第一章 空间向量与立体几何
要点1 空间向量基本定理
1．共线向量基本定理
对任意两个空间向量a，b，如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．
推论：若存在实数t，使＝(1－t)(O为空间任意一点)，则P，A，B三点共线．
2．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb．
推论1：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使．
推论2：空间四点P，A，B，C共面的充要条件是存在x，y，z∈R，使得(x＋y＋z＝1，O为空间任意一点)．
3．空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
要点2 空间向量数量积的应用
(1)a⊥b a·b＝0，此结论一般用于证明空间中的垂直关系．
(2)|a2|＝a2，即|a|＝，此结论一般用于求空间中线段的长度．
(3)cos〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间角的问题．
(4)|b|cos〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间中的距离问题．
要点3 空间向量在立体几何中的应用
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则
线线平行 l∥m a∥b a＝kb，k∈R
线面平行 l∥α a⊥u a·u＝0
面面平行 α∥β u∥ν u＝kν，k∈R
线线垂直 l⊥m a⊥b a·b＝0
线面垂直 l⊥α a∥u a＝ku，k∈R
面面垂直 α⊥β u⊥ν u·ν＝0
线线夹角 l，m的夹角为θ，cos θ＝
线面夹角 l，α的夹角为θ，sin θ＝
面面夹角 α，β的夹角为θ，cos θ＝
注意：①线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0≤θ≤．②二面角的范围为[0，π]．解题时应具体分析二面角是锐角还是钝角．
第二章 平面解析几何Ｋ
要点1 直线的倾斜角与斜率
(1)设直线的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线上的不同两点．当α≠90°，即当x1≠x2时，k＝tan α＝；当α＝90°或x1＝x2时，直线斜率不存在．
(2)斜率与倾斜角的关系
直线 与x轴平行 由左向右上升 与y轴平行 由左向右下降
图示
θ的范围 θ＝0 0＜θ＜ θ＝ ＜θ＜π
k的范围 k＝0 k＞0 k不存在 k＜0
k的增减性 随θ的增大而增大 随θ的增大而增大
注意：k的增减性与θ的关系可借助正切函数y＝tan θ的性质进行记忆．
要点2 直线的方程
已知条件 方程 适用范围
点斜式 点P0(x0，y0)和斜率k y－y0＝k·(x－x0) 斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线
斜截式 斜率k和直线在y轴上的截距b y＝kx＋b
两点式 点P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 直线在x轴上的截距a和直线在y轴上的截距b ＝1 斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 所有直线
要点3 两条直线的位置关系
条件 方程形式
斜截式：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 一般式： A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
位置关系 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
平行 k1＝k2且b1≠b2 或或≠(A2，B2，C2均不为0)
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0
要点4 平面上的距离公式
(1)任意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝．
(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A与B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝．
要点5 圆的方程
1．圆的标准方程
圆心为(a，b)，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．圆的一般方程
当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，圆心为，半径为．
3．求圆的方程的方法
(1)几何性质法：利用圆的任意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程．
(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可．
要点6 直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系的判定方法
关系 相交 相切 相离
几何法 d＜r d＝r d＞r
代数法 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
注意：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径，Δ为直线和圆的方程联立消元后所得一元二次方程的根的判别式．
2．求弦长的方法
(1)利用垂径定理：已知半径r、弦心距d、弦长l，则d2＋＝r2．
(2)利用弦长公式：联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，则弦长为．
3．圆的切线方程
(1)经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D·＋F＝0．
4．求切线方程的方法
若切线斜率k存在，且不为0．
(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即得切线方程．
(2)代数法：将切线方程与圆的方程联立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切线方程．
注意：过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直的切线．
要点7 圆与圆的位置关系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
几何法 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
代数法 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
注意：d为两圆的圆心距，r1，r2分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式．由于利用代数法求出Δ＜0或Δ＝0后两圆的位置关系仍不明确，因此一般利用几何法判断两圆的位置关系．
要点8 椭圆、双曲线、抛物线的比较
椭圆 双曲线 抛物线
定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线 设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线
标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a＞0，b＞0) y2＝2px(p＞0)
几何图形
集合表示 {P||PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|＞0} {P|||PF2|－|PF1||＝2a，0＜2a＜|F1F2|} {P||PF|＝点P到直线l的距离}
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(－c，0)，F2(c，0) F
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(－a，0)，A2(a，0) O(0，0)
中心 原点(0，0) 原点(0，0)
离心率 0＜e＝＜1 e＝＞1 e＝1
通径长
要点9 椭圆的相关结论
(1)设P，A，B是中心在原点的椭圆上不同的三点，其中A，B两点关于原点对称，且直线PA，PB的斜率都存在，则kPA·kPB＝－(适用于焦点在x轴上的椭圆)．
(2)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c．
(3)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦．
(4)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则＝b2tan ，其中θ＝∠F1PF2．
(5)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)．
要点10 双曲线的相关结论
(1)通径：过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为．
(2)焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为．
(3)焦点到渐近线的距离为b．
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为(适用于焦点在x轴上的双曲线)．
(5)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
(6)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
(7)P是双曲线＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标恒为定值a．
要点11 抛物线焦点弦的性质
以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点， A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2．
(2)若直线AB的倾斜角为θ，且A位于x轴上方，B位于x轴下方，则|AF|＝＝．
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．
(4)S△AOB＝θ为直线AB的倾斜角)．
(5)为定值．
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．
(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°．
(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
8 / 8第一章 空间向量与立体几何
要点1 空间向量基本定理
1．共线向量基本定理
对任意两个空间向量a，b，如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa．
推论：若存在实数t，使＝(1－t)(O为空间任意一点)，则P，A，B三点共线．
2．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb．
推论1：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使．
推论2：空间四点P，A，B，C共面的充要条件是存在x，y，z∈R，使得(x＋y＋z＝1，O为空间任意一点)．
3．空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
要点2 空间向量数量积的应用
(1)a⊥b a·b＝0，此结论一般用于证明空间中的垂直关系．
(2)|a2|＝a2，即|a|＝，此结论一般用于求空间中线段的长度．
(3)cos〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间角的问题．
(4)|b|cos〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间中的距离问题．
要点3 空间向量在立体几何中的应用
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则
线线平行 l∥m a∥b a＝kb，k∈R
线面平行 l∥α a⊥u a·u＝0
面面平行 α∥β u∥ν u＝kν，k∈R
线线垂直 l⊥m a⊥b a·b＝0
线面垂直 l⊥α a∥u a＝ku，k∈R
面面垂直 α⊥β u⊥ν u·ν＝0
线线夹角 l，m的夹角为θ，cos θ＝
线面夹角 l，α的夹角为θ，sin θ＝
面面夹角 α，β的夹角为θ，cos θ＝
注意：①线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0≤θ≤．②二面角的范围为[0，π]．解题时应具体分析二面角是锐角还是钝角．
第二章 平面解析几何Ｋ
要点1 直线的倾斜角与斜率
(1)设直线的倾斜角为α，斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线上的不同两点．当α≠90°，即当x1≠x2时，k＝tan α＝；当α＝90°或x1＝x2时，直线斜率不存在．
(2)斜率与倾斜角的关系
直线 与x轴平行 由左向右上升 与y轴平行 由左向右下降
图示
θ的范围 θ＝0 0＜θ＜ θ＝ ＜θ＜π
k的范围 k＝0 k＞0 k不存在 k＜0
k的增减性 随θ的增大而增大 随θ的增大而增大
注意：k的增减性与θ的关系可借助正切函数y＝tan θ的性质进行记忆．
要点2 直线的方程
已知条件 方程 适用范围
点斜式 点P0(x0，y0)和斜率k y－y0＝k·(x－x0) 斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线
斜截式 斜率k和直线在y轴上的截距b y＝kx＋b
两点式 点P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 直线在x轴上的截距a和直线在y轴上的截距b ＝1 斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 所有直线
要点3 两条直线的位置关系
条件 方程形式
斜截式：y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 一般式： A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
位置关系 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
平行 k1＝k2且b1≠b2 或或≠(A2，B2，C2均不为0)
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B2C1－B1C2＝A1C2－A2C1＝0
要点4 平面上的距离公式
(1)任意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝．
(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A与B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝．
要点5 圆的方程
1．圆的标准方程
圆心为(a，b)，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．圆的一般方程
当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，圆心为，半径为．
3．求圆的方程的方法
(1)几何性质法：利用圆的任意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程．
(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可．
要点6 直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系的判定方法
关系 相交 相切 相离
几何法 d＜r d＝r d＞r
代数法 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
注意：d为圆心到直线的距离，r为圆的半径，Δ为直线和圆的方程联立消元后所得一元二次方程的根的判别式．
2．求弦长的方法
(1)利用垂径定理：已知半径r、弦心距d、弦长l，则d2＋＝r2．
(2)利用弦长公式：联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)，则弦长为．
3．圆的切线方程
(1)经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D·＋F＝0．
4．求切线方程的方法
若切线斜率k存在，且不为0．
(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即得切线方程．
(2)代数法：将切线方程与圆的方程联立，消元得一元二次方程，令Δ＝0，求出k，即得切线方程．
注意：过圆外一点的切线有两条，若解出的k值唯一，则应检验是否有一条与x轴垂直的切线．
要点7 圆与圆的位置关系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
几何法 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
代数法 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
注意：d为两圆的圆心距，r1，r2分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式．由于利用代数法求出Δ＜0或Δ＝0后两圆的位置关系仍不明确，因此一般利用几何法判断两圆的位置关系．
要点8 椭圆、双曲线、抛物线的比较
椭圆 双曲线 抛物线
定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线 设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线
标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a＞0，b＞0) y2＝2px(p＞0)
几何图形
集合表示 {P||PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|＞0} {P|||PF2|－|PF1||＝2a，0＜2a＜|F1F2|} {P||PF|＝点P到直线l的距离}
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(－c，0)，F2(c，0) F
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(－a，0)，A2(a，0) O(0，0)
中心 原点(0，0) 原点(0，0)
离心率 0＜e＝＜1 e＝＞1 e＝1
通径长
要点9 椭圆的相关结论
(1)设P，A，B是中心在原点的椭圆上不同的三点，其中A，B两点关于原点对称，且直线PA，PB的斜率都存在，则kPA·kPB＝－(适用于焦点在x轴上的椭圆)．
(2)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c．
(3)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦．
(4)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则＝b2tan ，其中θ＝∠F1PF2．
(5)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)．
要点10 双曲线的相关结论
(1)通径：过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为．
(2)焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为．
(3)焦点到渐近线的距离为b．
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为(适用于焦点在x轴上的双曲线)．
(5)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
(6)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
(7)P是双曲线＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标恒为定值a．
要点11 抛物线焦点弦的性质
以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点， A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2．
(2)若直线AB的倾斜角为θ，且A位于x轴上方，B位于x轴下方，则|AF|＝＝．
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．
(4)S△AOB＝θ为直线AB的倾斜角)．
(5)为定值．
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．
(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°．
(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
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