【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.5 2.5.2 椭圆的几何性质 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2．5.2　椭圆的几何性质
学习任务 1．根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确画出它的图形．(直观想象) 2．根据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆的方程研究它的性质、图形．(数学运算、逻辑推理)
奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处．当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)，所以能产生很好的听觉效果．其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？
知识点1　椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
图形
对称性 对称轴为________，对称中心为________
范围 x∈__________，y∈__________ x∈__________，y∈__________
顶点 __________________________________________________ __________________________________________________
轴长 短轴|B1B2|＝__，长轴|A1A2|＝__
焦点 ________________________ ________________________
焦距 |F1F2|＝__
离心率 e＝(01．椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？
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知识点2　椭圆离心率e的几何意义
椭圆离心率的意义：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度．
当e越趋近于1时，c越趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；
当e越趋近于0时，c越趋近于0，从而b＝越趋近于a，因此椭圆越接近于圆；
当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程变为x2＋y2＝a2．
2．或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？
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1．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为(　　)
A．　 　　B．　　　C．　 　　D．
2．椭圆＝1的焦点坐标是________，顶点坐标是________．
3．经过点P(－3，0)，Q(0，－2)的椭圆的标准方程为________．
4．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＝1的形状，则________更扁(填序号)．
类型1　利用椭圆的标准方程研究其几何性质
【例1】　【链接教材P138例1】
求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
[跟进训练]
1．已知椭圆E：＝1(m＞10)的离心率为，则椭圆E的长轴长为(　　)
A．　 　B．2　 　C．2　 　D．4
类型2　利用几何性质求椭圆的标准方程
【例2】　在①离心率e＝，②椭圆C过点③△PF1F2面积的最大值为这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，并作答．
问题：设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知椭圆C的短轴长为2，_____________，求椭圆C的标准方程．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
提醒：在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
[跟进训练]
2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＋x2＝1 　 D．＋y2＝1
类型3　求椭圆的离心率
【例3】　已知F1，F2是椭圆在x轴上的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变条件)本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”，如何求椭圆的离心率？
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2．(变条件)将“若△ABF2是正三角形”换成“且A点的纵坐标等于短半轴长的”，求椭圆的离心率．
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　求椭圆离心率及范围的方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝______求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的________或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
[跟进训练]
3．一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近(远)的一点称作近(远)地点，近(远)地点与地球表面的距离称为近(远)地点高度．已知某航天舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约是351 km，远地点高度大约是385 km，地球半径约6 400 km，则该轨道的离心率为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
1．椭圆x2＋2y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(±1，0)　　 B．(0，±1)
C． 　 D．
2．与椭圆＝1有相同焦点，且满足半短轴长为 的椭圆方程是(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
3．已知椭圆C：＝1的焦距是2，则离心率e的值是(　　)
A． 　 B．或
C．或 　 D．或
4．已知以坐标原点为中心的椭圆，其右焦点为F(2，0)，给出下列四个条件：①半短轴长为2；②半长轴长为2；③离心率为；④一个顶点坐标为(3，0)，选择其中一个条件，可求得椭圆的标准方程为＝1的有________(填序号)．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？
2．a，b，c对椭圆形状有何影响？
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