【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.6 2.6.1 双曲线的标准方程 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2．6　双曲线及其方程
2．6.1　双曲线的标准方程
学习任务 1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．(数学抽象) 2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(数学运算) 3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(逻辑推理、数学运算)
前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线．它的形状在现实中很常见，如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？为什么建成这样的双曲线形冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容．
知识点1　双曲线的定义
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a__|F1F2|，则平面上满足________________________的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的____，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距．
1．(1)如何理解双曲线定义中的“绝对值”？
(2)把“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或“常数为0”，结果如何？
[提示]　(1)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．
(2)①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．③若将“小于|F1F2|”改为“常数为0”，其余条件不变，则动点轨迹是线段F1F2的中垂线．
知识点2　双曲线的标准方程
焦点所在 的坐标轴 x轴 y轴
标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0)
图形
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系式 c2＝______
2．如何确定双曲线标准方程的类型？
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1．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
2．动点P到点M(1，0)及点N(5，0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是(　　)
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
3．双曲线－y2＝1的焦距为(　　)
A．4　　　B．8　　　C．　　　D．2
4．(1)若双曲线方程为＝1，则其焦点在___________轴上，焦点坐标为________．
(2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为________．
类型1　求双曲线的标准方程
【例1】　【链接教材P146例1】
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
[尝试解答]___________________________________________________________
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(2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点；
(3)过点P且焦点在坐标轴上．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　用待定系数法求双曲线的标准方程的一般步骤
[跟进训练]
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(2)经过点P1和P2两点．
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类型2　双曲线标准方程的识别
【例2】　给出曲线方程＝1．
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　方程表示双曲线的条件
(1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
[跟进训练]
2．已知方程＝1．
(1)若方程表示双曲线，求实数a的取值范围；
(2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点．
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类型3　双曲线定义的应用
【例3】　已知F1，F2分别是双曲线＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32．试求△F1PF2的面积．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变条件)若本例中的标准方程不变，点P是双曲线上的一点，且＝0，求△PF1F2的面积．
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2．(变条件)若把本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”换成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，试求△F1PF2的面积．
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　求双曲线中的焦点三角形面积的方法
(1)利用公式求面积．
(2)当焦点在x轴上时，利用公式(yP表示点P的纵坐标)．
当焦点在y轴上时，利用公式(xP表示点P的横坐标)．
重要结论：若∠F1PF2＝θ，则．
[跟进训练]
3．如图，已知双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．
1．(教材P148练习A T5改编)在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是(　　)
A．＝1　　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1或＝1
2．若方程＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是(　　)
A．(1，2) 　 B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) 　 D．(－2，2)
3．已知双曲线的一个焦点为点P是双曲线上的一点，若＝9，则|PF2|＝________．
4．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为_____________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值？
2．若点M在双曲线上，一定有||MF1|－|MF2||＝2a吗？
3．双曲线与椭圆中，a，b，c满足的关系式相同吗？
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