【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.2.4 点到直线的距离 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2.2.4　点到直线的距离
学习任务 1．掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题．(逻辑推理、数学运算) 2．会求两条平行直线之间的距离．(数学运算)
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P．
问题1　若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？
问题2　如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？
知识点1　点到直线的距离
(1)定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得_________的长度．
(2)公式：直线外一点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________．
应用点到直线的距离公式时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，则先化成一般式再用公式求解．
知识点2　两条平行直线之间的距离
(1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上_________到另一条直线的_________．
(2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．
(3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝________．
使用两条平行直线间的距离公式时，直线的方程必须是一般式，而且方程中x，y的系数分别对应相等，对于系数不同的方程，应先将系数化为相等后再求距离．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b． (　　)
(2)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为． (　　)
(3)两直线2x＋2y＝m与x＋y＝2n的距离为． (　　)
2．点(2，0)到直线x＋y＋2＝0的距离为(　　)
A． B．2
C．3　 D．4
3．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
4．两条平行直线5x＋12y－1＝0，5x＋12y－10＝0之间的距离为________．
类型1　点到直线的距离
【例1】　(源自北师大版教材例题)求点P(－2，1)到下列直线的距离：
(1)3x＋4y－1＝0；
(2)y＝2x＋3；
(3)2x＋5＝0．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为_________方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝_________或d＝_________．
[跟进训练]
1．(1)若O(0，0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________．
(2)已知点P(2，3)，点Q是直线l：3x＋4y＋2＝0上的动点，则|PQ|的最小值为_______ ．
类型2　两条平行线之间的距离
【例2】　【链接教材P100例2】
(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
(变条件)把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求两平行直线l1与l2间距离的两种方法
(1)公式法：当直线为l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2且b1≠b2时，d＝；
当直线为l1：Ax＋By＋C1＝0, l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝．但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
(2)转化法：将两平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
[跟进训练]
2．(1)已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)
A．4　　　　　　 B．
C．
(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是，则m＋n＝(　　)
A．0 B．1
C．－2 D．－1
类型3　距离公式的综合应用
【例3】　在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大．
[思路导引]　点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
(变条件)在本例中，求到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小的P点的坐标．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　距离公式综合应用的三种常用类型
(1)最值问题：①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．
(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
(3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
[跟进训练]
3．已知△ABC的顶点坐标为A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)
A．7　　 B．5　　　　
C．3　　　　 D．2
2．已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a＝(　　)
A．－3　 B．3或－3
C．－1或－3 D．1
3．直线6x＋8y－2＝0与6x＋8y－3＝0之间的距离为(　　)
A．1 B．3
C．
4．给出定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，则曲线C1：y＝x2＋2到直线l：y＝x的距离等于________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．怎样利用点到直线的距离公式求解距离问题？
2．应用两条平行直线间的距离公式时，有哪些注意事项？
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