【学霸笔记：同步精讲】第一章 1.2 1.2.5 空间中的距离 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

1.2.5　空间中的距离
学习任务 1．理解图形与图形的距离的概念．(数学抽象) 2．理解空间中两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线与平面之间的距离以及两平面之间的距离的概念，会求它们之间的距离．(数学抽象、逻辑推理) 3．会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离．(逻辑推理、数学运算)
立交桥是伴随高速公路而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．为了保障车流畅通，使车辆安全通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此，城市交通开始从平地走向立体．
问题：在设计过程中工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师如何计算出来？
知识点1　空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这____________________．
知识点2　点到直线的距离
给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定__________，所以过A可以作直线l的一条________，这条____________称为点A到直线l的距离．
1．如何用向量法求点到直线的距离？
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是s同方向的单位向量，点A到直线l的距离公式也可以写成d＝.
知识点3　点到平面的距离
(1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，____________称为点A到平面α的距离．
(2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝_______.
知识点4　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
(1)当直线与平面平行时，直线上______________________称为这条直线与这个平面之间的距离．如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝.
(2)当平面与平面平行时，一个平面内__________到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．
如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为_____．
(3)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的________．公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的__________．
2．线面距、面面距与点面距有什么关系？
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1．在平面直角坐标系中，A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为(　　)
A．　　　B．2　　C．3　　　D．4
2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为s＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离d为(　　)
A． B．
C． D．
3．(教材P61练习B T5改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，则点C到平面AEF的距离为(　　)
A． B．
C． D．
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 (　　)
A． B．
C． D．
类型1　空间中两点间的距离
【例1】　【链接教材P55例1】
(1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为(　　)
A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．
(2)如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点M，N分别是边AB，CD的中点，则MN的长为__________.
　计算两点间的距离的两种方法
(1)把线段用向量表示，利用______________，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用|AB|＝________求解．
(2)求解的图形适宜建立空间直角坐标系时，用坐标法求向量的长度(或两点间距离)．
[跟进训练]
1．如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则线段AC1的长为(　　)
A．1 B．
C． D．2
类型2　点到直线的距离
【例2】　【链接教材P56例2】
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　利用向量法求点到直线的距离的常用方法
(1)利用空间向量找垂线段，再求模即可．
(2)①建立空间直角坐标系；
②求直线的方向向量；
③计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影的数量；
④利用勾股定理求点到直线的距离．
[跟进训练]
2．(源自湘教版教材例题)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，求点E到直线AF的距离．
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类型3　点到平面的距离
【例3】　【链接教材P58例3】
图中的多面体是底面为矩形ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.求：
(1)BF的长；
(2)点C到平面AEC1F的距离．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　用向量法求点面距的方法与步骤
提醒：由已知点和平面内不共线的三点构成三棱锥，进而用等积转化法求点到平面的距离也是计算点面距离的常用方法．
[跟进训练]
3．如图所示，已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离．
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类型4　线面、面面间的距离
【例4】　(源自人教A版教材例题)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
[思路导引]　根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　线面距离与面面距离的求解思路
(1)求相互平行的直线与平面间的距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．
(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．
[跟进训练]
4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD之间的距离为__________．
1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　)
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
2．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　)
A． B．1
C． D．
3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是__________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何正确理解点A到平面α的距离d＝？
2．求点到平面的距离的常用方法有哪些？
3．求直线到平面、平面到平面的距离的前提条件是什么？如何求解？
异面直线间的距离
设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？
如图(1)，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β.由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β.于是，异面直线a，b的距离就转化为平行平面α，β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可．
图(1)
如何求这两个平行平面的法向量呢？
设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b.因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可．
如图(2)，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b的距离为
d＝.
图(2)
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