【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.3 2.3.1 圆的标准方程 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2.3　圆及其方程
2.3.1　圆的标准方程
学习任务 1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象) 2．掌握点与圆的位置关系．(直观想象) 3．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算)
我们的祖先很早就掌握了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的洨河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座空腹式的圆弧形石拱桥．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍保存完好，被公认为是世界上最古老的拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？
知识点1　圆的定义
平面内到一定点的距离等于_________的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．
1．确定一个圆需要几个要素？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　圆的标准方程
方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点_________为圆心，_________为半径的圆的方程，称为圆的标准方程．
知识点3　点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d与r的大小关系 _________ _________ _________
2．若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆(x－1)2＋(y＋1)2＝22的圆心为(－1，1)． (　　)
(2)圆心为(2，－1)，半径为的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5． (　　)
(3)圆x2＋y2＝a2的半径为a． (　　)
2．圆心为点P(－2，3)，并且与x轴相切的圆的方程是(　　)
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
3．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外　　　　　 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
类型1　直接法求圆的标准方程
【例1】　(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1　　 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
[思路导引]　(1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程．
(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程．
　直接法求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程只需确定_________和_________，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出_________和_________，然后直接写出圆的标准方程．
[跟进训练]
1．已知两点P(3，4)，Q(－5，6)，求以PQ为直径的圆C的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　待定系数法与几何法求圆的标准方程
【例2】　(源自人教A版教材例题)已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程．
[思路导引]　设圆心C的坐标为(a，b)．由已知条件可知，|CA|＝|CB|，且a－b＋1＝0．由此可求出圆心坐标和半径．又因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求圆的标准方程的两种常用方法
一是待定系数法，由三个独立的条件建立关于_________的方程组，进而求得圆的方程，它是求圆的方程的常用方法．
二是几何法，常用到中点坐标公式，两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过_________”“两条弦的中垂线交点必为_________”等．
[跟进训练]
2．(源自北师大版教材例题)求经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　点与圆的位置关系的判定及应用
【例3】　已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则这个圆的标准方程为____________．
　判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)用点与圆心的距离和半径的大小进行比较并判断．
(2)将点的坐标代入圆的标准方程中的左式，比较左式的值与右式r2的大小进行判断．
[跟进训练]
3．若点(1，1)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，1)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1，1]
1．(教材P106练习A T1改编)以点(1，2)为圆心，且经过点(2，0)的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋y2＝5
B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝13
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝13
2．设A(2，－1)，B(4，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8
C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8
3．(多选题)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　　)
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．原点在圆M内部
C．圆M的半径为5
D．圆M被y轴截得的弦长为6
4．已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m一定表示圆吗？
2．如何求解圆的标准方程？
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