【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.3 2.3.4 圆与圆的位置关系 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2.3.4　圆与圆的位置关系
学习 任务 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(直观想象) 2．了解两圆相离、相交或相切时一些简单的几何性质的应用．(数学运算) 3．掌握利用圆的对称性灵活解决问题的方法．(数学运算)
如图为某地拍到的日环食全过程．
日环食变化这一过程也可以用两个圆来表示．
根据上图，结合平面几何的相关知识，思考圆与圆的位置关系有几种，能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系．
知识点1　圆与圆的位置关系及判断
位置关系 相离 相交 相切
外离 内含 外切 内切
图示
交点个数 _________ _________ _________ _________ _________
判定 方法 几何法 d＞r1＋r2 d＜|r1－r2| |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝r1＋r2 d＝|r1－r2|
代数法 Δ＜0 Δ＜0 Δ＞0 Δ＝0 Δ＝0
说明：d为两圆的圆心距，r1，r2分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消去一个未知数后的一元二次方程的根的判别式．
知识点2　两圆的公切线
同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线．当两圆的位置关系不同时，公切线的条数也不同．具体情况如下表：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
切线图示
切线条数 _________ _________ _________ _________ _________
当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． (　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． (　　)
2．圆A：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4与圆B：(x－1)2＋(y－3)2＝4的位置关系是(　　)
A．相交 B．外离　　
C．外切　　 D．内含
3．圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的公切线有(　　)
A．2条 B．3条
C．4条 D．1条
类型1　两圆位置关系的判定及应用
【例1】　【链接教材P119例1】
已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则m为何值时：
(1)圆C1和圆C2外切？
(2)圆C1与圆C2内含？
[思路导引]　→→
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　关于圆与圆位置关系的判断
(1)代数法：当两个圆的一般方程比较容易消元，可以消元后利用_________判断方程根的个数，进而判断两圆的位置关系；
(2)几何法：判断圆与圆位置关系的主要方法，利用_________和半径的关系进行判断．
[跟进训练]
1．(1)圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0和圆C2：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　)
A．外离　 B．相交　　　
C．外切　　　 D．内含
(2)已知圆O1的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝4，圆O2的方程为x2＋(y－b＋1)2＝1，其中a，b∈R，那么这两个圆的位置关系不可能为(　　)
A．外离 B．外切
C．内含 D．内切
(3)已知圆C1：x2＋(y－a2)2＝a4的圆心到直线x－y－2＝0的距离为2，则圆C1与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的位置关系是(　　)
A．相交 B．内切
C．外切 D．相离
类型2　两圆相交的有关问题
【例2】　已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求弦AB的长．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．
(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
[跟进训练]
2．(1)圆O1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆O2：x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是______________．
(2)若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2－6x－8y－m＝0相切，则m的值为________．
类型3　利用圆与圆的位置关系求圆的方程
【例3】　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．(变条件)将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变条件，变结论)将本例改为“若圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切，试求实数m的值．”
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　处理两圆相切问题的步骤
(1)定型，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切、外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
[跟进训练]
3．已知圆C的圆心为(2，1)，若圆C与圆M：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，则圆C的方程为________．
1．已知两圆的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则两圆的位置关系为(　　)
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切
2．(教材P120练习B T4改编)圆C1：x2＋y2－2x－3＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－2y＋1＝0的公共弦所在直线的方程为(　　)
A．3x＋y＋1＝0 B．3x－y＋1＝0
C．3x＋y＋2＝0 D．3x－y＋2＝0
3．两圆x2＋(y－2)2＝1和(x＋2)2＋(y＋1)2＝16的公切线条数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知两圆相交于点A(1，3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用几何法判断圆与圆的位置关系？
2．如何求两圆的公共弦长？
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