【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.4 二面角 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

1.2.4　二面角
学习任务 1．了解二面角的有关概念，理解二面角及二面角的平面角的定义．(数学抽象) 2．掌握求二面角大小的基本方法及步骤．(直观想象、逻辑推理) 3．能结合图形，灵活选择方法解决与二面角有关的问题．(逻辑推理)
地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面的交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”．黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等，这便是星座的由来．今天我们研究的问题便是如何计算二面角的大小．
知识点1　二面角的定义及相关概念
(1)半平面：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的__________都称为一个半平面．
(2)二面角：从一条直线出发的____________所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的____，这两个平面称为二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作_________，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作_________，二面角的范围为__________．
(3)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱上___________，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则∠AOB称为二面角α-l-β的平面角．
(1)二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角．
(2)两个相交平面所成的角是指两个相交平面所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角．
如何找二面角的平面角？
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知识点2　用空间向量求二面角的大小
如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝____________或θ＝_______________，sin θ＝_________________．
二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)二面角是指两个平面相交的图形． (　　)
(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内且都与棱垂直． (　　)
(3)两个半平面的法向量的夹角的大小与二面角的大小相等． (　　)
2．在三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A-BD-C的大小为(　　)
A．　　　B．　　　C．或　　D．或
3．如图在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为(　　)
A．30°　　　B．60°　　　C．90°　　　D．120°
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-C1的余弦值是__________．
类型1　用定义法求二面角的大小
【例1】　【链接教材P50例1】
如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若△PAB是边长为2的正三角形，且CO⊥AB，求二面角P-AC-B的正弦值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　用定义法求二面角的步骤
(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用________定理或三垂线定理的逆定理)．
(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角．
(3)通过__________求角．
[跟进训练]
1．如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)证明：AB⊥平面VAD；
(2)求二面角A-VD-B的正切值．
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类型2　用向量法求二面角
【例2】　【链接教材P52例3、P53例4】
如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求平面OC1B1与平面OB1D所成角的余弦值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
[母题探究]
(变问法)本例(2)条件不变，求平面A1BC与平面A1CD所成角的余弦值．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　1.确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系的方法
(1)观察法，通过观察图形，观察二面角是大于，还是小于.
(2)在二面角所含的区域内取一点P，平移两个平面的法向量，使它们的起点为P，然后观察法向量的方向，若两个法向量同时指向平面内侧或同时指向外侧，则二面角与法向量的夹角互补，若两个法向量方向相反，则二面角与法向量的夹角相等．
2．利用向量法求平面与平面所成角的大小的一般步骤
[跟进训练]
2．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值．
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1．已知两平面的法向量分别为m＝(0，，0)，n＝(，2)，则两平面所成的二面角为(　　)
A．60°　　　　　　　 B．120°
C．60°或120° D．90°
2．已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tan θ 的值为(　　)
A．　 　B．　 　C．　 　D．
3．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ABCD所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
4．(教材P54练习A T2改编)如图，二面角α-l-β等于120°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，则CD＝__________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．构成二面角的平面角有几个要素？
2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？
3．找二面角的方法有哪几种？
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