【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.3 直线与平面的夹角 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

1.2.3　直线与平面的夹角
学习任务 1．理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．(数学抽象) 2．会求直线与平面的夹角．(数学运算)
赛艇是一项通过桨和桨架进行简单杠杆作用使舟艇前进的划水运动．划杆与水平面所成角的大小，直接关系到赛艇的速度．如何确定划杆与水平面所成角，正是我们这一节学习的内容．
知识点1　直线与平面所成的角
知识点2　最小角定理
1．平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？
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知识点3　用空间向量求直线与平面的夹角
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝____________或θ＝____________，特别地cos θ＝_______________或sin θ＝___________________．
2．直线l的方向向量v与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
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1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角． (　　)
(2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角． (　　)
(3)斜线与平面的夹角为. (　　)
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A．120°　　　　 B．60°
C．30° D．以上均错
3．(教材P48练习B T2改编)若PA，PB，PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面PAB所成角的余弦值为__________．
4．若平面α的一个法向量为n＝(－，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(，1，1)，则l与α所成角的正弦值为__________．
类型1公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用
【例1】　如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AA1＝a，求证：A1O⊥平面ABCD.
[思路导引]　先找出A1A与平面ABCD所成的角θ1，再利用公式cos θ＝cos θ1cos θ2得到A1A与平面ABCD所成角的余弦值，从而求得A1A cos θ1＝AO, 即点A1在平面ABCD内的射影为O点．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　常用的一个结论：若∠AOB＝∠AOC，且AO为平面BOC的一条斜线，则AO在平面BOC内的射影平分_______及其对顶角．
[跟进训练]
1．如图所示，∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．
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类型2用定义法求直线与平面所成角的问题
【例2】　如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC所成角的正弦值．
[思路导引]　用定义法求直线与平面所成角的步骤
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变问法)若本例条件不变，问题(2)改为“D为PB上的一点，且BD＝PB”，试求AD与平面PAC所成角的正弦值．
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2．(变问法)若本例题(2)条件不变，求AD与平面PBC所成角的正弦值．
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　作直线与平面夹角的一般方法
在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的____．其中关键是作平面的______，此方法简称为“一作，二证，三______”．
[跟进训练]
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为__________．
类型3　用向量法求直线与平面所成的角
【例3】　【链接教材P47例2】
如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2.求直线OB与平面ABC所成角的正弦值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　用向量法求线面角的步骤
[跟进训练]
3．(源自北师大版教材例题)如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，底面边长为2，AA′＝，求直线AB′与侧面ACC′A′所成角的正弦值．
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1．AB⊥平面α于点B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC与平面α所成的角为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
2．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为线段A′D′，CC′的中点，则EF与平面ADD′A′所成角的正弦值为(　　)
A． B．
C． D．
3．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成角的大小为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
4．若平面α的一个法向量n＝(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(1，2，3)，则l与α所成角的正弦值为__________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你是怎样理解公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的？
2．利用向量法求直线与平面所成角的优点是什么？需要注意什么问题？
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