的焦点在x轴上，所以所求椭圆的标准方程为＝1．
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为＝1(a>b>0)．
由已知得c＝4．又因为c2＝a2－b2，所以a2＝b2＋16．
因为点在椭圆上，所以＝1，即＝1．
从而有＝1，解得b2＝4或b2＝－12(舍去)．
因此a2＝4＋16＝20，从而所求椭圆的标准方程为＝1．
反思领悟　用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能．
(2)设方程：
①依据上述判断设方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)．
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点．
(2)经过两点．
[解]　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)．
(法一)由椭圆的定义知
2a＝＋＝12，
解得a＝6．
又c＝2，所以b＝．
所以椭圆的标准方程为＝1．
(法二)因为所求椭圆过点，
所以＝1．
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32，
所以椭圆的标准方程为＝1．
(2)(法一：分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由已知条件得
解得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＝1．
(法二：待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
将两点代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
类型2　利用椭圆定义解决焦点三角形问题
【例2】　设P是椭圆＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解]　由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，所以c2＝，所以c＝，2c＝5．
在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，
即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．①
由椭圆的定义，得10＝|PF1|＋|PF2|，
即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．②
②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝25，所以·sin 60°＝．
[母题探究]
1．(变条件)将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“∠F1PF2＝30°”，其余条件不变，求△F1PF2的面积．
[解]　由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，所以c2＝，所以c＝，2c＝5．
在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30°，
即25＝．①
由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，
即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．②
②－①，得＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝75，所以·sin 30°＝．
2．(变条件)将椭圆的方程改为“＝1”，其余条件不变，求△F1PF2的面积．
[解]　|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，又|F1F2|＝2c＝12．
由余弦定理知，(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，
即144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|．
所以|PF1|·|PF2|＝，
所以·sin 60°＝．
反思领悟　焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c．
(2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝cos ∠F1PF2．
(3)设P(xP，yP)，则焦点三角形的面积＝
sin ∠F1PF2＝b2·．
[跟进训练]
2．已知F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．
100　[依题意知a＝10，由椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|≤＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，故|PF1|·|PF2|的最大值是100．]
100　
类型3　与椭圆有关的轨迹问题
【例3】　如图，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
[解]　由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|．
所以|CM|＋|MA|＝5．
所以M点的轨迹为椭圆，其中2a＝5，
焦点为C(－1，0)，A(1，0)，
所以a＝，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝．
所以所求轨迹方程为＝1．
反思领悟　求解与椭圆相关的轨迹问题的方法
[跟进训练]
3．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．
[解]　如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
由题意动圆M内切于圆C1，
∴|MC1|＝13－r．
圆M外切于圆C2，
∴|MC2|＝3＋r．
∴|MC1|＋|MC2|＝16＞|C1C2|＝8，
∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，
故所求轨迹方程为＝1．
学习效果·课堂评估夯基础
1．(多选题)下列命题是真命题的是(　　)
A．已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆
B．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段
C．到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆
√
√
BD　[＜2，故点P的轨迹不存在，故A错误；因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2，故B正确；到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)，故C错误；点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为4＞8，所以点P的轨迹为椭圆，故D正确．]
2．已知曲线C：＝1，则“a＞0”是“曲线C是椭圆”的(　　)
A．充要条件　　　　 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 　 D．既不充分也不必要条件
√
C　[若曲线C：＝1表示椭圆，
则 a＞1，
故“a＞0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．]
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是
(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
√
B　[由9x2＋4y2＝36可得＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b2＝20，a2＝25，所以所求椭圆方程为＝1．]
4．已知椭圆＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．
48　[由题意知由|PF1|＋|PF2|＝14得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝196，∴2|PF1||PF2|＝96，∴|PF1||PF2|＝48．]
48　
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面内到两个定点F1，F2的距离之和为常数的动点M的轨迹一定是椭圆吗？
[提示]　不一定．
|MF1|＋|MF2|＝2a，
2．如何判断椭圆的焦点位置？
[提示]　判断椭圆焦点在哪个轴上就是要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．
3．椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？
[提示]　椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2(如图所示)．
阅读材料·拓展数学大视野
截口曲线——椭圆
如图(1)，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．那么，为什么截口曲线是椭圆呢？
历史上，许多人从纯几何角度出发对这个问题进行过研究，其中数学家Germinal Dandelin的方法非常巧妙．
在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切．两个球分别与截面相切于点E，F，在截口曲线上任取一点A，过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点C，B．由球和圆的几何性质，可以知道AE＝AC，AF＝AB，于是AE＋AF＝AB＋AC＝BC．
由切点B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值．这样，截口曲线上任意一点A到两个定点E，F的距离之和为常数．
由椭圆的定义可知，截口曲线是椭圆．
Germinal Dandelin的方法非常巧妙，极具创造性．看完他的方法后，你有什么体会吗？
如图(2)，用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线．你能仿照上述方法，证明圆柱的截口曲线也是椭圆吗？
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
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4
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12
13
√
14
15
课时分层作业(十九)　椭圆的标准方程
一、选择题
1．已知椭圆方程为x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k＝(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．
A　[椭圆x2＋ky2＝5即＝1，
∵焦点坐标为(0，2)，∴a2＝，b2＝5，c2＝4，
又c2＝a2－b2，∴－5＝4，∴k＝，故选A．]
题号
2
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√
2．已知F1，F2分别是椭圆C：
＝(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．2
B　[由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|＝2|PF2|，得：|PF1|＝＝＝．]
题号
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3．若动点M(x，y)满足方程＝10，则动点M的轨迹方程为(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
√
B　[依题意，动点M(x，y)到两定点(2，0)，(－2，0)的距离之和等于常数10，且10>4，所以其轨迹为椭圆，且2a＝10，c＝2，b2＝21，故方程为＝1．]
题号
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4．已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆上，若|MF1|＝4，则∠F1MF2＝(　　)
A．30° 　 B．60°
C．120° 　 D．150°
√
题号
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C　[由题意，椭圆方程＝1，可得a＝3，b＝，所以焦点F1，F2，
又由椭圆的定义，可得|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，因为|MF1|＝4，所以|MF2|＝2，
在△F1MF2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos ∠F1MF2，
所以2＝42＋22－2×4×2cos ∠F1MF2，解得cos ∠F1MF2＝－，
又由0°<∠F1MF2<180°，所以∠F1MF2＝120°．]
题号
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5．(多选题)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　　)
A．圆 　 B．线段
C．椭圆 　 D．直线
√
√
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BC　[由题意知，定点F1(0，－3)，F2(0，3)，可得|F1F2|＝6，因为a>0，可得|PF1|＋|PF2|＝a＋＝6，当且仅当a＝，即a＝3时等号成立．
当a＋＝6时，可得|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此时点P的轨迹是线段F1F2；
当a＋，此时点P的轨迹是椭圆．]
题号
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二、填空题
6．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的标准方程为___________．
＝1　[由题意可得解得故椭圆的标准方程为＝1．]
＝1　
题号
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7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1，P2，则椭圆的标准方程为___________．
＝1　[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．
∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．
则解得
∴所求椭圆的标准方程为＝1．]
＝1　
题号
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8．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为________．
　[∵线段PF1的中点在y轴上，∴PF2⊥x轴，∴|PF2|＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝4－，
∴．]
　
题号
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三、解答题
9．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解]　将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，
∴圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图．
由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C．
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于
两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，
题号
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而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6．
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点的椭圆，且2a＝6．
∴a＝3，c＝2，b＝，
∴所求圆心的轨迹方程为＝1．
题号
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√
10．(多选题)已知P是椭圆E：＝1上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　)
A．点P的纵坐标为3
B．∠F1PF2＞
C．△F1PF2的周长为4
D．△F1PF2的内切圆半径为
√
CD　[因为c＝＝2，所以|F1F2|＝2c＝4．又△F1PF2的面积为3，所以△F1PF2的边F1F2上的高为，即点P的纵坐标为或，故A错误．由焦点三角形面积公式可得＝3，所以tan ＜1，故∠F1PF2＜，故B错误．△F1PF2的周长等于2a＋2c＝4，故C正确．设内切圆半径为r，则有r＝3，所以r＝，故D正确．]
题号
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11．已知直线mx－y＋m＝0与x＋my－＝0(m∈R)交于点P，若A，B，则使点P到A，B两点距离之和等于4的m的值有(　　)
A．1个 　 B．2个
C．3个 　 D．4个
题号
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D　[由直线的性质可知直线mx－y＋m＝0与x＋my－＝0相互垂直，且分别过定点，∴点P在以原点为圆心，半径为的圆上，即圆：x2＋y2＝3，由椭圆的定义可知到A，B距离之和等于4的点在椭圆：＋y2＝1上，∵圆x2＋y2＝3与椭圆＋y2＝1有4个交点，∴满足题意的m的值有4个．故选D．]
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12．已知椭圆C的对称中心为原点O，M为椭圆C上一动点，F1为椭圆C的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹的形状是________．
椭圆　[如图所示，设椭圆C的右焦点为F2，由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝2a>2c，因为O，P分别为F1F2，F1M的中点，可得|PF1|＋|PO|＝＝a>c，根据椭圆的定义，可得点P的轨迹是椭圆．]
椭圆　
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13．已知A(－1，0)，C(1，0)是椭圆C的两个焦点，过C且垂直于x轴的直线交椭圆于M，N两点，且|MN|＝3，则椭圆的方程为_________，若B是椭圆上一点，则△ABC的最大面积为_____．
＝1　　[设椭圆的方程为＝1，令x＝c，则y＝±＝3，得＝3，又a2－b2＝c2＝1，所以a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为＝1．结合椭圆知当B点为椭圆与y轴交点时，S△ABC的面积最大，此时S△ABC＝．]
＝1
　
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14．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，且由焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到焦点F2．已知BF1⊥F1F2，|F1B|＝＝4．透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于点P，且∠F1PF2＝60°．
(1)试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所
在的椭圆的标准方程；
(2)求△F1PF2的面积．
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[解]　(1)连接BF2，CF2．以F1F2的中点O为坐标原点，F1F2所在直线为x轴，过点O作BC的平行线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设截口BAC所在椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，
因为BF1⊥F1F2，|F1B|＝＝4，
所以在Rt△BF1F2中，|BF2|＝，
所以2a＝|F1B|＋|F2B|＝6，a＝3，
又2c＝|F1F2|＝4，c＝2，所以b2＝a2－c2＝5．
所以所求椭圆的标准方程为＝1．
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(2)因为点P在椭圆上，∠F1PF2＝60°，
所以
即可得|PF1||PF2|＝．
故△F1PF2的面积为sin 60°＝．
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15．已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，求椭圆C的标准方程．
[解]　由题意设椭圆的标准方程为＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m．由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝．在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝，所以，
得a2＝3．又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的标准方程为＝1．
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谢 谢！