【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2 2.2.2 直线的方程 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2.2.2　直线的方程
学习 任务 1．会求直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的方程．(数学抽象) 2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．(直观想象) 3．灵活选用恰当的方式求直线方程．(数学运算)
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．怎样表示直线的方程呢？
知识点1　直线的点斜式方程与斜截式方程
(1)直线的点斜式方程
在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程．
①如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为________．
②如果直线l的斜率存在且为k，设P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为_________．由直线上一点和直线的斜率确定，通常称为直线的点斜式方程．
(2)直线的斜截式方程
当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的截距为_________；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为_________．一条直线在y轴上的截距简称为_________．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为_________．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线的斜截式方程．
纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可以取一切实数，即可为正数、负数或零．
知识点2　直线的两点式方程与截距式方程
(1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2≠x1，y2≠y1时，则__________________称为直线的两点式方程．
(2)若直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则方程____________称为直线的截距式方程．
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况，由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距，所以利用截距式解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题非常方便．
知识点3　直线的一般式方程
直线的一般式方程为_________．
(1)对于直线方程的一般式，有如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y项的系数和常数项一般不出现分数．
(2)直线的一般式方程与点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程的方程形式及局限．
类型 方程形式 局限
点斜式方程 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式方程 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
两点式方程 (x1≠x2，y1≠y2) 不能表示斜率不存在或斜率为0的直线
截距式方程 ＝1(a≠0，b≠0) 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式方程 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 无
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程＝1表示． (　　)
(2)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示． (　　)
(3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示． (　　)
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝表示． (　　)
(5)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化． (　　)
2．直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有(　　)
A．k>0，b>0　　　　 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
3．直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为(　　)
A． B．－
C．－ D．
4．在平面直角坐标系中，下列三个结论：
①每一条直线都有点斜式方程；
②方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线；
③直线l过点P0(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0．
其中正确的结论序号为________．
类型1　选择恰当的方式求直线方程
【例1】　求满足下列条件的直线方程．
(1)斜率为－2，经过点(3，4)；
(2)斜率为3，在y轴上的截距是2；
(3)经过两点(－2，－1)和(－1，5)；
(4)经过两点(－4，0)和(0，2)．
[思路导引]　(1)已知一点坐标和直线斜率，适宜采用点斜式．(2)已知斜率及y轴上的截距，用斜截式．(3)已知两点坐标选用两点式．(4)已知两点为坐标轴上的两点，可知横、纵截距，用截距式．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
[跟进训练]
1．已知直线l经过点A(2，1)，B(3，3)，求直线l的点斜式方程、斜截式和一般式，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　利用直线的方程求解参数的值或范围
【例2】　设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．(变条件)本例中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变问法)若本例中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　已知含参的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤
(1)明条件(审题)：明确参数个数，x项、y项的系数及常数项；
(2)列式子(依据)：
(3)求值检验(结论)：解方程或不等式求值(取值范围)，检验是否符合题意，得出参数的值(取值范围)．
[跟进训练]
2．(源自北师大版教材例题)已知直线l的方程为mx＋(m－1)y＋1＝0，m∈R．
(1)若直线l在x轴上的截距为－2，求m的值；
(2)若直线l与y轴垂直，求m的值；
(3)若直线l的倾斜角为，求m的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　直线恒过定点问题
【例3】　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，求证：不论a为何值，直线l恒过第一象限．
[思路导引]　直线恒过定点时可按照参数重新整理其直线方程，若直线斜率存在，则可把直线方程化为点斜式y－y0＝k(x－x0)的形式，故不论直线的斜率k取何值，直线恒过定点(x0，y0)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求直线恒过定点的两种方法
(1)将直线方程化为_________，由_________方程观察得到定点；
(2)将x，y看成参数的_________，变形整理后，对参数取任意的值，式子都成立，从而转化为关于x，y的_________，然后求x，y的值，由x，y确定的点就是“定点”．
提醒：求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积时，要注意其面积为在两坐标轴上的截距的绝对值的积的一半，其易错点为漏掉绝对值．
[跟进训练]
3．(1)不论k为何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0恒过一个定点，这个定点的坐标是(　　)
A．(5，2)　　　　　　　 B．(2，3)
C．(5，9) D．
(2)已知过定点的直线kx－y＋4－k＝0在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为________ ．
1．过点(－3，2)，倾斜角为60°的直线方程为(　　)
A．y＋2＝(x－3)　　　　 B．y－2＝(x＋3)
C．y－2＝(x＋3) D．y＋2＝(x＋3)
2．已知直线l不经过第三象限，若其斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则(　　)
A．kb<0 B．k≤0，b>0
C．k<0，b>0 D．kb≥0
3．过点A(3，0)和B(2，1)的直线方程为(　　)
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0
4．若直线mx－y＋(2m＋1)＝0恒过定点，则此定点是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．＝k与y－y0＝k(x－x0)有什么不同？
2．试比较各种不同直线方程的特点及适用范围．
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