【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.7 2.7.1 抛物线的标准方程 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2．7　抛物线及其方程
2．7.1　抛物线的标准方程
学习任务 1．理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(数学抽象、直观想象) 2．掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(逻辑推理、数学运算) 3．会求抛物线的标准方程．(数学运算)
在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——迫击炮，迫击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防范．对于躲在战壕中的敌人，迫击炮的密集发射无疑是一场灾难，因此研究抛物线是很有必要的．这节课我们就要“走入”抛物线，看一看迫击炮的弹道曲线．
知识点1　抛物线的定义
一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离____的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的____，定直线l称为抛物线的____．
1．定义中为什么要求直线l不经过点F
知识点2　抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
_______________ x＝－
_________________ x＝
_______________ y＝－
_________________ y＝
2．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
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1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离． (　　)
(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定． (　　)
(3)抛物线的方程都是二次函数． (　　)
(4)准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是x2＝－16y． (　　)
2．到定点F(1，－1)的距离与到定直线3x－2y－5＝0的距离相等的点P的轨迹是(　　)
A．抛物线　　 B．椭圆
C．双曲线的一支 　 D．直线
3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是____________．
类型1　求抛物线的标准方程
【例1】　求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点M(－6，6)；
[尝试解答]___________________________________________________________
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(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型．
(2)求参数p的值．
(3)确定抛物线的标准方程．
提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
[跟进训练]
1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点P到焦点的距离为6，求抛物线的标准方程．
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类型2　抛物线定义的应用
【例2】　若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大．求点M的轨迹方程．
[尝试解答]___________________________________________________________
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[母题探究]
1．(变条件，变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．
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2．(变条件，变问法)若本例中增加一点A(3，2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．
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　抛物线定义的应用
(1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[跟进训练]
2．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　)
A．6　　　B．9　　　C．12　　　D．14
类型3　抛物线的实际应用
【例3】　苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图(1)所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形．图(2)是“东方之门”的示意图．已知|CD|＝30 m，|AB|＝60 m，点D到直线AB的距离为150 m，则此抛物线顶端O到AB的距离为(　　)
A．180 m 　 B．200 m
C．220 m 　 D．240 m
[尝试解答]___________________________________________________________
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　求抛物线实际应用问题的步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)设出合适的抛物线方程．
(3)通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求出需要求出的量．
(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．
[跟进训练]
3．(源自人教A版教材例题)一种卫星接收天线如图(1)所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图(2)．已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
　
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1．过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　)
A．圆　　　　　　　 B．椭圆
C．直线 　 D．抛物线
2．(教材P162练习B T2改编)抛物线y＝x2的焦点坐标是(　　)
A．(1，0) 　 B．(0，1)
C．(2，0) 　 D．(0，2)
3．已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2　　　 B．3
C．6　　　 D．9
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何看待抛物线中焦点和准线的位置？
2．抛物线方程中参数p的几何意义是什么？
3．将四种不同位置的抛物线的标准方程进行对比，它们之间有何相同点？有何不同点？
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