【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.6 2.6.1 双曲线的标准方程 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共73张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章
平面解析几何
2.6　双曲线及其方程
2.6.1　双曲线的标准方程
学习任务 1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．
(数学抽象)
2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(数学运算)
3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(逻辑推理、数学运算)
前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线．它的形状在现实中很常见，如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？为什么建成这样的双曲线
形冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学
习与双曲线相关的内容．
必备知识·情境导学探新知
知识点1　双曲线的定义
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a__|F1F2|，则平面上满足__________________的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的____，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距．
<
||PF1|－|PF2||＝2a
焦点
思考1．(1)如何理解双曲线定义中的“绝对值”？
(2)把“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或“常数为0”，结果如何？
[提示]　(1)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．
(2)①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．③若将“小于|F1F2|”改为“常数为0”，其余条件不变，则动点轨迹是线段F1F2的中垂线．
知识点2　双曲线的标准方程
焦点所在 的坐标轴 x轴 y轴
标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1
(a>0，b>0)
图形
焦点所在 的坐标轴 x轴 y轴
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系式 c2＝______
a2＋b2
思考2．如何确定双曲线标准方程的类型？
[提示]　焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
1．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
A　[当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3＜|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以P点的轨迹是双曲线．]
√
2．动点P到点M(1，0)及点N(5，0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是(　　)
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
√
C　[由题意，知|MN|＝4，当a＝1时，|PM|－|PN|＝2a＝2＜4，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝2时，|PM|－|PN|＝2a＝4＝|MN|，点P的轨迹为以N为端点沿x轴向右的一条射线．]
3．双曲线－y2＝1的焦距为(　　)
A．4　　　B．8　　　C．　　　D．2
√
B　[a2＝15，b2＝1，c2＝a2＋b2＝16，所以c＝4，2c＝8．]
4．(1)若双曲线方程为＝1，则其焦点在___________轴上，焦点坐标为__________________．
(2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为____________．
(1)x　(6，0)和(－6，0)　(2)＝1　[(1)因为方程中x2的系数>0，所以焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝20，从而c2＝16＋20＝36，c＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．
(2)由已知得b2＝c2－a2＝75，于是双曲线的标准方程为＝1．]
x
(6，0)和(－6，0)　
＝1
关键能力·合作探究释疑难
类型1　求双曲线的标准方程
【例1】　【链接教材P146例1】
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点；
(3)过点P且焦点在坐标轴上．
[解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．故所求双曲线的标准方程为＝1．
(2)双曲线＝1的焦点在x轴上，
因此设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．①
∵双曲线经过点，∴＝1．②
由①②得a2＝12，b2＝8，
∴双曲线的标准方程为＝1．
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0．
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为＝1．
【教材原题·P146例1】
【例1】　分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8；
(2)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，且双曲线经过点A(－5，6)．
[解]　(1)由已知得c＝5，2a＝8．因此a＝4，且b2＝c2－a2＝52－42＝9．又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是＝1．
(2)由已知得双曲线的焦点在y轴上，且c＝6，所以另一个焦点坐标为(0，6)．
因为点A(－5，6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为2a＝＝|13－5|＝8，因此a＝4，从而b2＝62－42＝20．
因此，所求双曲线的标准方程是＝1．
反思领悟　用待定系数法求双曲线的标准方程的一般步骤
[跟进训练]
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(2)经过点P1和P2两点．
[解]　(1)因为双曲线经过点M(0，12)，故焦点在y轴上，且a＝12．
又2c＝26，所以c＝13，
所以b2＝c2－a2＝25．
所以双曲线的标准方程为＝1．
(2)(法一)当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线标准方程为＝1(a＞0，b＞0)．
因为P1，P2在双曲线上，
所以解得(不合题意舍去)
当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)．
将P1，P2的坐标代入上式得
解得
即a2＝9，b2＝16．
所以所求双曲线的标准方程为＝1．
(法二)因为双曲线的位置不确定，
所以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
所以
解得
所以所求双曲线的标准方程为＝1．
类型2　双曲线标准方程的识别
【例2】　给出曲线方程＝1．
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[解]　(1)方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0，
即(k＋4)(k－1)>0，
解得k>1或k<－4，
因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．
(2)方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则有
解得k<－4，
因此实数k的取值范围是(－∞，－4)．
反思领悟　方程表示双曲线的条件
(1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[跟进训练]
2．已知方程＝1．
(1)若方程表示双曲线，求实数a的取值范围；
(2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点．
[解]　(1)方程表示双曲线，则(4＋a)(5＋a)<0．
解得－5因此，当－5(2)由(1)可知，双曲线的焦点在y轴上，且c2＝5＋a＋(－4－a)＝1．
所以方程表示的双曲线的焦点坐标为(0，1)，(0，－1)，显然与方程中的a无关，因此(1)中的双曲线有共同的焦点．
类型3　双曲线定义的应用
【例3】　已知F1，F2分别是双曲线＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32．试求△F1PF2的面积．
[解]　由＝1得a＝3，b＝4，所以c＝5．
由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得
|PF1|－|PF2|＝－6，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
又因为|PF1|·|PF2|＝32，所以|PF1|2＋|PF2|2＝100，
由余弦定理的推论得
cos ∠F1PF2＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°，
所以＝16．
[母题探究]
1．(变条件)若本例中的标准方程不变，点P是双曲线上的一点，且＝0，求△PF1F2的面积．
[解]　因为＝0，所以，不妨设点P在右支上，
所以有
解得＝32，
所以＝16．
2．(变条件)若把本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”换成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，试求△F1PF2的面积．
[解]　由＝1得a＝3，b＝4，所以c＝5，
由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，可设|PF1|＝2k，|PF2|＝5k．
由|PF2|－|PF1|＝6可得k＝2，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝10，
由余弦定理的推论得
cos ∠F1PF2＝＝，
所以sin ∠F1PF2＝
反思领悟　求双曲线中的焦点三角形面积的方法
(1)利用公式求面积．
(2)当焦点在x轴上时，利用公式(yP表示点P的纵坐标)．
当焦点在y轴上时，利用公式(xP表示点P的横坐标)．
重要结论：若∠F1PF2＝θ，则．
[跟进训练]
3．如图，已知双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．
4a＋2m　[由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a．
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m．]
4a＋2m　
学习效果·课堂评估夯基础
1．(教材P148练习A T5改编)在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是(　　)
A．＝1　　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1或＝1
D　[应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求．]
√
2．若方程＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是(　　)
A．(1，2) 　 B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) 　 D．(－2，2)
√
C　[由题意，方程可化为＝3，
∴解得m＜－2．]
3．已知双曲线的一个焦点为
点P是双曲线上的一点，若＝9，则|PF2|＝________．
17或1　[由题意知，双曲线＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，所以c＝5，
又由a 2＝c2－b2＝25－9＝16，
所以a＝4，
因为点P为双曲线上一点，且|PF1|＝9，
根据双曲线的定义可知||PF2|－|PF1||＝2a＝8，
所以|PF2|＝17，或|PF2|＝1．]
17或1　
4．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为______________．
－y2＝1　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m＞0，n＞0)，在Rt△PF1F2中，m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，由双曲线的定义知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16＝4a2，所以a2＝4，b2＝c2－a2＝1，所以双曲线的标准方程为－y2＝1．]
－y2＝1　
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值？
[提示]　不加绝对值，图象只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上，若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．
2．若点M在双曲线上，一定有||MF1|－|MF2||＝2a吗？
[提示]　一定．若||MF1|－|MF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线，反之一定成立．
3．双曲线与椭圆中，a，b，c满足的关系式相同吗？
[提示]　不相同．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
课时分层作业(二十一)　双曲线的标准方程
√
一、选择题
1．(多选题)已知方程＝1表示曲线C，则下列判断正确的是(　　)
A．当1B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
√
BCD　[由4－t＝t－1，得t＝，此时方程＝1表示圆，故A选项错误．由双曲线的定义可知，当(4－t)(t－1)<0时，即t<1或t>4时，方程＝1表示双曲线，故B选项正确．由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4－t>t－1>0，解得14，故D选项正确．综上所述，正确的选项为BCD．故选BCD．]
题号
1
3
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题号
2
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2．与双曲线y2－＝1有相同的焦点，且短半轴长为2的椭圆方程是(　　)
A．＝1　　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
√
题号
2
1
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14
B　[双曲线y2－＝1的焦点在y轴上，且焦点为，
所以椭圆的焦点在y轴上，且c＝，
依题意，椭圆短半轴b＝2，则a＝＝5，所以椭圆的方程为＝1．]
题号
2
1
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3．(多选题)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离可以是(　　)
A．2　　 　B．5　　 　C．7　　 　D．22
√
AD　[因为a2＝25，所以a＝5．由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝10，由题意知|PF1|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝±10，所以|PF2|＝22或2．]
√
题号
2
1
3
4
5
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13
14
4．如图，已知A，B两地相距600 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1 s，且声速为340 m/s．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为(　　)
A．
B．
C．
D．
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
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13
14
B　[设炮弹爆炸点P的坐标为，则＝340×1＝340<600，
所以P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支．
因为2a＝340，所以a＝170，又＝600＝2c，
所以c＝300，b2＝c2－a2＝90 000－28 900＝61 100，
故炮弹爆炸点的轨迹方程为．]
题号
2
1
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5
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12
13
14
5．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2等于(　　)
A． 　B．C． 　D．
√
C　[由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
所以|PF2|＝2＝4＝2c＝2＝4．
所以cos ∠F1PF2＝＝．]
题号
2
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14
二、填空题
6．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且＝16，则△PF1F2的周长是________．
34　[因为|PF1|＝2|PF2|＝16，
所以|PF1|－|PF2|＝16－8＝8＝2a，
所以a＝4，又b2＝9，所以c2＝25，所以2c＝10．
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝16＋8＋10＝34．]
34　
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
14
7．已知F为双曲线C：＝1的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若，则△OMF的面积为________．
　[不妨设点M在第一象限，由双曲线C：＝1，可得c＝＝4，
因为，所以＝4，
又因为＝1，所以y＝，故△OMF的面积为．]
　
题号
2
1
3
4
5
6
8
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13
14
8．若点P在双曲线＝1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为________，点P与双曲线的左焦点的距离为________．
±3　11　[记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，设P(xP，yP)．因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以xP＝，所以＝1，解得yP＝±3，所以|PF2|＝3．由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝11．]
±3
11
题号
2
1
3
4
5
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11
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13
14
三、解答题
9．在①m>0，且C左支上的任意一点到右焦点的距离的最小值为3＋，②C的焦距为6，③C上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解下列问题．
已知双曲线C：＝1，________，求双曲线C的标准方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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13
14
[解]　选条件①．
因为m>0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，解得a＝．由题意，得a＋c＝＝，解得m＝3，故双曲线C的标准方程为＝1．
题号
2
1
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4
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13
14
选条件②．
由题意，得2c＝6，即c＝3．
若m>0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，所以c＝＝3，解得m＝3，则双曲线C的方程为＝1；
若m<0，则a2＝－2m，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝－3m，所以c＝＝3，解得m＝－3，则双曲线C的方程为＝1．
综上可得，双曲线C的标准方程为＝1或＝1．
题号
2
1
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14
选条件③．
由题意，得2a＝4，即a＝2．
若m>0，则a2＝m，所以a＝＝2，解得m＝4，则双曲线C的方程为＝1；
若m<0，则a2＝－2m，所以a＝＝2，解得m＝－2，则双曲线C的方程为＝1．
综上可得，双曲线C的标准方程为＝1或＝1．
题号
2
1
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5
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14
√
10．(多选题)已知F1，F2分别为双曲线＝1(a＞0，b＞0且a≠b)的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，则下列为真命题的是(　　)
A．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上
B．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上
C．△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上
D．△PF1F2的内切圆必经过点(a，0)
√
题号
2
1
3
4
5
6
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13
14
AD　[设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A，B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|．又点P在双曲线的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设点M的坐标为(x，0)(x＞0)，则由|F1M|－|F2M|＝2a，可得(x＋c)－(c－x)＝2a，解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故AD为真命题．]
√
题号
2
1
3
4
5
6
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13
14
11．(多选题)已知点P是双曲线E：＝1的右支上一点，F1，F2分别为双曲线E的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　)
A．点P的横坐标为
B．△PF1F2为锐角三角形
C．△PF1F2的周长为
D．△PF1F2的内切圆半径为
√
√
题号
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ACD　[由双曲线E：＝1，
知a＝4，b＝3，c＝5，
对于A，设P(m，n)，m>0，n>0，
由已知得n＝cn＝5n＝20，
即n＝4，由＝1，可得m＝，故A正确；
对于B，由P，F2(5，0)，
可得>0，则∠PF2F1为钝角，
所以△PF1F2为钝角三角形，故B错误；
题号
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对于C，利用两点之间的距离，
可知|PF1|＝，
|PF2|＝，
则△PF1F2的周长为，故C正确；
题号
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对于D，设△PF1F2的内心为I，
连接IP，IF1，IF2(图略)，内切圆半径为r，
利用等面积法可得＝20，可得r＝40，解得r＝，故D正确．
故选ACD．]
题号
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12．椭圆＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为________，P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为________．
24
24
题号
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24　24　[由已知椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)，F2(0，－5)，
由椭圆与双曲线的定义可得
所以或
又|F1F2|＝10，所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，所以周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝14＋10＝＝24．]
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13．在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中的点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3．假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒(注：信号传播速度为v0)，C处舰艇保持静默．
(1)建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位
置的轨迹方程；
(2)在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最小是多少？
题号
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[解]　(1)以O为原点，以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设敌舰艇的位置为P(x，y)，由题意可知|PB|－|PA|＝v0×＝4．
由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a＝4，c＝3，
所以b＝．
所以敌舰艇的轨迹方程为＝1(x≤－2)．
题号
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(2)设方程＝1(x≤－2)上一点M(x0，y0)，
由题意知＝1(x0≤－2)，即．又C(0，3)，
所以|MC|＝(y0∈R)，
所以当y0＝min＝2．
即无人机飞行的距离最小是2．
题号
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14．设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示．已知△OFQ的面积为，且＝m，其中O为坐标原点．
(1)设(2)设＝c，m＝c2，当取得最小值时，
求此双曲线的标准方程．
题号
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[解]　(1)因为
所以tan θ＝．又所以1(2)设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)，所以S△OFQ＝·|y1|＝2，则y1＝±．
又＝m，即(c，0)·(x1－c，y1)＝，解得x1＝c ，
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所以＝，
当且仅当c＝4时，取等号，最小．
这时Q的坐标为或．
因为所以
于是所求双曲线的标准方程为＝1．
谢 谢！