【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.6 2.6.2 双曲线的几何性质 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2．6.2　双曲线的几何性质
学习任务 1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．(直观想象) 2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象) 3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(数学运算)
我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四个顶点，离心率的范围是(0，1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度．双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！
知识点1　双曲线的几何性质
标准 方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0)
性质 图形
焦点 ____________________ ____________________
焦距 __
范围 ______或____，y∈_ ______或____，x∈_
性质 对称性 对称轴：______；对称中心：____
顶点 ________________________ ________________________
轴 实轴：线段____，长：__； 虚轴：线段____，长：__
离心率 e＝∈___________
渐近线
1．能否用a，b表示双曲线的离心率？
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2．双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线斜率的绝对值与离心率e有何关系？双曲线的离心率e的几何意义是什么？
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知识点2　等轴双曲线
实轴长与虚轴长____的双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线方程是______，离心率e＝．
等轴双曲线方程的特征是a＝b，则等轴双曲线的方程可以设为x2－y2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝． (　　)
(2)双曲线＝1与＝1(a＞0，b＞0)的形状相同． (　　)
2．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是(　　)
A．＝1　　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
3．已知双曲线的方程为＝1，则该双曲线的离心率e等于________．
类型1　根据双曲线的方程研究其几何性质
【例1】　【链接教材P153例1】
求双曲线＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]　(变条件)若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
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　由双曲线方程研究其几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键．
(2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程．
(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为半虚轴长．
(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．如过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝．
(5)双曲线中c2＝a2＋b2，易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆．
[跟进训练]
1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
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类型2　由双曲线的几何性质确定标准方程
【例2】　求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
[思路导引]　
[尝试解答]___________________________________________________________
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　利用双曲线的几何性质求方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)几种特殊的双曲线方程的设法：
①已知渐近线方程
渐近线方程为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0)；
渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线的方程可设为_____________________．
②共渐近线(离心率)的方程
与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线(离心率)的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0)；
与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线(离心率)的双曲线方程可设为___________．
③与双曲线＝1共焦点的双曲线方程可设为________________________．
[跟进训练]
2．求符合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，中心为坐标原点，焦距为6，实轴长为4；
(2)焦点在x轴上，中心为坐标原点，渐近线方程为y＝±x，且过点．
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类型3　求双曲线离心率的值或取值范围
【例3】　已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，求E的离心率．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]
(变条件)设F1，F2是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2且∠PF1F2＝30°，求C的离心率．
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　求双曲线离心率的方法
(1)利用a，b求．若已知a，b，则直接利用e＝得解．
(2)利用a，c求．若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(3)利用方程求．若得到的是关于a，c的齐次方程，即p·c2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程p·e2＋q·e＋r＝0求解．
[跟进训练]
3．已知双曲线＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
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类型4　求双曲线的渐近线方程
【例4】　如图，已知F1，F2为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为______________．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　双曲线＝1的渐近线方程为y＝，双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
[跟进训练]
4．双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　 B．y＝±x
C．y＝±x 　 D．y＝±x
1．已知双曲线的方程为＝1，则下列关于双曲线说法正确的是(　　)
A．虚轴长为4
B．焦距为2
C．离心率为
D．渐近线方程为2x±3y＝0
2．已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4　　 B．3
C．2 　 D．
3．写出一个渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程：________．
4．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用几何图形解释c2＝a2＋b2？a，b，c在双曲线中分别表示哪些线段的长？
2．双曲线的渐近线确定时，其标准方程能确定吗？
3．双曲线的焦点到渐近线的距离是否为定值？
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