【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.2 空间中的平面与空间向量 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

1.2.2　空间中的平面与空间向量
学习任务 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(数学抽象) 2．会用平面的法向量、直线的方向向量证明直线与平面、平面与平面的平行、垂直问题．(数学运算、逻辑推理) 3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(逻辑推理)
牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝，在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？
知识点1　平面的法向量
(1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个______向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α______，则称n为平面α的一个法向量．此时也称n与平面α垂直，记作______．
(2)性质：如果A，B是平面α上的任意不同两点，n为平面α的一个法向量，则
1 若直线l垂直平面α，则l的任意一个方向向量都是平面α的法向量
2 对任意实数λ≠0，λn也是平面α的一个法向量
3 向量一定与n______，即·n＝0
平面α的法向量唯一吗？它们有什么共同特征？
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知识点2　空间线面位置关系与空间向量
(1)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，当n∥v时，l与α______；当n⊥v时，l与α______，或者l在α内．
(2)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，当n1⊥n2时，α1与α2______；当n1∥n2时，α1与α2______，或者α1与α2______．
知识点3　三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的__________在该平面内的______垂直，则它也和这条______垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的__________和这个平面的__________垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
1．已知平面α内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则a＝(　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1
2．平面α的一个法向量为a＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为b＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系为(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
3．空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，平面ABC的一个法向量是__________．
4．已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，则AB与PC的位置关系是__________．
类型1　求平面的法向量
【例1】　(源自人教A版教材例题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面MCA1的法向量．
[思路导引]　(1)平面BCC1B1与y轴垂直，其法向量可以直接写出；(2)平面MCA1可以看成由中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　利用待定系数法求法向量的解题步骤
[跟进训练]
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量能作为平面AEF的法向量的是(　　)
A．(1，－2，4)
B．(－4，1，－2)
C．(2，－2，1)
D．(1，2，－2)
类型2　利用法向量证明空间中的位置关系
　向量法证明平行问题
【例2】　【链接教材P39例1】
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　证明线面、面面平行问题的方法
(1)用向量法证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内．②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内．③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．当然要注意当法向量坐标中有0时，要使用n1＝λn2这一形式．
[跟进训练]
2．(1)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点．当点Q在什么位置时，BQ∥平面PAO
(2)若Q是CC1的中点，求证：平面D1BQ∥平面PAO.
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　向量法证明垂直问题
【例3】　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE.
[思路导引]　(1)先建立空间直角坐标系，再确定的坐标，计算＝0，得AE⊥CD.
(2)求平面ABE的一个法向量n，通过＝kn(k∈R)证明PD⊥平面ABE或确定的坐标，计算，由＝0，＝0，得⊥⊥，所以PD⊥平面ABE.
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　(1)证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直．
(2)用向量证明线线垂直的基本方法是把两直线的方向向量表示出来，然后证明向量的数量积等于0.也可建立适当的坐标系，然后正确求出其方向向量的坐标，再证明两个向量的数量积为0.
(3)用向量法证明线面垂直，可通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来完成；而证两平面垂直，则可通过证明两平面的法向量垂直来完成．
提醒：对于容易建系的几何载体要尽量用坐标法处理有关垂直问题，如果只用基向量法解决，涉及的线性运算和数量积运算比较复杂，而建系后只需一切交给坐标即可.
[跟进训练]
3．(源自人教A版教材练习题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面EAD1⊥平面EFD1.
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类型3　三垂线定理及其逆定理的应用
【例4】　【链接教材P42例3、例4】
在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB.
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　(1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明．
(2)当图形比较复杂时，要认真观察图形，证明题的思维过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证”是证直线垂直于射影或斜线．
[跟进训练]
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：B1O⊥PA.
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1．已知平面α的一个法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．－4
C．5 D．－5
2．已知u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的方向向量，n＝(1，2，3)是平面α的一个法向量．若l⊥α，则＝__________．
3．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝__________．
4．设平面α的一个法向量的坐标为(1，2，－2)，平面β的一个法向量的坐标为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于__________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面的法向量有何特点？
2．用向量法证明空间线面平行和垂直问题有何优势？
3．利用三垂线定理证明线线垂直的步骤是什么？
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