【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.3 2.3.3 直线与圆的位置关系 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2.3.3　直线与圆的位置关系
学习任务 1．理解直线与圆的三种位置关系．(直观想象) 2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(逻辑推理、数学运算) 3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(数学运算)
“大漠孤烟直，长河落日圆．”这是唐代诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面太阳落山的图片．
图片中，地平线与太阳的位置关系是怎样的？结合初中知识，总结直线与圆有哪几种位置关系．
知识点1　直线与圆的位置关系的判定
直线Ax＋By＋C＝0，AB≠0，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0．
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 _________个 _________个 _________个
判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离为d d_________r d_________r d_________r
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ_________0 Δ_________0 Δ_________0
(1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程解的个数，进一步判断两者的位置关系．
(2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离．
(3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，但较烦琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，也是判断直线与圆的位置关系的常用方法．
知识点2　直线与圆相切的几个重要结论
1．自一点引圆的切线的条数
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线．
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点．
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线．
2．切线方程的几个重要结论
(1)经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0．
3．切线长公式
(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长
d＝．
(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)
A．过圆心　　　　 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
2．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　 B．相交
C．相离 D．随a的变化而变化
3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　)
A．0或2 B．2
C． D．无解
4．从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2，3)向圆引切线，则切线长为________．
类型1　直线与圆位置关系的判定
【例1】　【链接教材P113例1】
已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断直线与圆的位置关系常用的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．dr _________．
(2)代数法：Δ＝b2－4ac
[跟进训练]
1．(1)若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A．－515
C．m<4或m>13 D．4(2)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
类型2　求圆的切线方程
【例2】　【链接教材P113例2】
(1)如图，已知M(x0，y0)为圆O：x2＋y2＝4上一点，求过点M的圆O的切线l的方程；
(2)求过点N(2，2)且与圆O：x2＋y2＝4相切的直线的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　关于圆的切线问题
(1)几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求未知量，进而求出切线方程；
(2)代数法：设出切线方程，与圆的方程联立，消元得到一元二次方程，利用Δ＝0求未知量，进而求切线方程．
提醒：(1)设切线方程时注意斜率是否存在；
(2)求过圆外一点的圆的切线时，若用代数法，消元得到的方程是一次方程，或用几何法求出的切线只有一条，则另一条切线的斜率是不存在的，可根据圆外点的坐标直接写出方程．
[跟进训练]
2．与直线y＝x＋3平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程为____________．
类型3　直线截圆所得弦长问题
【例3】　直线l经过点P(5，5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
(变条件)直线l经过点P(2，－1)且被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　直线与圆相交时弦长的2种求法
(1)几何法：如图(1)，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2，则|AB|＝2．
(2)代数法：如图(2)所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)．
[跟进训练]
3．(源自人教A版教材例题)已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(教材P115练习A T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
2．过点P(－2，3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－2y－3＝0相切，则直线l的方程是(　　)
A．x＝－2或x－2y＋8＝0
B．x－2y＋8＝0
C．x＝－2或2x＋y＋1＝0
D．2x＋y＋1＝0
3．若圆C：(x－5)2＋(y＋1)2＝m(m＞0)上有且只有一点到直线4x＋3y－2＝0的距离为1，则实数m的值为(　　)
A．4　 B．16　 　　
C．4或16　　 D．2或4
4．圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法？
2．利用代数法判断直线与圆的位置关系时需要注意什么问题？
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