【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.7 2.7.2 抛物线的几何性质 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2．7.2　抛物线的几何性质
学习任务 1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(直观想象) 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(数学运算) 3．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识．(数学运算)
如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点．应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质．
知识点1　抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
图形
性质 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R x∈R， y≥0 x∈R， y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 ________
离心率 e＝_
1．抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有哪些不同？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2．过抛物线焦点F且垂直于对称轴的线段有什么特征？参数p对抛物线开口大小有什么影响？
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
知识点2　焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
y2＝2px(p＞0) |AB|＝_________
y2＝－2px(p＞0) |AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p＞0) |AB|＝_________
x2＝－2py(p＞0) |AB|＝p－(y1＋y2)
[拓展]　焦点弦的几何性质
如图，已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，点F是抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ，过A，B分别作准线l的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，M(x0，y0)为AB的中点，MM′⊥CD于点M′，N为准线l与x轴的交点，可以证明以下结论：
(1)A，O，D三点共线，且B，O，C三点共线．
(2)AM′⊥BM′，CF⊥DF，M′F⊥AB．
(3)以AB为直径的圆与准线相切(切点为M′)，
以CD为直径的圆与AB相切(切点为F)，
以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(4)∠ANF＝∠BNF．
(5)|AF|＝＝．
(6)|AB|＝x1＋x2＋p＝2．
(7)y1y2＝－p2，x1x2＝＝．
(8)kOA·kOB＝－4，p2．
(9)．
(10)S△AOB＝．
(11)焦点弦长|AB|＝2p．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)抛物线y2＝2px(p>0)的p越大，抛物线的开口越小． (　　)
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切． (　　)
(3)过抛物线y2＝2px的焦点作与对称轴垂直的直线，与抛物线交于A，B两点，则|AB|＝2p． (　　)
2．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
A．(6，＋∞)　　 B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) 　 D．[3，＋∞)
3．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为__________ ．
4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________．
类型1　由抛物线的几何性质求标准方程
【例1】　【链接教材P164例1】
若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝＝3，求此抛物线的标准方程．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　利用抛物线性质求方程
(1)首先利用抛物线的定义、对称性等进行转化，得到系数或坐标的关系；
(2)利用求出的系数或者列出相应的方程(组)求出系数后写方程．
提醒：焦点在x轴上的抛物线可以设为y2＝mx(m≠0)；焦点在y轴上的抛物线可以设为x2＝my(m≠0)．
[跟进训练]
1．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
类型2　抛物线的最值问题
【例2】　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[母题探究]
(变条件)若将本例条件中的点(0，2)改为点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　抛物线的最值问题
在抛物线中求解与焦点有关的距离和的最小值时，往往用____________进行转化，常常转化为两点间的距离、点到直线的距离解决最值问题．
[跟进训练]
2．设点A的坐标为，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
类型3　焦点弦问题
【例3】　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝，求AB所在直线的方程．
[尝试解答]___________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[母题探究]
1．(变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2．(变条件)本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　关于抛物线的焦点弦问题
(1)以抛物线y2＝2px(p>0)为例，若过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，点P(x0，y0)是抛物线上任意一点，
①焦半径：|PF|＝x0＋；
②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p．
(2)把直线方程与抛物线方程联立，消元得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1＋x2，代入弦长公式即可求出弦长．
[跟进训练]
3．(源自人教A版教材例题)斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．已知过抛物线y2＝ax(a＞0)的焦点且垂直于x轴的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A．4　　 　B．2　　 　C．1　　 　D．0
2．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若，则＝(　　)
A．2 　 B．2
C．3 　 D．3
3．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．
4．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4＝，则C的焦点到准线的距离为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何理解抛物线的几何性质？
2．怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向？
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线
我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线．经过本节的学习我们知道，抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．因此，只要能说明二次函数的图象符合抛物线的几何特征，就解决了为什么二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线的问题．由抛物线与其方程之间的关系可知，如果能用适当的方式将y＝ax2＋bx＋c转化为抛物线标准方程的形式，那么就可以说明二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线．
按照这种思路，我们对y＝ax2＋bx＋c的右边配方，得y＝a．
由函数图象平移的性质可以知道，沿向量m＝平移函数y＝a的图象(如图)，除了位置外，函数图象不发生任何变化．平移后的图象对应的函数解析式为y＝ax2，即x2＝y，这个方程表示的曲线是顶点为原点，焦点为的抛物线．
因此，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．
8 / 8