【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

2．8　直线与圆锥曲线的位置关系
学习任务 1．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(逻辑推理) 2．会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．(数学运算)
激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)．假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星，就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题．
知识点1　直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0．
方程特征 交点个数 位置关系
直线 与 椭圆 a≠0，Δ＞0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ＜0 0 相离
直线 与双 曲线 a＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交
a≠0，Δ＞0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ＜0 0 相离
直线 与抛 物线 a＝0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交
a≠0，Δ＞0 2 相交
a≠0，Δ＝0 1 相切
a≠0，Δ＜0 0 相离
直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？
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知识点2　圆锥曲线的弦及弦长公式
1．圆锥曲线的弦
一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段．
2．求圆锥曲线的弦长
若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则求弦长|AB|的常用方法有：
(1)交点法：联立直线l与圆锥曲线C的方程，求出两交点A，B的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长，即|AB|＝．
(2)弦长公式法：若直线l的斜率k存在，则|AB|＝＝＝＝(k≠0)；
若直线l的斜率不存在，则|AB|＝|y1－y2|＝．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线x＝2与椭圆＋y2＝1相切． (　　)
(2)一条直线与双曲线两支的交点个数最多为2． (　　)
(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件． (　　)
2．直线y＝x＋1与椭圆＝1的位置关系是(　　)
A．相交　　 B．相切
C．相离 　 D．相切或相交
3．直线y＝x＋3与双曲线＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　)
A．1　　 　 B．2
C．1或2　　 　 D．0
4．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于(　　)
A．　　B．　　C．2　　D．2
类型1　直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用
【例1】　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
[思路导引]　要研究直线与双曲线的公共点个数，通常需联立直线与双曲线的方程，并对方程组解的个数进行讨论．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　关于直线与圆锥曲线的交点个数判断
(1)代数法：直线与圆锥曲线的方程____、消元，
①如果得到的是一元二次方程，则利用_判断方程根的个数，即直线与圆锥曲线交点的个数；
②如果得到的是一元一次方程，则表示直线与双曲线的渐近线____，或直线与抛物线的______平行(或重合)，此时直线与圆锥曲线有__个交点．
(2)几何法：一般适用直线与双曲线的位置关系，可以判断直线的斜率与__________的大小，结合图象可以判断直线与双曲线的交点个数．
提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．
[跟进训练]
1．设双曲线Γ的方程为x2－＝1．设l是经过点M(1，1)的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程．
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类型2　弦长问题及中点弦问题
【例2】　椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
[思路导引]　本题有两种解法．一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”．二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a，b的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　1．直线与圆锥曲线相交时弦长的求法
(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．(客观题常用)
(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(不常用)
(3)弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系求解．(常用方法)
2．中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系法：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
[跟进训练]
2．已知直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______________________．
类型3　圆锥曲线中的最值及范围问题
【例3】　已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为，其中一条渐近线的方程为x－y＝0．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点P为椭圆E的左顶点，，求＋
[尝试解答]___________________________________________________________
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　求圆锥曲线中参数的范围或最值常用方法
(1)求参数范围的方法
根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围．
(2)求最值问题的方法
①几何法
题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决．
②代数法
题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法、单调性法等．
[跟进训练]
3．(多选题)已知P(x，y)为曲线x＝2上一动点，则(　　)
A．的最小值为2
B．P到直线y＝－x－2的距离的最小值为
C．的最小值为6
D．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
类型4　圆锥曲线中的定值、定点问题
【例4】　设椭圆E：＋y2＝1(a＞1)的右焦点为F，右顶点为A，且，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率．
(1)求E的方程；
(2)设过F且斜率不为零的直线l与E交于M，N两点，过M作直线m：x＝a2的垂线，垂足为M1，证明：直线M1N恒过一定点，并求出该定点的坐标．
[尝试解答]___________________________________________________________
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　(1)动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．
(2)动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
[跟进训练]
4．已知抛物线G：y2＝4x的焦点与椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点F重合，椭圆E的长轴长为4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F且斜率为k的直线l交椭圆E于A，B两点，交抛物线G于M，N两点，请问是否存在实常数t，使为定值？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
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1．直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则k的值是(　　)
A．　　　　 B．－
C．± 　 D．±
2．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是(　　)
A．x－4y－3＝0 　 B．x＋4y＋3＝0
C．4x＋y－3＝0 　 D．4x＋y＋3＝0
3．直线l过定点(2，1)，且与双曲线－y2＝1有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为________．
4．过椭圆＝1的焦点F的弦中最短弦长是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．解决直线与圆锥曲线位置关系时需要注意什么问题？
2．如何处理与弦中点有关的问题？
3．如何求解圆锥曲线中的定值、定点问题？
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