【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1
文档属性
| 名称 | 【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 230.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-06 10:04:08 | ||
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文档简介
2.2 直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
学习任务 1．结合教材实例理解直线的倾斜角与斜率的概念及其计算．(数学抽象) 2．能理解直线斜率与倾斜程度的关系，能利用斜率的计算公式解决相关的问题．(直观想象、数学运算) 3．理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用．(直观想象、数学运算)
在日常生活中，用坡度来刻画道路的倾斜程度，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比，这个比值反映了物体在水平方向的改变量和铅直方向的改变量的联系．例如，坡度为0.01，说明物体沿着该坡道运动，在水平方向上移动1 km，在铅直方向上上升或下降0.01 km(示意图如图)．显然坡度越大，坡的倾斜程度就越大．实际上，生活中这样的例子很多，如水库大坝、楼梯及屋顶的坡度等．
实际上，坡度是利用高度的平均变化率刻画道路的倾斜程度．与坡度的意义类似，在平面直角坐标系中，如何用直线的平均变化率刻画直线相对于x轴正方向的倾斜程度？
知识点1 直线的倾斜角
(1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按_________方向旋转到与直线重合时所转的_________记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(2)特例：若直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为_________，与x轴垂直的直线，倾斜角为_________．
(3)范围：_________．
知识点2 斜率
1．直线上两点与倾斜角的关系
一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：
(1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝_________；
(2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝_________；
(3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝．
2．斜率的概念
(1)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝___________________为直线l的斜率；当θ＝_________时，称直线l的斜率不存在．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当_________时，直线l的斜率为k＝；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在．
(1)所有直线都有唯一确定的倾斜角，但倾斜角为α的直线有无数条．
(2)直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，前者侧重代数角度，后者侧重几何角度．
(3)kAB＝＝kBA＝(x1≠x2)，所以直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关．
知识点3 直线的方向向量
(1)一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l_________，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作_________．
(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量_________都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定_________．
(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝_________是直线l的一个方向向量．
(4)一般地，如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则
①当u＝0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为_________．
②当u≠0时，直线l的斜率k存在，且(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝_________，倾斜角θ满足tan θ＝_________．
知识点4 直线的法向量
一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l．
如果a＝(－1，2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． ( )
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． ( )
(3)倾斜角为135°的直线的斜率为1． ( )
(4)若直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α． ( )
2．如图所示，直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．以上都不对
3．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为________．
4．已知直线l经过两点P(1，2)，Q(－2，1)，那么直线l的一个方向向量为________；一个法向量为________；斜率为________．
类型1 直线的倾斜角
【例1】 (1)下列四个命题中，正确的是( )
A．直线的倾斜角θ的取值范围为0≤θ≤π
B．若直线的倾斜角为θ，则sin θ≥0
C．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θ
D．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ
(2)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
求直线的倾斜角的方法及两点注意事项
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意事项：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°．
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．
提醒：求直线的倾斜角主要根据定义，关键是能画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
[跟进训练]
1．(1)直线x＝－tan 的倾斜角是( )
A．0 B． C． D．
(2)已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，l2与x轴的交点为B，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，则直线l2的倾斜角为________．
类型2 直线斜率公式的应用
求直线的斜率
【例2】 已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)．
(1)当m为何值时，直线l的斜率是1
(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？
(3)当直线l的倾斜角为锐角时，求实数m的取值范围．
[尝试解答]
求直线斜率问题时的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式___________________解决．
(2)由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式_________________求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用_________求解．
[跟进训练]
2．已知坐标平面内两点M(m＋3，2m＋5)，N(m－2，1)．
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
求直线斜率的取值范围
【例3】 已知直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为________．
[思路导引] →→
[母题探究]
(变条件)将本例中“B(3，0)”改为“B(－4，5)”，其他条件不变，则直线l的斜率k的取值范围是________．
分析直线斜率k变化时应分三种情况：①0°≤θ<90°时，k随θ的增大而增大，k∈[0，＋∞)．②θ＝90°时，k不存在．③90°<θ<180°时，k随θ的增大而增大，k∈(－∞，0)(其中θ为直线的倾斜角)．
[跟进训练]
3．已知两点A(2，－3)，B(1，0)，直线l过点P(0，－1)且与线段AB有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A． B．
C． D．
类型3 求直线的方向向量或法向量
【例4】 已知直线l经过点A(1，2)，B(4，5)，求直线l的一个方向向量和法向量，并确定直线l的斜率与倾斜角．
[尝试解答]
求一条直线的方向向量和法向量的方法
(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)，当直线l的斜率存在时，方向向量可取为(1，k)，此时，可用斜率表示方向向量，当直线l的斜率不存在时，其方向向量可取为(0，1)．
(2)若直线l的方向向量为(1，k)，则(k，－1)或(－k，1)为直线l的两个法向量，直线的任意两个法向量可以同向，也可以反向．
(3)直线的方向向量和法向量不唯一．
[跟进训练]
4．已知直线的倾斜角为120°，它的一个法向量为v＝(m，m＋1)，则m＝________．
1．若已知直线l的一个方向向量为a＝(2，3)，则直线l的斜率为( )
A． B． C．3 D．－
2．关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法：
①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；
②平行于x轴的直线的倾斜角为0°或180°；
③若直线过点P1与P2，则该直线的斜率为．
其中正确说法的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
3．已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l的斜率的取值范围是________．
4．已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线的斜率与倾斜角有何区别与联系？
2．如何用斜率公式解决三点共线问题？
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2.2.1 直线的倾斜角与斜率
学习任务 1．结合教材实例理解直线的倾斜角与斜率的概念及其计算．(数学抽象) 2．能理解直线斜率与倾斜程度的关系，能利用斜率的计算公式解决相关的问题．(直观想象、数学运算) 3．理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用．(直观想象、数学运算)
在日常生活中，用坡度来刻画道路的倾斜程度，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比，这个比值反映了物体在水平方向的改变量和铅直方向的改变量的联系．例如，坡度为0.01，说明物体沿着该坡道运动，在水平方向上移动1 km，在铅直方向上上升或下降0.01 km(示意图如图)．显然坡度越大，坡的倾斜程度就越大．实际上，生活中这样的例子很多，如水库大坝、楼梯及屋顶的坡度等．
实际上，坡度是利用高度的平均变化率刻画道路的倾斜程度．与坡度的意义类似，在平面直角坐标系中，如何用直线的平均变化率刻画直线相对于x轴正方向的倾斜程度？
知识点1 直线的倾斜角
(1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按_________方向旋转到与直线重合时所转的_________记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(2)特例：若直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为_________，与x轴垂直的直线，倾斜角为_________．
(3)范围：_________．
知识点2 斜率
1．直线上两点与倾斜角的关系
一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：
(1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝_________；
(2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝_________；
(3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝．
2．斜率的概念
(1)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝___________________为直线l的斜率；当θ＝_________时，称直线l的斜率不存在．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当_________时，直线l的斜率为k＝；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在．
(1)所有直线都有唯一确定的倾斜角，但倾斜角为α的直线有无数条．
(2)直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，前者侧重代数角度，后者侧重几何角度．
(3)kAB＝＝kBA＝(x1≠x2)，所以直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关．
知识点3 直线的方向向量
(1)一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l_________，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作_________．
(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量_________都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定_________．
(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝_________是直线l的一个方向向量．
(4)一般地，如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则
①当u＝0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为_________．
②当u≠0时，直线l的斜率k存在，且(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝_________，倾斜角θ满足tan θ＝_________．
知识点4 直线的法向量
一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l．
如果a＝(－1，2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． ( )
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． ( )
(3)倾斜角为135°的直线的斜率为1． ( )
(4)若直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α． ( )
2．如图所示，直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．以上都不对
3．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为________．
4．已知直线l经过两点P(1，2)，Q(－2，1)，那么直线l的一个方向向量为________；一个法向量为________；斜率为________．
类型1 直线的倾斜角
【例1】 (1)下列四个命题中，正确的是( )
A．直线的倾斜角θ的取值范围为0≤θ≤π
B．若直线的倾斜角为θ，则sin θ≥0
C．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θ
D．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ
(2)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
求直线的倾斜角的方法及两点注意事项
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意事项：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°．
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．
提醒：求直线的倾斜角主要根据定义，关键是能画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
[跟进训练]
1．(1)直线x＝－tan 的倾斜角是( )
A．0 B． C． D．
(2)已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，l2与x轴的交点为B，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，则直线l2的倾斜角为________．
类型2 直线斜率公式的应用
求直线的斜率
【例2】 已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)．
(1)当m为何值时，直线l的斜率是1
(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？
(3)当直线l的倾斜角为锐角时，求实数m的取值范围．
[尝试解答]
求直线斜率问题时的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式___________________解决．
(2)由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式_________________求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用_________求解．
[跟进训练]
2．已知坐标平面内两点M(m＋3，2m＋5)，N(m－2，1)．
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
求直线斜率的取值范围
【例3】 已知直线l过点P(－1，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为________．
[思路导引] →→
[母题探究]
(变条件)将本例中“B(3，0)”改为“B(－4，5)”，其他条件不变，则直线l的斜率k的取值范围是________．
分析直线斜率k变化时应分三种情况：①0°≤θ<90°时，k随θ的增大而增大，k∈[0，＋∞)．②θ＝90°时，k不存在．③90°<θ<180°时，k随θ的增大而增大，k∈(－∞，0)(其中θ为直线的倾斜角)．
[跟进训练]
3．已知两点A(2，－3)，B(1，0)，直线l过点P(0，－1)且与线段AB有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A． B．
C． D．
类型3 求直线的方向向量或法向量
【例4】 已知直线l经过点A(1，2)，B(4，5)，求直线l的一个方向向量和法向量，并确定直线l的斜率与倾斜角．
[尝试解答]
求一条直线的方向向量和法向量的方法
(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)，当直线l的斜率存在时，方向向量可取为(1，k)，此时，可用斜率表示方向向量，当直线l的斜率不存在时，其方向向量可取为(0，1)．
(2)若直线l的方向向量为(1，k)，则(k，－1)或(－k，1)为直线l的两个法向量，直线的任意两个法向量可以同向，也可以反向．
(3)直线的方向向量和法向量不唯一．
[跟进训练]
4．已知直线的倾斜角为120°，它的一个法向量为v＝(m，m＋1)，则m＝________．
1．若已知直线l的一个方向向量为a＝(2，3)，则直线l的斜率为( )
A． B． C．3 D．－
2．关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法：
①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；
②平行于x轴的直线的倾斜角为0°或180°；
③若直线过点P1与P2，则该直线的斜率为．
其中正确说法的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
3．已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l的斜率的取值范围是________．
4．已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线的斜率与倾斜角有何区别与联系？
2．如何用斜率公式解决三点共线问题？
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