【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.5 2.5.1 椭圆的标准方程 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2．5　椭圆及其方程
2．5.1　椭圆的标准方程
学习任务 1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(数学抽象) 2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(数学运算) 3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(逻辑推理、数学运算)
2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．10月26日17时46分，神舟十七号载人飞船与中国空间站核心舱前向端口完成自主快速交会对接，形成三舱三船组合体，继续开展空间科学实验和技术试验．神舟十七号载人飞船的成功发射标志着我国航天事业又上一个新台阶．神舟十七号载人飞船入轨的运行轨道是椭圆形的．
问题：请你在平面内固定两个图钉，拉一根无弹性的细绳，两端系在图钉上(如图)，用铅笔抵住细绳并上下左右转动，看铅笔留的轨迹是否是椭圆？
知识点1　椭圆的定义
(1)定义：如果F1，F2是平面内的两个____，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足____________________的动点P的轨迹称为椭圆．
(2)相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的____，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的____．
1．定义中的常数不满足2a>|F1F2|时点的轨迹是什么？
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知识点2　椭圆的标准方程
焦点位置 在x轴上 在y轴上
标准方程 (a>b>0) (a>b>0)
图形
焦点坐标 (±c，0) (0，±c)
a，b，c的关系 a2＝______
2．根据椭圆方程，如何确定焦点位置？
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1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． (　　)
(2)椭圆＝1的焦点坐标是(3，0)与(－3，0)． (　　)
(3)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆． (　　)
2．(多选题)椭圆＝1的焦距为4，则m的可能取值为(　　)
A．9　　　B．12　　　C．17　　　D．20
3．椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________．
类型1　求椭圆的标准方程
【例1】　【链接教材P132例1】
根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26．
(2)经过点P，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上．
(3)过(－3，2)且与＝1有相同的焦点．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能．
(2)设方程：
①依据上述判断设方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)．
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点．
(2)经过两点．
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类型2　利用椭圆定义解决焦点三角形问题
【例2】　设P是椭圆＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变条件)将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“∠F1PF2＝30°”，其余条件不变，求△F1PF2的面积．
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2．(变条件)将椭圆的方程改为“＝1”，其余条件不变，求△F1PF2的面积．
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　焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c．
(2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝cos ∠F1PF2．
(3)设P(xP，yP)，则焦点三角形的面积＝sin ∠F1PF2＝b2·．
[跟进训练]
2．已知F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．
类型3　与椭圆有关的轨迹问题
【例3】　如图，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　求解与椭圆相关的轨迹问题的方法
[跟进训练]
3．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．
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1．(多选题)下列命题是真命题的是(　　)
A．已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆
B．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段
C．到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆
2．已知曲线C：＝1，则“a＞0”是“曲线C是椭圆”的(　　)
A．充要条件　　　　 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 　 D．既不充分也不必要条件
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
4．已知椭圆＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面内到两个定点F1，F2的距离之和为常数的动点M的轨迹一定是椭圆吗？
2．如何判断椭圆的焦点位置？
3．椭圆标准方程中，a，b，c三个量的关系是什么？
截口曲线——椭圆
如图(1)，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．那么，为什么截口曲线是椭圆呢？
历史上，许多人从纯几何角度出发对这个问题进行过研究，其中数学家Germinal Dandelin的方法非常巧妙．
在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切．两个球分别与截面相切于点E，F，在截口曲线上任取一点A，过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点C，B．由球和圆的几何性质，可以知道AE＝AC，AF＝AB，于是AE＋AF＝AB＋AC＝BC．
由切点B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值．这样，截口曲线上任意一点A到两个定点E，F的距离之和为常数．
由椭圆的定义可知，截口曲线是椭圆．
Germinal Dandelin的方法非常巧妙，极具创造性．看完他的方法后，你有什么体会吗？
如图(2)，用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线．你能仿照上述方法，证明圆柱的截口曲线也是椭圆吗？
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