2.1 坐标法
学习 任务 1．理解平面直角坐标系中的基本公式．(数学运算) 2．理解坐标法的数学思想并能掌握坐标法的应用．(数学抽象)
二维的直角坐标系是由两条相互垂直、O点重合的数轴构成的．在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的．在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系．采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确地表达出来．几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守代数公式．
例如：已知平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
问题1：当x1≠x2，y1＝y2时，|AB|＝？
问题2：当x1＝x2，y1≠y2时，|AB|＝？
问题3：当x1≠x2，y1≠y2时，|AB|＝？
请简单说明理由．
知识点1 平面直角坐标系中的基本公式
(1)数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式
如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1，记作A(x1))，且B(x2)，则向量的坐标为x2－x1，从而数轴上两点之间的距离公式|AB|＝||＝．如果M(x)是线段AB的中点，则＝．数轴上的中点坐标公式x＝．
数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？
[提示] 给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．
(2)平面直角坐标系内两点之间的距离公式
A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝||＝．若M(x，y)是线段AB的中点，则＝，则平面直角坐标系内的中点坐标公式x＝，y＝．
知识点2 坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与实数一一对应． ( )
(2)数轴上起点相同的向量方向相同． ( )
(3)点M(x)位于点N(2x)的左侧． ( )
(4)数轴上等长的向量是相等的向量． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
[提示] (1)× 与有序实数对一一对应．
(2)× 终点不一定相同．
(3)× x与2x的大小无法确定．
(4)× 方向不一定相同．
2．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是( )
A．C(－3)和D(－4) B．C(3)和D(4)
C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3)
A [由数轴上点的坐标可知A正确．]
3．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．4 B．－4或2
C．－2 D．－2或4
D [由＝5，解得a＝－2或4．]
4．(1)已知A(1，2)，B(2，6)，则AB的中点坐标为________．
(2)已知A(2，4)，B(－1，3)，则A，B两点间的距离为________．
(1) (2) [(1)设AB的中点为M(x，y)，则x＝＝，y＝＝4，所以中点坐标为．
(2)|AB|＝＝．]
类型1 数轴上两点间的距离公式与中点坐标公式
【例1】 已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1，3，x．当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x．
[解] 由题意知|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|，所以(x－3)2＝9(x＋1)2，解得x＝－3或x＝0，
所以点P的坐标为－3或0．
[母题探究]
1．(变条件，变问法)本例中若点P到点A和点B的距离都是2，求点P的坐标x，此时点P与线段AB有着怎样的关系？
[解] 由题意知|PA|＝|PB|＝2，
即解得x＝1．
此时点P的坐标为1，显然此时点P为线段AB的中点．
2．(变问法)本例中在线段AB上是否存在点P(x)，使得点P到点A和点B的距离都是3？若存在，求出点P的坐标x；若不存在，请说明理由．
[解] 不存在这样的点P(x)．
因为d(A，B)＝|3＋1|＝4，要使点P在线段AB上，且d(P，A)＝d(P，B)＝3，则d(A，B)＝d(P，A)＋d(P，B)，这是不可能的．
数轴上的基本公式应用思路与方法
(1)已知向量中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，使用＝求解．
(2)已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用＝xB－xA求解．
(3)已知数轴上两点间的距离时，使用d(A，B)＝|AB|＝|xB－xA|求解．
[跟进训练]
1．(1)在数轴上，已知A(3)，B(－1)，则|AB|＝________；AB的中点的坐标为________．
(2)已知M，N，P是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝3，则|MP|＝________．
(1)4 1 (2)2或8 [(1)由题意，|AB|＝|－1－3|＝4，AB的中点的坐标为＝1．
(2)因为M，N，P是数轴上三点，
|MN|＝5，|NP|＝3，
①当点P在点M，N之间时(如图所示)，
|MP|＝|MN|－|NP|＝5－3＝2．
②当点P在点M，N之外时(如图所示)，
|MP|＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8．
综上所述，|MP|＝2或8．]
类型2 平面直角坐标系中距离公式和中点坐标公式的应用
平面直角坐标系中两点之间距离公式的应用
【例2】 (源自北师大版教材例题)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l：y＝2x＋b上的两点，若|x2－x1|＝3，求|AB|．
[解] 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l：y＝2x＋b上的两点，所以y1＝2x1＋b，y2＝2x2＋b．
由已知|x2－x1|＝3，得|y2－y1|＝|(2x2＋b)－(2x1＋b)|＝2|x2－x1|＝6．根据两点间的距离公式，得|AB|＝＝＝3．
关于两点之间的距离公式的注意点
(1)注意公式特征，一是括号内是对应横纵坐标的差；二是作差的顺序必须一致．点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|＝．
(2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广．
[跟进训练]
2．(1)已知A(1，3)，B(5，2)，点P在x轴上，则|AP|＋|PB|的最小值为( )
A．6 B．
C． D．5
(2)已知点A(2，1)，点B(5, a)，若|AB|＝，则a＝________．
(1)B (2)－1或3 [(1)如图，作A(1，3)关于x轴的对称点A′(1，－3)，连接A′B交x轴于点P．可知|A′B|即为|AP|＋|PB|的最小值，而|A′B|＝＝，故|AP|＋|PB|的最小值为．
(2)点A(2，1)，B(5，a)，则|AB|＝＝，解得a＝－1或3．]
平面直角坐标系中中点坐标公式的应用
【例3】 已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标．
[解] 设点C的坐标为(x，y)，边AC的中点为D，BC的中点为E，则
DE∥AB且DE＝AB．因为AB与坐标轴不平行，所以D，E两点不可能都在x轴或y轴上．
线段AC的中点D的坐标为，
线段BC的中点E的坐标为．
若点D在y轴上，则＝0，即x＝－3，此时点E的横坐标不为零，点E要在坐标轴上，只能在x轴上，所以＝0，即y＝－5，所以C(－3，－5)．
若点D在x轴上，则＝0，即y＝－7，此时点E的纵坐标不为零，点E只能在y轴上，所以＝0，即x＝2，此时C(2，－7)．
综上可知，符合题意的点C的坐标为(－3，－5)或(2，－7)．
关于中点坐标公式的应用
(1)中点坐标公式体现了两点及其中点坐标之间的关系，三个点的坐标“知二求一”；
(2)点A(x，y)关于点P(a，b)的对称点坐标为(2a－x，2b－y)．
(3)以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为顶点的△ABC的重心坐标为 ．
[跟进训练]
3．(1)点P(3，2)关于点Q(1，4)的对称点M的坐标为( )
A．(1，6) B．(6，1)
C．(1，－6) D．(－1，6)
(2)已知A(x，5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点O的距离是( )
A．4 B．
C．
(1)D (2)D [(1)设点M(x，y)，则＝1，＝4，所以x＝－1，y＝6，所以点M(－1，6)．
(2)因为C为AB的中点，所以解得故P(4，1)，所以|OP|＝．]
类型3 坐标法的应用
【例4】 【链接教材P73例2】
求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则连接对角线交点与一边中点的线段长等于圆心到该边的对边中点的距离．
[证明] 以两条对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示．设A(－a，0)，C(c，0)，B(0，－b)，D(0，d)，分别取CD和AB的中点E，F，圆心为M，所以E，F．
设M(x，y)，因为点M到点A，C的距离相等，所以＝，所以x＝．
又点M到点B，D的距离相等，
所以＝，所以y＝．即M．
所以|OE|＝＝，
|MF|＝＝．所以|OE|＝|MF|．
同理可证得|OF|＝|ME|，且当取AD，BC的中点时，结论也正确．故结论得证．
【教材原题·P73例2】
【例2】 已知ABCD是一个长方形，AB＝4，AD＝1．判断线段CD上是否存在点P，使得AP⊥BP．如果存在，指出满足条件的P有多少个；如果不存在，说明理由．
[解] 以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立如图2 1 5所示平面直角坐标系．依据已知可得A(－2，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(－2，1)．
设P(t，1)是线段CD上一点，则－2≤t≤2，而且＝(－2－t，－1)，＝(2－t，－1)．
因为AP⊥BP的充要条件是⊥，即＝0，这也等价于(－2－t)(2－t)＋1＝0．
又因为上述方程的解为t＝或t＝－，所以满足条件的P点存在，而且有两个．
建立平面直角坐标系的常见技巧
(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上．
(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，那么考虑其作为坐标轴．
(3)考虑图形的对称性，可将图形的对称中心作为原点，将图形的对称轴作为坐标轴．
[跟进训练]
4．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|．
[证明] 以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．因为斜边BC的中点为M，
所以点M的坐标为，即．
由两点间的距离公式得|BC|＝＝，
|AM|＝＝，
故|AM|＝|BC|．
1．(教材P73习题2 1A T2改编)已知A(－8，－3)，B(5，－3)，则线段AB的中点坐标为( )
A．
C．
B [x＝＝－，y＝＝－3，故选B．]
2．已知A(－6)，|AB|＝4，则点B的坐标为( )
A．2 B．－2或－10
C．10 D．2或10
B [设B点的坐标为x，则|AB|＝|x－(－6)|＝4，所以x＝－2或x＝－10．]
3．光从点A(－2，3)射到x轴上，经反射后经过点B(3，9)，则光从点A到点B的距离是( )
A．11 B．12
C．13 D．14
C [根据光学原理，光从点A到点B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离．
因为A(－2，3)，所以A′(－2，－3)．
所以|A′B|＝＝13．]
4．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则的值为________ ．
2 [由两点间的距离公式，得|AC|＝＝4，|CB|＝＝2，故＝＝2．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．应用两点间距离公式时要注意哪些问题？
[提示] (1)注意公式特征，一是括号内是对应横纵坐标的差；二是作差的顺序必须一致．
(2)运算结果要进行开方化简．
2．如何理解平面内中点坐标公式？
[提示] (1)从公式上看，根据方程思想，可以知二求一，即只要知道公式两边的任意两个量，就可以求出第三个量；
(2)从图象上看，只要知道任意两个点，就可以求出第三个点．
3．利用坐标法证明几何问题有何优势？
[提示] 避免了作复杂的辅助线，将推理证明转化为数学运算．
笛卡儿与解析几何
从16世纪开始，由于制造业和航海业的迅猛发展，产生了许多迫切需要解决的实际问题，如航行中船的定位、速度问题等，这些问题都向数学提出了挑战，在这一形势下笛卡儿奠定了解析几何的基础．
笛卡儿(Descartes，1596—1650)出生于法国一个古老的贵族家庭．在学生时代，他就喜欢深思，并终生保持着这个习惯，后来他回忆道，那些寂静的冥思是他的哲学和数学思想的真正源泉．青年时代的笛卡儿，开始了比以前更长时间、更努力、更忘我的思考，他推崇严格的数学推理．1620年前后，他证明了四次方程x4＋px2＋qx＋r＝0的根，可以通过抛物线和圆的交点求出，巧妙地把代数和几何结合在了一起．
1637年，他发表了重要著作《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》(简称《方法论》)，在该书的第三个附录《几何学》中，他把代数方法应用于几何的作图问题中，指出了作图问题与求方程组的解之间的关系，明确提出了曲线方程的思想、坐标的方法，把几何曲线表示成代数方程．《几何学》的发表，标志着解析几何的创立．
解析几何的创立，在数学史上具有划时代的意义，恩格斯给出了相当高的评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了．”解析几何作为一种有效的数学工具，沟通了数学中数与形、代数与几何等基本对象之间的联系，使得几何问题可转化成用代数运算来解决，也使得代数问题因拥有几何背景而变得直观易懂．
课时分层作业(九) 坐标法
一、选择题
1．已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(－2)，则3＋4的坐标为( )
A．17 B．1
C．－1 D．－17
B [由题意，可得向量的坐标为3，向量的坐标为－2，所以3＋4的坐标为3×3＋4×(－2)＝1．故选B．]
2．(教材P74习题2 1A T3改编)已知点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
B [因为|AB|＝＝2，
|AC|＝＝5，
|BC|＝＝，
所以|AC|2＝|AB|2＋|BC|2，
所以△ABC为三边互不相等的直角三角形．]
3．在数轴上标出若干个点，每相邻的两个点相距1个单位长度．如图，已知A(a)，B(b)，C(c)，D(d)，且d－2a＝10，那么数轴的原点应该是( )
A．A点 B．B点
C．C点 D．D点
B [由数轴知d－a＝7，又d－2a＝10，所以a＝－3，故b＝－3＋3＝0，即B点为原点．]
4．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则AB边上的中线长为( )
A．
C．
A [边AB的中点D的坐标为(－1，－1)，所以|CD|＝＝．]
5．(多选题)已知平行四边形的三个顶点坐标为(3，－2)，(5，2)，(－1，4)，则第四个顶点的坐标可能是( )
A．(9，－4) B．(1，8)
C．(－3，0) D．(1，－3)
ABC [设第四个顶点的坐标为(x，y)，然后分情况讨论．
(1)若点(3，－2)，(5，2)为平行四边形的对顶点，则有＝＝，解得x＝9，y＝－4，即(9，－4)；
(2)若(5，2)，(－1，4)为对顶点，同理可求得第四个顶点的坐标为(1，8)；
(3)若(3，－2)，(－1，4)为对顶点，同理可求得第四个顶点的坐标为(－3，0)．
故选ABC．]
二、填空题
6．在数轴上有一点P，它到以点A(－10)，B(－4)为端点的线段中点的距离为2，则点P的坐标为______________________．
－9或－5 [设点P坐标为x，AB的中点为C，则C点坐标为＝－7，因为d(P，C)＝2，所以|PC|＝|x＋7|＝2，解得x＝－9或x＝－5，故点P的坐标为－9或－5．]
7．已知P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，则|PQ|的最大值为_______ ．
2 [因为P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，
所以|PQ|＝
＝
＝
＝．
因为cos (α－β)∈[－1，1]，所以|PQ|∈[0，2]．所以|PQ|的最大值为2．]
8．使得|x－3|＋|x＋1|≥a恒成立的a的取值范围为________．
(－∞，4] [在数轴上，设点A(x)，B(3)，C(－1)，则|x－3|＋|x＋1|＝|AB|＋|AC|的最小值为|BC|＝4，所以使|x－3|＋|x＋1|≥a恒成立的a的取值范围为(－∞，4]．]
三、解答题
9．如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明：AE＝CD．
[证明] 如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．
设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，
则A(－a，0)，C(c，0)，E，D，由距离公式，
得|AE|＝＝，
|CD|＝＝，
所以|AE|＝|CD|，即AE＝CD．
10．台球运动中无旋转反弹是最简单的技法，即主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中．现有一目标球从点A(－3，5)无旋转射入，经过x轴(桌边)上的点P反弹后，经过点B(2，10)，则球从点A到点B经过的路程为( )
A．5 B．2
C．5 D．10
C [点A(－3，5)关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，则球从A到B经过的路程等于A′B的长度，|A′B|＝＝5．]
11．已知数轴上点A(－2)，B(1)，D(3)，点C在BA的延长线上，且有＝，延长DC到点E，使＝，则点E的坐标为 ( )
A． B．－
C． D．－
B [设点C的坐标为x，点E的坐标为x′，
则＝＝，得x＝－5，
∴点C的坐标为－5．
∵点E在DC的延长线上，
∴＝＝，
∴x′＝－，即点E的坐标为－．]
12．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
4 [设直线y＝kx(k>0)，
联立方程解得x＝±，
可令P，Q，
所以|PQ|＝＝＝4，当且仅当＝8k，即k＝1时等号成立，所以PQ长的最小值为4．]
13．已知正三角形ABC的边长为a，在△ABC所在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值．
[解] 以边BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，
则A，B，C．
设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2
＝x2＋＋＋y2＋＋y2＝3x2＋3y2－ay＋
＝3x2＋3＋a2≥a2，
当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立，
∴所求最小值为a2，此时点P的坐标为．
14．在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|．求证：△ABC为等腰三角形．
[证明] 作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．
设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)．
因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，
所以由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．
又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c．
所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形．
14/142.1 坐标法
学习 任务 1．理解平面直角坐标系中的基本公式．(数学运算) 2．理解坐标法的数学思想并能掌握坐标法的应用．(数学抽象)
二维的直角坐标系是由两条相互垂直、O点重合的数轴构成的．在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的．在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系．采用直角坐标，几何形状可以用代数公式明确地表达出来．几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守代数公式．
例如：已知平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
问题1：当x1≠x2，y1＝y2时，|AB|＝？
问题2：当x1＝x2，y1≠y2时，|AB|＝？
问题3：当x1≠x2，y1≠y2时，|AB|＝？
请简单说明理由．
知识点1 平面直角坐标系中的基本公式
(1)数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式
如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1，记作A(x1))，且B(x2)，则向量的坐标为_________，从而数轴上两点之间的距离公式|AB|＝||＝_________．如果M(x)是线段AB的中点，则＝．数轴上的中点坐标公式x＝_________．
数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？
(2)平面直角坐标系内两点之间的距离公式
A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝_________，|AB|＝||＝________________．若M(x，y)是线段AB的中点，则＝，则平面直角坐标系内的中点坐标公式x＝________，y＝________．
知识点2 坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过_________等解决问题的方法称为坐标法．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与实数一一对应． ( )
(2)数轴上起点相同的向量方向相同． ( )
(3)点M(x)位于点N(2x)的左侧． ( )
(4)数轴上等长的向量是相等的向量． ( )
2．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是( )
A．C(－3)和D(－4) B．C(3)和D(4)
C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3)
3．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．4 B．－4或2
C．－2 D．－2或4
4．(1)已知A(1，2)，B(2，6)，则AB的中点坐标为________．
(2)已知A(2，4)，B(－1，3)，则A，B两点间的距离为________．
类型1 数轴上两点间的距离公式与中点坐标公式
【例1】 已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1，3，x．当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x．
[尝试解答]
[母题探究]
1．(变条件，变问法)本例中若点P到点A和点B的距离都是2，求点P的坐标x，此时点P与线段AB有着怎样的关系？
2．(变问法)本例中在线段AB上是否存在点P(x)，使得点P到点A和点B的距离都是3？若存在，求出点P的坐标x；若不存在，请说明理由．
数轴上的基本公式应用思路与方法
(1)已知向量中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，使用＝求解．
(2)已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用＝xB－xA求解．
(3)已知数轴上两点间的距离时，使用d(A，B)＝|AB|＝|xB－xA|求解．
[跟进训练]
1．(1)在数轴上，已知A(3)，B(－1)，则|AB|＝________；AB的中点的坐标为________．
(2)已知M，N，P是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝3，则|MP|＝________．
类型2 平面直角坐标系中距离公式和中点坐标公式的应用
平面直角坐标系中两点之间距离公式的应用
【例2】 (源自北师大版教材例题)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l：y＝2x＋b上的两点，若|x2－x1|＝3，求|AB|．
[尝试解答]
关于两点之间的距离公式的注意点
(1)注意公式特征，一是括号内是_________横纵坐标的差；二是作差的_________必须一致．点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|＝．
(2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广．
[跟进训练]
2．(1)已知A(1，3)，B(5，2)，点P在x轴上，则|AP|＋|PB|的最小值为( )
A．6 B．
C． D．5
(2)已知点A(2，1)，点B(5, a)，若|AB|＝，则a＝________．
平面直角坐标系中中点坐标公式的应用
【例3】 已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标．
[尝试解答]
关于中点坐标公式的应用
(1)中点坐标公式体现了两点及其中点坐标之间的关系，三个点的坐标“知二求一”；
(2)点A(x，y)关于点P(a，b)的对称点坐标为_________．
(3)以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为顶点的△ABC的重心坐标为_________．
[跟进训练]
3．(1)点P(3，2)关于点Q(1，4)的对称点M的坐标为( )
A．(1，6) B．(6，1)
C．(1，－6) D．(－1，6)
(2)已知A(x，5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点O的距离是( )
A．4 B．
C．
类型3 坐标法的应用
【例4】 【链接教材P73例2】
求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则连接对角线交点与一边中点的线段长等于圆心到该边的对边中点的距离．
[尝试解答]
建立平面直角坐标系的常见技巧
(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上．
(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，那么考虑其作为坐标轴．
(3)考虑图形的对称性，可将图形的对称中心作为原点，将图形的对称轴作为坐标轴．
[跟进训练]
4．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|．
1．(教材P73习题2 1A T2改编)已知A(－8，－3)，B(5，－3)，则线段AB的中点坐标为( )
A．
C．
2．已知A(－6)，|AB|＝4，则点B的坐标为( )
A．2 B．－2或－10
C．10 D．2或10
3．光从点A(－2，3)射到x轴上，经反射后经过点B(3，9)，则光从点A到点B的距离是( )
A．11 B．12
C．13 D．14
4．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则的值为________ ．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．应用两点间距离公式时要注意哪些问题？
2．如何理解平面内中点坐标公式？
3．利用坐标法证明几何问题有何优势？
笛卡儿与解析几何
从16世纪开始，由于制造业和航海业的迅猛发展，产生了许多迫切需要解决的实际问题，如航行中船的定位、速度问题等，这些问题都向数学提出了挑战，在这一形势下笛卡儿奠定了解析几何的基础．
笛卡儿(Descartes，1596—1650)出生于法国一个古老的贵族家庭．在学生时代，他就喜欢深思，并终生保持着这个习惯，后来他回忆道，那些寂静的冥思是他的哲学和数学思想的真正源泉．青年时代的笛卡儿，开始了比以前更长时间、更努力、更忘我的思考，他推崇严格的数学推理．1620年前后，他证明了四次方程x4＋px2＋qx＋r＝0的根，可以通过抛物线和圆的交点求出，巧妙地把代数和几何结合在了一起．
1637年，他发表了重要著作《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》(简称《方法论》)，在该书的第三个附录《几何学》中，他把代数方法应用于几何的作图问题中，指出了作图问题与求方程组的解之间的关系，明确提出了曲线方程的思想、坐标的方法，把几何曲线表示成代数方程．《几何学》的发表，标志着解析几何的创立．
解析几何的创立，在数学史上具有划时代的意义，恩格斯给出了相当高的评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了．”解析几何作为一种有效的数学工具，沟通了数学中数与形、代数与几何等基本对象之间的联系，使得几何问题可转化成用代数运算来解决，也使得代数问题因拥有几何背景而变得直观易懂．
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