【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.5 2.5.2 椭圆的几何性质 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共70张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章
平面解析几何
2.5　椭圆及其方程
2.5.2　椭圆的几何性质
学习任务 1．根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确画出它的图形．(直观想象)
2．根据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆的方程研究它的性质、图形．(数学运算、逻辑推理)
奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处．当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)，所以能产生很好的听觉效果．其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？
必备知识·情境导学探新知
知识点1　椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
对称性 对称轴为_________，对称中心为_________ x轴和y轴
(0，0)
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
范围 x∈__________，y∈__________ x∈__________，y∈__________
顶点 ____________________________________________ ______________________________________________
轴长 短轴|B1B2|＝____，长轴|A1A2|＝____ [－a，a]
[－b，b]
[－b，b]
[－a，a]
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
2b
2a
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点 ______________________ ______________________
焦距 |F1F2|＝___ 离心率 F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
思考1．椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？
[提示]　最大距离：a＋c；最小距离：a－c．
知识点2　椭圆离心率e的几何意义
椭圆离心率的意义：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度．
当e越趋近于1时，c越趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；
当e越趋近于0时，c越趋近于0，从而b＝越趋近于a，因此椭圆越接近于圆；
当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程变为x2＋y2＝a2．
思考2．或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？
[提示]　或的大小能刻画椭圆的扁平程度．
(1)当→1时，b→a，椭圆越圆；当→0时，b→0，椭圆越扁．
(2)当→0时，c→0，此时b→a，椭圆越圆；当→＋∞时，b→0，此时c→a，椭圆越扁．
1．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为(　　)
A．　 　　B．　　　C．　 　　D．
A　[化椭圆方程为标准形式得＋y2＝1，
所以a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3．
所以e＝．]
√
2．椭圆＝1的焦点坐标是_________________，顶点坐标是_____________________．
　(±3，0)，(0，±4)　[由方程＝1知焦点在y轴上，所以a2＝16，b2＝9，c2＝a2－b2＝7．
因此焦点坐标为，顶点坐标为(±3，0)，(0，±4)．]
(±3，0)，(0，±4)
3．经过点P(－3，0)，Q(0，－2)的椭圆的标准方程为__________．
＝1　[由题意知点P(－3，0)，Q(0，－2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，
故椭圆的焦点在x轴上，且a＝3，b＝2，
故椭圆的标准方程为＝1．]
＝1　
4．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＝1的形状，则________更扁(填序号)．
①　[x2＋9y2＝36化为标准方程得＝1，故离心率e1＝；椭圆＝1的离心率e2＝．因为e1＞e2，所以①更扁．]
①
关键能力·合作探究释疑难
类型1　利用椭圆的标准方程研究其几何性质
【例1】　【链接教材P138例1】
求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
[解]　把已知方程化成标准方程为＝1，所以a＝4，b＝3，c＝，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝，
两个焦点坐标分别是，
四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．
【教材原题·P138例1】
【例1】　求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：
(1)＝1；
(2)8x2＋3y2＝24．
[解]　(1)由36>24可知这个椭圆的焦点在x轴上，且a2＝36，b2＝24，因此长轴长2a＝12，半短轴长b＝2．
又因为c2＝a2－b2＝36－24＝12，即c＝2．因此，椭圆的焦点坐标为．
离心率e＝．
(2)已知椭圆的方程可化为＝1，
由8>3可知这个椭圆的焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝3，因此长轴长2a＝4，半短轴长b＝．
又因为c2＝a2－b2＝8－3＝5，即c＝．因此，椭圆的焦点坐标为．
离心率e＝．
反思领悟　(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
[跟进训练]
1．已知椭圆E：＝1(m＞10)的离心率为，则椭圆E的长轴长为(　　)
A．　 　B．2　 　C．2　 　D．4
√
C　[因为椭圆E的方程为＝1(m＞10)，
所以a2＝m，b2＝10，c2＝a2－b2＝m－10，
又椭圆E的离心率为，所以，解得m＝15，所以a＝，所以椭圆E的长轴长为2．]
类型2　利用几何性质求椭圆的标准方程
【例2】　在①离心率e＝，②椭圆C过点③△PF1F2面积的最大值为这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，并作答．
问题：设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知椭圆C的短轴长为2，_____________，求椭圆C的标准方程．
[解]　由题设，2b＝2，即b＝．
若选①离心率e＝，则可得a＝2，则椭圆C的标准方程为＝1．
若选②椭圆C过点，则＝1，可得a2＝4，则椭圆C的标准方程为＝1．
若选③△PF1F2面积的最大值为，则可得a2＝4，则椭圆C的标准方程为＝1．
反思领悟　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
提醒：在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
[跟进训练]
2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＋x2＝1 　 D．＋y2＝1
√
C　[设椭圆C的标准方程为＝1(a>b>0)．
因为短轴长为2，
所以2b＝2，解得b＝1．
因为离心率e＝，又a2＝b2＋c2＝1＋c2，所以a2＝5，
所以椭圆C的标准方程为＋x2＝1．]
类型3　求椭圆的离心率
【例3】　已知F1，F2是椭圆在x轴上的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
[解]　设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．
依题意设A点坐标为，
则B点坐标为，所以|AB|＝．
由△ABF2是正三角形得2c＝，
即b2＝2ac．
又因为b2＝a2－c2，所以c2－2ac＝0，
两边同除以a2得＝0，
又0解得e＝．
[母题探究]
1．(变条件)本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”，如何求椭圆的离心率？
[解]　设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)，
设A点坐标为(0，y0)(y0＞0)，
则B点坐标为，因为B点在椭圆上，所以＝1，
解得，由△AF1F2为正三角形得4b2－＝3c2，
即c4－8a2c2＋4a4＝0，
两边同除以a4得e4－8e2＋4＝0，解得e＝－1．
2．(变条件)将“若△ABF2是正三角形”换成“且A点的纵坐标等于短半轴长的”，求椭圆的离心率．
[解]　设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，
F1(－c，0)，F2(c，0)，
由题意知A在椭圆上，
所以＝1，解得e＝．
发现规律　求椭圆离心率及范围的方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝___求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝______求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的________或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
b2＋c2
齐次方程
[跟进训练]
3．一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近(远)的一点称作近(远)地点，近(远)地点与地球表面的距离称为近(远)地点高度．已知某航天舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约是351 km，远地点高度大约是385 km，地球半径约6 400 km，则该轨道的离心率为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
√
A　[设椭圆的半长轴为a，半焦距为c．
则根据题意得a＋c＝385＋6 400，a－c＝351＋6 400，
解得a＝6 768，c＝17，
故该轨道即椭圆的离心率e＝，故选A．]
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．椭圆x2＋2y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(±1，0)　　B．(0，±1) 　C． 　D．
C　[因为椭圆x2＋2y2＝1的标准方程为x2＋＝1，所以a2＝1，b2＝，
所以c2＝a2－b2＝，所以c＝．
又椭圆x2＋2y2＝1的焦点在x轴上，
所以椭圆x2＋2y2＝1的焦点坐标是．]
2．与椭圆＝1有相同焦点，且满足半短轴长为 的椭圆方程是(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
√
A　[因为椭圆＝1的焦点坐标为，
所以所求椭圆的焦点坐标为，即c＝，
因为所求椭圆的半短轴长为2，所以b＝2，
所以a2＝b2＋c2＝20＋5＝25，所以所求椭圆的方程为＝1，故选A．]
3．已知椭圆C：＝1的焦距是2，则离心率e的值是(　　)
A． 　 B．或
C．或 　 D．或
√
B　[因为椭圆C：＝1的焦距是2，所以c＝1．
当椭圆焦点在x轴上，m＝4＋1＝5，所以e＝；
当椭圆焦点在y轴上，4＝m＋1，所以e＝．故选B．]
4．已知以坐标原点为中心的椭圆，其右焦点为F(2，0)，给出下列四个条件：①半短轴长为2；②半长轴长为2；③离心率为；④一个顶点坐标为(3，0)，选择其中一个条件，可求得椭圆的标准方程为＝1的有________________________________(填序号)．
①(①或②或③其中一个都满足条件)　[只需保证a＝2，b＝2，c＝2即可，且椭圆的顶点坐标为(0，±2)，，故①或②或③可求得椭圆的标准方程为＝1．]
①(①或②或③其中一个都满足条件)
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？
[提示]　椭圆的对称性、长轴长、短轴长、焦距、离心率等与位置无关；顶点坐标、焦点坐标等与位置有关．
2．a，b，c对椭圆形状有何影响？
[提示]　
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
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√
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课时分层作业(二十)　椭圆的几何性质
一、选择题
1．已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，直线2x＋y＋10＝0过椭圆的左顶点，则椭圆的标准方程为(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
D　[直线2x＋y＋10＝0与x轴的交点为(－5，0)，直线2x＋y＋10＝0过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为(－5，0)．
所以椭圆中a＝5，由椭圆的离心率为，
则c＝3，所以b＝4，
所以椭圆的标准方程为＝1．]
题号
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2．(多选题)已知点(3，2)在椭圆＝1上，则下列各点一定在该椭圆上的点为(　　)
A．(－3，－2) 　 B．(3，－2)
C．(－3，2) 　 D．(2，3)
√
ABC　[由椭圆的对称性可知，只有(2，3)不一定在椭圆上．]
√
√
题号
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3．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在y轴上，椭圆C的面积为2π，且短轴长为2，则椭圆C的标准方程为(　　)
A．＋y2＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
√
题号
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C　[因为椭圆C的焦点在y轴上，故可设其方程为＝1，
根据题意可得2，故可得a＝2，b＝，故所求椭圆的标准方程为＝1．]
题号
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4．椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
√
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C　[由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，
又|PF1|＝5|PF2|，则|PF1|＝＝，
∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
∴．
又e<1，
∴椭圆离心率的取值范围是
题号
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5．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的标准方程为(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．＋y2＝1
√
题号
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B　[因为离心率e＝，解得a2，
A1，A2分别为C的左右顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B为上顶点，所以B(0，b)．
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为＝－1，
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆的标准方程为＝1．]
题号
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二、填空题
6．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，a＋b＝3，则椭圆C的标准方程为______________．
＋y2＝1　[因为e＝，b2＝a2－c2，所以a＝c，代入a＋b＝3，解得c＝，则a＝2，b＝1．故椭圆C的标准方程为＋y2＝1．]
＋y2＝1　
题号
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7．如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________cm，离心率为________．
8　[由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为(cm)，则c2＝2－62＝12，所以c＝2，所以离心率e＝．]
8
　
题号
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8．若椭圆＝1(a＞b＞0)上存在一点P，使得∠F1PF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
　[由∠F1PF2＝90°，知点P在以线段F1F2(|F1F2|＝2c)为直径的圆上，又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有c≥b，即c2≥b2＝a2－c2，由此可得e2≥，故e∈
　
题号
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三、解答题
9．如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若，求椭圆的标准方程．
题号
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[解]　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．
所以a＝．
(2)由题意知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)．
其中，c＝，设B(x，y)．
由得，(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，即B．
题号
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将B点坐标代入＝1，得＝1，
即＝1，
解得a2＝3c2．①
又由＝(－c，－b)·，所以b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1．②
由①②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2．
所以椭圆的标准方程为＝1．
题号
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√
10．(多选题)如图所示，假设某卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，结合图中的
轨道Ⅰ和轨道Ⅱ，下列式子正确的是(　　)
A．a1＋c2＝a2＋c1 　 B．a1＋c1＝a2＋c2
C．a2c1>a1c2 　 D．a2c1√
AC　[由题图可知|PF|＝a1－c1＝a2－c2，所以a1＋c2＝a2＋c1；
又得a1－a2＝c1－c2，设a1－a2＝c1－c2＝t>0，则a1＝a2＋t，c1＝c2＋t，所以>，
所以>，即a2c1>a1c2．]
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11．(多选题)已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则(　　)
A．C的离心率为 　 B．△PF1F2的周长为5
C．∠F1PF2＜90° 　 D．1≤|PF1|≤3
√
题号
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CD　[对于A，由椭圆方程知：a＝2，c＝＝1，∴离心率e＝A错误；对于B，由椭圆定义知：＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2，
∴△PF1F2的周长为4＋2＝6，B错误；
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对于C，当P为椭圆短轴端点时，tan ，
∴tan ∠F1PF2＝，∴∠F1PF2＝60°，即(∠F1PF2)max＝60°，
∴∠F1PF2＜90°，C正确；
对于D，∵|PF1|min＝a－c＝1，|PF1|max＝a＋c＝3，∴1≤|PF1|≤3，D正确．故选CD．]
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12．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
　[设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1所以A(0，－1)，B．所以|AB|＝＝4a－|AB|＝4．]
　
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13．已知椭圆C：＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝________．
90°　[由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋a(k>0)，
与椭圆方程联立得消去y，整理得(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，
90°　
题号
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由Δ＝4a6k2－4(b2＋a2k2)·(a4－a2b2)＝0，得k＝，从而y＝x＋a．
因为直线交x轴的负半轴于点A，所以A．又F(c，0)，
所以＝(c，－a)，则＝0，故∠ABF＝90°．]
题号
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14．已知曲线Γ：＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．
(1)当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2是定值；
(2)设点C满足的最大值为7，求λ的值．
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[解]　由椭圆方程可得A(－4，0)，B(4，0)，
设P(x0，y0)．
(1)证明：k1＝，
所以k1·k2＝－为定值．
题号
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(2)因为，所以A，B，C三点共线，故设C(m，0)(－4＜m＜4)，
则|PC|＝
＝
＝．
题号
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若m≥0，则|PC|max＝＝7，解得m＝3．
此时＝(7，0)，＝(1，0)，，由，得λ＝7；
同理，若m<0，可得m＝－3，此时求得λ＝．
故λ的值为7或．
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15．已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一个动点，求的取值范围．
[解]　由＝1，得F1，F2，
设P(x0，y0)，则＝＝．所以．①
又＝1，所以，代入①，
所以－1，因为0≤≤9，所以0≤≤5，所以
－1≤≤4，所以∈[－1，4]．
题号
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谢 谢！