【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2 2.2.3 两条直线的位置关系 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2.2.3　两条直线的位置关系
学习任务 1．掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标．(数学运算) 2．掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别．(逻辑推理、数学运算) 3．灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系．(逻辑推理、数学运算)
过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱子支撑．为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直．你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？
知识点1　两条直线的相交、平行与重合
(1)几何方法判断
若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：
设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则
①l1与l2相交 _________．
②l1与l2平行 _________．
③l1与l2重合 _________．
(2)向量方法判断
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量．
①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即_________．
②l1与l2平行的充要条件是v1与v2共线，即_________．
l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ，使得A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2．
1．直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是什么？重合的充要条件呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　两条直线的垂直
(1)若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2 _________．
(2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2 _________．
2．两直线互相垂直，一定能得到两直线的斜率之积等于－1吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行． (　　)
(2)若l1∥l2，则k1＝k2． (　　)
(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交． (　　)
(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行． (　　)
(5)若直线l1，l2的方程组成的方程组有解，则l1与l2一定相交． (　　)
2．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是(　　)
A．1　　 B．－2　　
C．1或－2　　 D．－1或2
3．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)，(6，y)，且l1⊥l2，则y＝(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．1
4．已知直线l1：x＋ay＋1＝0与l2：x－y＋1＝0垂直，则a＝________．
类型1　两条直线相交、平行、重合的判定
【例1】　(源自人教A版教材例题)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0．
[思路导引]　解直线l1，l2的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则l1与l2相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则l1∥l2；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则l1与l2重合．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　两条直线相交、平行或重合的四种判断方法
(1)把直线方程都化为斜截式，利用直线的斜率与截距的关系判断；
(2)把直线的方程化为一般式，利用方程中的x，y的系数之间的关系判断；
(3)解由直线的方程组成的方程组，利用方程组的解的个数判断；
(4)求两条直线的法向量，利用两个法向量的关系进行判断．
[跟进训练]
1．已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：
(1)相交；(2)平行；(3)重合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　两条直线垂直的判定
【例2】　【链接教材P95例3】
(1)l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直．
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断两直线垂直的方法
(1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2 _________判断．
(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2 _________判断．
(3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为_________方程再判断．
[跟进训练]
2．若直线ax＋(1－a)y＝3与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则a的值为________．
类型3　直线平行与垂直的综合应用
【例3】　如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t＞0．试判断四边形OPQR的形状．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
(变条件)将本例中的四个点，改为“A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)”，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判定几何图形形状的注意点
(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标．
(2)证明两直线平行时，仅仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况．
(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且确定不会产生其他的情况．
[跟进训练]
3．已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(2，7)，C(－3，4)，则△ABC为(　　)
A．锐角三角形　　 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　)
A．(4，1)　　　　 　　　 B．(1，4)
C．
2．(教材P96练习A T3改编)已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　)
A．－8　 B．0　 　　
C．2　　 　 D．10
3．已知直线l经过点(2，1)，且与直线2x－y＋1＝0垂直，则直线l的一般式方程为(　　)
A．x＋2y－4＝0 B．x＋2y＝0
C．2x－y－3＝0 D．4x－y＝0
4．已知点A(2，0)与B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a＝________，b＝________ ．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何判断两直线平行？
2．如何判断两直线垂直？
3．如何根据直线的位置关系求直线方程？
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