【学霸笔记：同步精讲】第二章 探究课5 探究圆锥曲线中的对称问题 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

　探究圆锥曲线中的对称问题
1．对称问题包括点对称和轴对称两种题型．其中点对称问题利用中点坐标公式和代入法即可解决．解决轴对称问题的一般思路为：若A，B两点关于对称轴对称，则直线AB与对称轴垂直，且线段AB的中点在对称轴上，即对称轴是线段AB的垂直平分线．解决对称问题应注意条件的充分利用，如斜率、截距等，同时还应注意各量之间的关系．
2．利用点在圆锥曲线内部解决对称点问题
(1)按常规约定：含有焦点的区域为圆锥曲线的内部．那么，易得点P(x0，y0)在椭圆＝1内部的充要条件是＜1(若把不等号改为相反的方向，则为点P在椭圆外部的充要条件)．若点P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p＞0)内部，则有<2px0(p＞0)等．应用如上结论，可使许多问题的解答更简捷、巧妙．
(2)这类题型的常规解法是判别式法．如果曲线上存在两点关于直线y＝kx＋b对称，那么这两点的直线方程设为：y＝－x＋m，代入曲线方程，消去变量x(或y)得到一个关于y(或x)的一元二次方程．利用中点在直线y＝kx＋b上和方程有两个根，则其“判别式大于零”使问题得以解决．
【典例】　若抛物线y＝x2上存在关于直线y＝m(x－3)对称的两点，求实数m的取值范围．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　解决对称问题要牢牢抓住垂直且平分这一重要几何性质．
已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．
(1)若以AB为直径的圆过坐标原点O，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使A，B两点关于直线y＝x对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
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