【学霸笔记：同步精讲】第一章 微专题1 空间中的翻折问题、最值问题 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

微专题1　空间中的翻折问题、最值问题
1．翻折问题的两个解题策略
(1)确定翻折前后变与不变的关系
画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系会发生变化．对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．
(2)确定翻折后关键点的位置
所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算．
2．立体几何中的最值问题解题策略
解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面入手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质来解决；二是利用空间几何体的侧面展开图来解决；三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值．解题途径很多，在函数建成后，可利用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法(如三角函数等)等来解题．
类型1　空间中的翻折问题
【例1】　如图(1)，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图(2)．
(1)求证：A1E⊥平面BCDE.
(2)在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
[思路导引]　(1)根据线面垂直先证得A1E⊥BE，再结合A1E⊥ED可证得结论．
(2)设＝λ(0≤λ≤1)，根据平面A1EP与平面A1BD的法向量垂直建立等量关系求得λ即可．
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
类型2　空间中的最值问题
【例2】　如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？
[尝试解答]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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