【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.7 2.7.1 抛物线的标准方程 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(共66张PPT)
复习任务群一
现代文阅读Ⅰ
把握共性之“新”　打通应考之“脉”
第二章
平面解析几何
2.7　抛物线及其方程
2.7.1　抛物线的标准方程
学习任务 1．理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(数学抽象、直观想象)
2．掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(逻辑推理、数学运算)
3．会求抛物线的标准方程．(数学运算)
在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——迫击炮，迫击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防范．对于躲在战壕中的敌人，迫击炮的密集发射无疑是一场灾难，因此研究抛物线是很有必要的．这节课我们就要“走入”抛物线，看一看迫击炮的弹道曲线．
必备知识·情境导学探新知
知识点1　抛物线的定义
一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离____的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的____，定直线l称为抛物线的____．
思考1．定义中为什么要求直线l不经过点F
[提示]　当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不是抛物线．
相等
焦点
准线
知识点2　抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
_______________
_________________
y2＝2px( p>0)
y2＝－2px( p>0)
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
_______________
_________________
x2＝2py( p>0)
x2＝－2py( p>0)
思考2．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
[提示]　一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离． (　　)
(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定． (　　)
(3)抛物线的方程都是二次函数． (　　)
(4)准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是x2＝－16y． (　　)
√
√
×
√
[提示]　(3)×　当抛物线开口向上或向下时，该曲线是二次函数的图象；当抛物线开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象．
2．到定点F(1，－1)的距离与到定直线3x－2y－5＝0的距离相等的点P的轨迹是(　　)
A．抛物线　　 B．椭圆
C．双曲线的一支 　 D．直线
D　[由于点F(1，－1)在直线3x－2y－5＝0上，因此可知动点P的轨迹为过点F且与直线3x－2y－5＝0垂直的直线．]
√
3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是____________．
y2＝8x　[由准线方程为x＝－2，顶点在原点，则该抛物线焦点为F(2，0)，
该抛物线的焦点到准线的距离p＝4．
故所求抛物线方程为y2＝8x．]
y2＝8x　
关键能力·合作探究释疑难
类型1　求抛物线的标准方程
【例1】　求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点M(－6，6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[解]　(1)由于点M(－6，6)在第二象限，
所以过M的抛物线开口向左或开口向上．
①若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p＞0)，
将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
所以p＝3．
所以抛物线的方程为y2＝－6x．
②若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)，
将点M(－6，6)代入可得，36＝2p×6，所以p＝3，
所以抛物线的方程为x2＝6y．
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y．
(2)①因为直线l与x轴的交点为(2，0)，
所以抛物线的焦点是F(2，0)，
所以＝2，所以p＝4，
所以抛物线的标准方程是y2＝8x．
②因为直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，所以＝3，所以p＝6，
所以抛物线的标准方程是x2＝－12y．
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y．
反思领悟　利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型．
(2)求参数p的值．
(3)确定抛物线的标准方程．
提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
[跟进训练]
1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点P到焦点的距离为6，求抛物线的标准方程．
[解]　设焦点F(a，0)，|PF|＝＝6，
即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1，或a＝－9．
当焦点为F(－1，0)时，p＝2，抛物线的开口向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9，0)时，p＝18，抛物线开口向左，其方程为y2＝－36x．
类型2　抛物线定义的应用
【例2】　若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大．求点M的轨迹方程．
[解]　由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而，
所以p＝1，2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
[母题探究]
1．(变条件，变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．
[解]　设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2，即＝4，　①
又由例题的解析知点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，故＝2x0，　②
由①②可得或
故点N的坐标为或．
2．(变条件，变问法)若本例中增加一点A(3，2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．
[解]　如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，
最小值为3＋．
这时点M的纵坐标为2，可设M(x0，2)，
代入抛物线方程得x0＝2，即M(2，2)．
反思领悟　抛物线定义的应用
(1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[跟进训练]
2．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　)
A．6　　　B．9　　　C．12　　　D．14
C　[如图所示，过点A，M，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，M′，D，由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，因为点M为AB的中点，且|MM′|＝6，所以|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12．故选C．]
√
类型3　抛物线的实际应用
【例3】　苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图(1)所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形．图(2)是“东方之门”的示意图．已知|CD|＝30 m，|AB|＝60 m，点D到直线AB的距离为150 m，则此抛物线顶端O到AB的距离为(　　)
A．180 m 　 B．200 m
C．220 m 　 D．240 m
√
B　[以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意设D(15，h)，h<0，B(30，h－150)，
则解得
所以此抛物线顶端O到AB的距离为50＋150＝200(m)．]
反思领悟　求抛物线实际应用问题的步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)设出合适的抛物线方程．
(3)通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求出需要求出的量．
(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．
[跟进训练]
3．(源自人教A版教材例题)一种卫星接收天线如图(1)所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图(2)．已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
[解]　如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，焦点在x轴上．
设抛物线的标准方程是y2＝2px(p>0)．由已知条件得，点A的坐标是(1，2.4)，代入方程，得2.42＝2p×1，即p＝2.88．
所以所求抛物线的标准方程是y2＝5.76x，焦点坐标是
(1.44，0)．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　)
A．圆　　　　　　　 B．椭圆
C．直线 　 D．抛物线
D　[如图，设点P为满足条件的一点，因为点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，所以点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．]
2．(教材P162练习B T2改编)抛物线y＝x2的焦点坐标是(　　)
A．(1，0) 　 B．(0，1)
C．(2，0) 　 D．(0，2)
√
B　[抛物线的标准方程为x2＝4y，则2p＝4，可得＝1，因此抛物线y＝x2的焦点坐标为(0，1)．故选B．]
3．已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2　　　 B．3
C．6　　　 D．9
√
C　[(法一)因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以＝18p．
又点A到焦点的距离为12，
所以＝12，
所以＋18p＝122，
即p2＋36p－252＝0，
解得p＝－42(舍去)或p＝6．
(法二)根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，
因为点A到y轴的距离为9，
所以＝12－9＝3，解得p＝6．]
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面
2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽______m．
2　[建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y．当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2 m．]
2　
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何看待抛物线中焦点和准线的位置？
[提示]　焦点在抛物线开口方向的内部，而准线在外部，即“怀抱焦点，背着准线”．
2．抛物线方程中参数p的几何意义是什么？
[提示]　抛物线的标准方程中参数p的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距)，所以p的值永远大于0．当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p＜0的错误．
3．将四种不同位置的抛物线的标准方程进行对比，它们之间有何相同点？有何不同点？
[提示]　(1)共同点：
a．原点在抛物线上；
b．焦点在坐标轴上；
c．准线与焦点所在的轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，且它们到原点的距离等于一次项系数的绝对值的，即．
(2)不同点：
a．当焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；当焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2；
b．开口方向向右(或向上)时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向向左(或向下)时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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√
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课时分层作业(二十三)　抛物线的标准方程
一、选择题
1．已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过点B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)
A．双曲线 　 B．椭圆
C．圆 　 D．抛物线
D　[连接MF(图略)．由垂直平分线性质知|MB|＝|MF|，即点M到定点F的距离与它到直线l的距离相等，因此，点M的轨迹是抛物线．故选D．]
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2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为(　　)
A． 　 B．－
C．8 　 D．－8
√
B　[由y＝ax2，得x2＝．]
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3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝
－3的距离为5，则|MF|＝(　　)
A．7 　 B．6
C．5 　 D．4
√
D　[因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4．故选D．]
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4．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)(　　)
A．a 　 B．2a
C．5a 　 D．6a
√
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C　[依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，∵B地在A地东偏北30°方向2 km处，
∴B到点A的水平距离为3(km)，
∴B到直线l距离为3＋2＝5(km)，
那么修建这两条公路的总费用最低为5a(万元)，故选C．]
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5．(多选题)已知抛物线y2＝mx(m>0)的焦点与双曲线x2－＝1的一个焦点重合，点P(2，y0)在抛物线上，则下列说法错误的是(　　)
A．双曲线的离心率为2
B．m＝8
C．双曲线的渐近线为y＝±3x
D．点P到抛物线焦点的距离为6
√
√
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CD　[双曲线x2－＝1的焦点坐标为(±2，0)，离心率e＝＝2，A正确；y2＝mx(m>0)的焦点坐标为，故＝2，解得m＝8，B正确；双曲线渐近线方程为y＝±x，C错误；点P(2，y0)在抛物线上，故点P到抛物线焦点的距离为2＋2＝4，故D错误，故选CD．]
题号
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二、填空题
6．已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则|AF|＝________．
6
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6　[如图所示，连接AN．因为A，F，M三点共线，所以AM为圆F的直径，所以AN⊥MN，点F到抛物线C的准线的距离为3，则易知|AN|＝6，由抛物线定义知|AF|＝|AN|＝6．]
题号
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7．过原点的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为_________．
6　[易知圆(x＋2)2＋y2＝3和曲线y2＝2px关于x轴对称，不妨设切线方程为y＝kx，k>0，所以，解得k＝，由
6　
题号
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解得或
所以|OP|＝＝8，解得p＝6．当k＝－时，同理可得p＝6．]
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8．探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程为__________，焦点坐标为_________．
y2＝x　
　
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y2＝x　　[如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原
点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，且在抛物线上，代入方程，
得302＝2p·40，解得p＝．
故所求抛物线的标准方程为y2＝x，焦点坐标是．]
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三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
[解]　(法一)如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋＝5，
即p＝4．所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2．
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2．
题号
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(法二)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F．
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2．
题号
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√
10．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l．设l与x轴的交点为K，P为抛物线C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QM⊥PF交PF于M，作QN⊥EP交线段EP的延长线于N，则(　　)
A．|PE|＝|PF| 　 B．|PF|＝|QF|
C．|PN|＝|MF| 　 D．|PN|＝|KF|
√
√
ABD　[如图，由抛物线的定义可知|PE|＝|PF|，故A正确；
题号
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因为PQ是∠EPF的外角平分线，所以∠FPQ＝∠NPQ，又EN∥KQ，所以∠NPQ＝∠PQF，所以∠FPQ＝∠PQF，所以|PF|＝|QF|，故B正确；若|PN|＝|MF|，则有△FMQ≌△PNQ，从而有|FQ|＝|PQ|，所以∠PFQ＝，此时P为定点，与P为抛物线C上异于O的任意一点矛盾，故C不正确；因为四边形KQNE是矩形，所以|EN|＝|KQ|，又|PE|＝|PF|＝|QF|，所以|PN|＝|KF|，故D正确．故选ABD．]
题号
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11．已知P为抛物线y2＝－6x上一个动点，Q为圆x2＋(y－6)2＝上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和的最小值是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
题号
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B　[由于P为抛物线y2＝－6x上一个动点，y2＝－6x的焦点坐标为，准线为x＝，Q为圆x2＋(y－6)2＝上一个动点，x2＋(y－6)2＝的圆心为(0，6)，半径r＝，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和最小值可结合抛物线的定义，P到y轴距离为P到焦点距离减去，则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和，故最小值为，故选B．]
题号
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12．已知F1，F2是双曲线C：＝1(a>0)的左右焦点，直线l过F1与抛物线x2＝8y的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则|F1F2|＝________．
4　[已知双曲线的左焦点F1(－c，0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，抛物线x2＝8y的焦点(0，2)．因为直线l过，又c2＝a2＋2，解得a＝，c＝2，所以|F1F2|＝2c＝4．]
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13．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l与x轴交于点A，点B，P在C上，△ABF是面积为2的等腰直角三角形，则C的方程为________；的最小值为________．
y2＝4x　
　　
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y2＝4x　　　[由已知可得∠AFB为直角，故·p·p＝2，解得p＝2，所以C的方程为y2＝4x；由对称性，不妨设P(x0，2)，因为抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，A(－1，0)，|PF|＝x0＋1，|PA|＝，所以，当且仅当x0＝1时取等号，所以的最小值为．]
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14．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M为顶点的抛物线的实线部分，降落点
为D(8，0)．观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器．
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
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[解]　(1)设曲线方程为y＝ax2＋，
由题意可知，0＝64a＋，
所以a＝－．所以曲线方程为y＝－．
(2)设变轨点为C(x，y)，联立
得4y2－7y－36＝0．
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所以y＝4或y＝－(不合题意，舍去)．
由y＝4得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)．
所以C点的坐标为(6，4)，
此时|AC|＝2＝4．
故当观测点A，B测得AC，BC距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令．
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15．已知抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，以B(a＋4，0)为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M，N，点P为线段MN的中点．
(1)求|AM|＋|AN|的值．
(2)是否存在这样的a，使2|AP|＝|AM|＋|AN|？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设M(xM，yM)，N(xN，yN)，由抛物线的定义，得|AM|＋|AN|＝xM＋xN＋2a．又圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入，得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0，
∴xM＋xN＝2(4－a)，∴|AM|＋|AN|＝8．
(2)不存在．假设存在这样的a，使得2|AP|＝|AM|＋|AN|．过点P作PP′垂直抛物线的准线，垂足为P′(图略)．
根据梯形中位线定理及抛物线的定义得，|AM|＋|AN|＝2|PP′|，∴|AP|＝|PP′|．由抛物线的定义知点P必在抛物线上，这与点P是线段MN的中点矛盾，∴这样的a不存在．
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谢 谢！