【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1
文档属性
| 名称 | 【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 261.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-06 10:04:01 | ||
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文档简介
1.2 空间向量在立体几何中的应用
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
学习任务 1．了解空间点的位置向量与直线的方向向量．(数学抽象) 2．理解空间两直线平行、异面、垂直的向量条件，理解空间两直线的夹角与向量的夹角的关系．(数学抽象、逻辑推理) 3．理解公垂线段的概念并会求其长度．(直观想象、逻辑推理、数学运算) 4．掌握用向量的方法证明两直线平行、垂直，求夹角问题．(直观想象、逻辑推理)
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示出来．
那么，如何利用向量刻画直线的方向与位置？
知识点1 空间中的点与空间向量
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量_______唯一确定，此时，通常称为点P的__________．
空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定．
知识点2 空间中的直线与空间向量
一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l____________，则称v为直线l的一个__________．此时，也称向量v与直线l______，记作______．
(1)如果A，B是直线l上两个不同的点，则v＝就是直线l的一个__________．
(2)如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都______；
(3)如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则对于直线l上任意一点B，向量一定与非零向量v平行，从而可知存在______的实数λ，使得＝λv，这就是说，空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定；
(4)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2 ____________________．
知识点3 空间中两条直线所成的角
(1)设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝____________或θ＝_______________，所以sin θ＝_________________，cos θ＝_____________________．
(2)〈v1，v2〉＝ ________ v1·v2＝___．
用向量方法求两条直线所成的角时，若能建立空间直角坐标系，则相关向量可用坐标表示，通过向量坐标运算求解；若建系不方便，则可选用基向量表示其他向量，通过向量运算求解．
知识点4 异面直线与空间向量
设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量．
(1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行．
(2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为____________．
(3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，________．若v1，v2，不共面，则l1与l2异面．
(4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，________________，则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的______．
(1)“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件．
(2)“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．
(3)空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为v＝(1，2，3)． ( )
(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反． ( )
(3)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量． ( )
2．已知平面上两点A(1，2，3)，B(－1，1，1)，则下列向量是直线AB的方向向量的是( )
A．(－1，1，1) B．(1，2，3)
C．(1，2，1) D．(2，1，2)
3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A．－ B．
C．－ D．
4．直线l1的方向向量为v1＝(1，0，－1)，直线l2的方向向量为v2＝(－2，0，－2)，则直线l1与l2的位置关系是__________.
类型1 空间中的点的位置的确定
【例1】 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)．
(1)若＝)，求点P的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且＝，求P点的坐标．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解决位置向量、方向向量的方法
此类问题常转化为向量的______、向量的______解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点的坐标的方程或方程组求解即可．
[跟进训练]
1．(1)设d1与d2都是直线l的方向向量，则下列关于d1与d2的叙述正确的是( )
A．d1＝d2
B．d1与d2同向
C．d1∥d2
D．d1与d2有相同的位置向量
(2)已知两点A(1，－2，3)，B(2，1，－1)，则AB连线与xOz平面的交点坐标是__________．
类型2 利用向量法求解直线的位置关系
利用直线的方向向量判定两直线的位置关系
【例2】 设a，b分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系．
(1)a＝(2，－2，－2)，b＝(6，－6，－6)；
(2)a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3，2)；
(3)a＝(0，0，－1)，b＝(0，0，4)．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用两直线的方向向量判断两直线的位置关系的方法
若直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．(注：下面的λ，k∈R)
(1)如果l1∥l2，那么u1∥u2 u1＝λu2 (a1，b1，c1)＝_________________；
(2)如果l1⊥l2，那么u1⊥u2 u1·u2＝0 __________________＝0.
[跟进训练]
2．(源自北师大版教材例题)在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，0), B(2，3，3)，C(0，1，2)，点D为直线AB上的一点，且CD⊥AB，求.
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向量法证明两直线平行或异面
【例3】 【链接教材P31例1】
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点．求证：MN∥AD′.
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变问法)本例条件不变，证明：MN与CD′不平行．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变问法)本例条件不变，问MN与CD′是否为异面直线．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用向量法证明线线平行的依据与思路
证明线线平行的依据：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)．
利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．
[跟进训练]
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP.
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利用向量法证明两直线垂直
【例4】 (源自人教A版教材例题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥DA1.
[思路导引] 要证明EF⊥DA1，只要证明⊥，即证＝0.我们只要用坐标表示，并进行数量积运算即可．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
向量法证明线线垂直的方法
(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.
(2)基向量法：利用向量的加、减、数乘运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.
[跟进训练]
4．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2, ∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.
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类型3 利用向量法求异面直线所成角的大小(或余弦值)
【例5】 如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点，求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
用向量法求异面直线所成的角
(1)确定空间两条直线的方向向量．
(2)求两个向量夹角的余弦值．
(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角或直角时，即为两直线的夹角．当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
[跟进训练]
5．如图所示，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为a，高PO的长也为a，E，F分别是PD，PA的中点，求异面直线AE与BF所成角的余弦值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1．已知直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，m，－1)，b＝(－2，1，1)，若l1⊥l2，则m＝( )
A．1 B．2 C．0 D．3
2．已知O为坐标原点，且A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若＝，则点C的坐标是( )
A． B．
C． D．
3．已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
4．(教材P37练习B T3改编)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为_________ .
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线的方向向量有何特点？
2．如何利用空间向量证明两直线平行、异面或垂直？
3．求异面直线所成角的常用方法有哪些？
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1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
学习任务 1．了解空间点的位置向量与直线的方向向量．(数学抽象) 2．理解空间两直线平行、异面、垂直的向量条件，理解空间两直线的夹角与向量的夹角的关系．(数学抽象、逻辑推理) 3．理解公垂线段的概念并会求其长度．(直观想象、逻辑推理、数学运算) 4．掌握用向量的方法证明两直线平行、垂直，求夹角问题．(直观想象、逻辑推理)
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示出来．
那么，如何利用向量刻画直线的方向与位置？
知识点1 空间中的点与空间向量
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量_______唯一确定，此时，通常称为点P的__________．
空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定．
知识点2 空间中的直线与空间向量
一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l____________，则称v为直线l的一个__________．此时，也称向量v与直线l______，记作______．
(1)如果A，B是直线l上两个不同的点，则v＝就是直线l的一个__________．
(2)如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都______；
(3)如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则对于直线l上任意一点B，向量一定与非零向量v平行，从而可知存在______的实数λ，使得＝λv，这就是说，空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定；
(4)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2 ____________________．
知识点3 空间中两条直线所成的角
(1)设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝____________或θ＝_______________，所以sin θ＝_________________，cos θ＝_____________________．
(2)〈v1，v2〉＝ ________ v1·v2＝___．
用向量方法求两条直线所成的角时，若能建立空间直角坐标系，则相关向量可用坐标表示，通过向量坐标运算求解；若建系不方便，则可选用基向量表示其他向量，通过向量运算求解．
知识点4 异面直线与空间向量
设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量．
(1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行．
(2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为____________．
(3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，________．若v1，v2，不共面，则l1与l2异面．
(4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，________________，则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的______．
(1)“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件．
(2)“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．
(3)空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为v＝(1，2，3)． ( )
(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反． ( )
(3)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量． ( )
2．已知平面上两点A(1，2，3)，B(－1，1，1)，则下列向量是直线AB的方向向量的是( )
A．(－1，1，1) B．(1，2，3)
C．(1，2，1) D．(2，1，2)
3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A．－ B．
C．－ D．
4．直线l1的方向向量为v1＝(1，0，－1)，直线l2的方向向量为v2＝(－2，0，－2)，则直线l1与l2的位置关系是__________.
类型1 空间中的点的位置的确定
【例1】 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)．
(1)若＝)，求点P的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且＝，求P点的坐标．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解决位置向量、方向向量的方法
此类问题常转化为向量的______、向量的______解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点的坐标的方程或方程组求解即可．
[跟进训练]
1．(1)设d1与d2都是直线l的方向向量，则下列关于d1与d2的叙述正确的是( )
A．d1＝d2
B．d1与d2同向
C．d1∥d2
D．d1与d2有相同的位置向量
(2)已知两点A(1，－2，3)，B(2，1，－1)，则AB连线与xOz平面的交点坐标是__________．
类型2 利用向量法求解直线的位置关系
利用直线的方向向量判定两直线的位置关系
【例2】 设a，b分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系．
(1)a＝(2，－2，－2)，b＝(6，－6，－6)；
(2)a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3，2)；
(3)a＝(0，0，－1)，b＝(0，0，4)．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用两直线的方向向量判断两直线的位置关系的方法
若直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．(注：下面的λ，k∈R)
(1)如果l1∥l2，那么u1∥u2 u1＝λu2 (a1，b1，c1)＝_________________；
(2)如果l1⊥l2，那么u1⊥u2 u1·u2＝0 __________________＝0.
[跟进训练]
2．(源自北师大版教材例题)在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，0), B(2，3，3)，C(0，1，2)，点D为直线AB上的一点，且CD⊥AB，求.
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向量法证明两直线平行或异面
【例3】 【链接教材P31例1】
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点．求证：MN∥AD′.
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变问法)本例条件不变，证明：MN与CD′不平行．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(变问法)本例条件不变，问MN与CD′是否为异面直线．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
利用向量法证明线线平行的依据与思路
证明线线平行的依据：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)．
利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．
[跟进训练]
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP.
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利用向量法证明两直线垂直
【例4】 (源自人教A版教材例题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥DA1.
[思路导引] 要证明EF⊥DA1，只要证明⊥，即证＝0.我们只要用坐标表示，并进行数量积运算即可．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
向量法证明线线垂直的方法
(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.
(2)基向量法：利用向量的加、减、数乘运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.
[跟进训练]
4．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2, ∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.
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类型3 利用向量法求异面直线所成角的大小(或余弦值)
【例5】 如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点，求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
用向量法求异面直线所成的角
(1)确定空间两条直线的方向向量．
(2)求两个向量夹角的余弦值．
(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角或直角时，即为两直线的夹角．当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
[跟进训练]
5．如图所示，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为a，高PO的长也为a，E，F分别是PD，PA的中点，求异面直线AE与BF所成角的余弦值．
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1．已知直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，m，－1)，b＝(－2，1，1)，若l1⊥l2，则m＝( )
A．1 B．2 C．0 D．3
2．已知O为坐标原点，且A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若＝，则点C的坐标是( )
A． B．
C． D．
3．已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
4．(教材P37练习B T3改编)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为_________ .
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线的方向向量有何特点？
2．如何利用空间向量证明两直线平行、异面或垂直？
3．求异面直线所成角的常用方法有哪些？
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