【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.1 1.1.2 空间向量基本定理 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

1.1.2　空间向量基本定理
学习任务 1．理解共线向量基本定理、共面向量定理以及空间向量基本定理，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．(数学抽象) 2．理解空间向量的基底、基向量及向量的线性组合的概念，并能应用其解决有关问题．(数学运算)
在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐标(x，y)建立了一一对应关系，从而实现将向量运算用坐标表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．那么，对于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？如图所示，设a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p？
知识点1　共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得_______．
共线向量基本定理中的a≠0这一条件不能去掉，若b＝λa可得b∥a，反之，若b∥a，当a＝0且b≠0时，b＝λa就不成立了．
知识点2　共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在______的实数对(x，y)，使c＝________．
[拓展]　如图所示，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y；或对空间任意一点O，有＝＋x＋y；或对空间任意一点O，有＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．
知识点3　空间向量基本定理
(1)定理：如果空间中的三个向量a，b，c________，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________．
特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0.
(2)相关概念
①线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的__________或____________．
②基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成空间向量的一组基底，记为{a，b，c}．
③基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．
④分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
平面向量的基底要求两个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量应满足什么条件？
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(1)由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量这一条件．
(2)一组基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则{－a，b，2c}也可构成空间的一组基底． (　　)
(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一组基底，则a，b，c共面． (　　)
(3)若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一组基底． (　　)
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间的一组基底的是(　　)
A．　　　　 B．
C． D．
3．已知O为空间中任意一点，若＝，则A，B，C，P四点(　　)
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点F是侧面CC1D1D的中心，且＝＋m－n，则m＝__________，n＝__________．
类型1　共线向量基本定理的应用
【例1】　(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D　　　　　 B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
(2)设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．与的方向一定相同
(3)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝__________．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线：
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．
(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
[跟进训练]
1．已知空间三个不共面的向量m，n，p，若a＝3m－2n－4p，b＝(x＋1)m＋yn＋2p，且a∥b，求实数x，y的值．
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类型2　共面向量定理的应用
【例2】　【链接教材P13例1】
已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝.
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变条件)若把本例中条件“＝”改为“＋2＝6－3”，判断点P是否与点A，B，C共面．
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2．(变条件)若把本例条件变成“＝4”，判断点P是否与点A，B，C共面．
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3．(变解法)上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？
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　共面向量定理应用的两种题型
(1)证明三个向量共面(或四点P，A，B，C共面)，可利用如下方法进行：
①＝x＋y(x，y∈R)．
②对空间任意一点O，x，y，z∈R，
(ⅰ)＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(ⅱ)＝＋x＋y.
③∥(或∥或∥)．
(2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
[跟进训练]
2．(源自苏教版教材例题)如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.
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类型3　空间向量基本定理及其应用
【例3】　如图，在棱长为1的正四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用向量a，b，c表示向量；
(2)求cos 〈〉．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1．空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是______的．
2．用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用________表示．
3．在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量组成基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从__________出发的三条棱所对应的向量组成基底．
[跟进训练]
3．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
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1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各组中不能构成空间的一组基底的是(　　)
A．a，2b，3c
B．a＋b，b＋c，c＋a
C．a＋b＋c，b＋c，c
D．a＋2b，2b＋3c，3a－9c
2．给出下列命题：
①若p与a，b共面，则p＝xa＋yb(x，y∈R)；②若p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p与a，b共面；③若a，b共线，则a与b所在直线平行；④若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面．
其中真命题的个数为(　　)
A．0　　 　B．1　　 　C．2　　 　D．3
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1C1上， ＝且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝__________．
4．已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则＝__________，||＝__________.
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用基底表示向量有哪些关键步骤？
2．用基底表示向量有哪些常用方法？
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