【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.3 2.3.2 圆的一般方程 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2.3.2　圆的一般方程
学习任务 1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(数学抽象) 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(数学运算、直观想象) 3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(数学运算)
钻石又名金刚石，提起它的大名，应该说很少有人会不知道，在大自然中，还有另一种与钻石成分一模一样，但用途却完全不同的物质——石墨．
钻石和石墨的成分都是碳，但是因为碳元素间的结构不同，决定了这一对孪生兄弟有了截然不同的命运．
数学上也有因为结构不同而造成“用途”不同的“物质”，如本节课要学习的圆的一般方程就是圆的方程的另外一种形式．
问题1：把圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝9中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？
问题2：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
知识点1　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0左边配方，并将常数项移到右边得
＋＝．
(1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为_____________，半径为____________的圆．
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点____________．
(3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
知识点2　圆的一般方程
(1)一般方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
1．圆的一般方程的特点是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．如何判断点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)圆的标准方程与一般方程可以互化． (　　)
(2)方程2x2＋2y2－3x＝0不是圆的一般方程． (　　)
(3)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程． (　　)
(4)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆． (　　)
2．已知m是实数，若方程x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0表示的曲线是圆，则m的取值范围为(　　)
A．(－∞，20)　　　 B．(－∞，5)
C．(5，＋∞) D．(20，＋∞)
3．过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为________．
类型1　求圆的一般方程
【例1】　【链接教材P107例1】
已知△ABC顶点的坐标为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求其外接圆的一般方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　关于圆的一般方程
(1)圆的一般方程更体现方程的特点，只要求出系数D，E，F即可；
(2)当已知圆上三个点时，求圆的一般方程比较简便．
提醒：如果由已知条件确定圆心和半径较容易，那么可以求圆的标准方程．
[跟进训练]
1．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　圆的一般方程的应用
【例2】　已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)所表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时的2种方法
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
提醒：应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
[跟进训练]
2．(源自北师大版教材例题)讨论方程λ(x2＋y2)＝(x－3)2＋y2表示的是怎样的图形．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　二元二次方程表示圆的条件
【例3】　已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是_______________________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
(变条件，变结论)判断方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0(a≠0)是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　二元二次方程表示圆的判断方法
二元二次方程中没有xy项，若x2，y2的系数相等且不为1时，先化系数为1，变为形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程．判断其是否表示圆时有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正，若D2＋E2－4F＞0，则方程表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方变成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
[跟进训练]
3．已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，求a的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1)　　　　 B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．
2．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为(　　)
A．，4 B．(3，2)，4
C．
3．原点O与圆：x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(04．经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的一般方程为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．圆的标准方程与一般方程有何区别与联系？
2．求圆的方程的基本思想是什么？
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