【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.1 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系
学习任务 1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．(数学抽象) 2．掌握空间向量的坐标运算．(数学运算) 3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．(逻辑推理) 4．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用．(数学抽象)
天上的飞机速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度．只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？要确定飞机的位置，还需要知道什么？
知识点1　空间向量的坐标
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量__________，就称这组基底为__________基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组_____________为向量p的坐标，记作p＝_____________，其中x，y，z都称为p的坐标分量．
1．若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？
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知识点2　空间向量的运算与坐标的关系
假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论：
(1)a＋b＝____________________________．
(2)如果u，v是两个实数，那么ua＋vb＝__________________________________．
(3)a·b＝__________________．
(4)|a|＝＝__________．
(5)当a≠0且b≠0时，cos 〈a，b〉＝＝__________．
2．若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗？
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知识点3　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
(1)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)．当a≠0时，a∥b _______ (x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1) 当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b ______________．
(2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
知识点4　空间直角坐标系
(1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与_________垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.
(2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相______的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为__________．
(3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿________方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．
(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为_________________，z轴与y轴(或x轴)______．
(5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)称为点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x称为点M的___________________，y称为点M的___________________，z称为点M的___________________．
点的坐标与向量的坐标表示方法不同，如点A(x，y，z)，向量a＝(x，y，z)．
(6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，如图所示，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限，在xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限．根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为___________________________________．
知识点5　空间向量坐标的应用
空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点M(x，y，z)
的坐标公式 ＝____________________________
空间中两点之 间的距离公式 AB＝||＝
中点坐标公式 ＝(x，y，z)＝______________
1．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b＝(　　)
A．(16，0，4)　　　　　　　 B．(8，－16，4)
C．(8，16，4) D．(8，0，4)
2．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，使a⊥b成立的x与使a∥b成立的x分别为(　　)
A．，－6 B．－，6
C．－6， D．6，－
3．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于yOz平面对称的点的坐标是(　　)
A．(1，3，5) B．(1，－3，5)
C．(－1，3，－5) D．(－1，－3，5)
4．已知P1(1，－1，2)，P2(3，1，0)，P3(0，1，3)，则向量与的夹角是__________．
类型1　空间向量的坐标表示
【例1】　如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　用坐标表示空间向量的步骤
[跟进训练]
1．已知向量{a，b，c}是空间的一组基底，向量{a－b，a＋b，c}是空间的另一组基底，向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则向量p在基底{a－b，a＋b，c}下的坐标为(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
类型2　空间向量的坐标运算
【例2】　【链接教材P20例2】
已知向量a＋b＝(1，2，1)，a－2b＝(1，－1，－2)，求a·b，(a－b)·(2a－3b)．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　空间向量坐标的计算技巧
(1)直接代入公式计算
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用______________________计算．
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量按坐标形式设出来，然后通过建立________，解方程组求出其坐标，再进行坐标运算．例题解法二便属于这一类型题目．
(3)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行______________再代入坐标运算，如计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，再求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．
[跟进训练]
2．已知a＝(1，2，3)，b＝(3，0，－1)，c＝.下列等式：①(a＋b)·c＝a·(b＋c)，②(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2，③(a·b)·c＝a·(b·c)．正确的个数是(　　)
A．0　 　　B．1　 　　C．2　 　　D．3
类型3　空间向量的平行与垂直
【例3】　【链接教材P21例4】
已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[思路导引]　判断空间向量垂直或平行的步骤
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变条件)若将本例(1)中“c∥”改为“c⊥a且c⊥b”，求c.
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.(变条件)若将本例(2)改为“若向量λa－b，a－λb平行”，求λ的值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　解决空间向量垂直、平行问题的思路
(1)当有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b(b≠0)，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．
(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
[跟进训练]
3．已知a＝(2，4，x)，b＝(1，y，2)．
(1)若a∥b，则y＝__________；
(2)若|a|＝6，且a⊥b，则y＝__________．
1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，则3a＋b为(　　)
A．(－2，－3，－2)　　　 B．(2，3，2)
C．(－2，3，2) D．(4，3，2)
2．(教材P26练习B T3改编)已知向量a＝(3，1，2)，b＝(－1，3，t)，且a与b夹角的余弦值为，则t的值是(　　)
A．2　　　B．－2 C．4　　　D．±2
3．已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是(　　)
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
4．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为__________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．怎样建立空间直角坐标系有利于解题？
2．在空间直角坐标系中找对称点的坐标有何规律？
3．应用空间向量坐标时应关注哪几点？
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