【学霸笔记：同步精讲】第二章 探究课3 直线系方程及其应用 讲义--2026版高中数学人教B版选必修1

　直线系方程及其应用
1．平行直线系方程
(1)斜率为k的直线系方程为y＝kx＋b(k为常数，b为参数)．
(2)与定直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，λ≠C)．
(3)过点P(x0，y0)，且平行于直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(Ax0＋By0＋C≠0)．
2．垂直直线系方程
(1)与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线系方程为y＝－x＋m(m为参数)．
(2)与定直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)．
(3)过点P(x0，y0)，且垂直于直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的直线方程为B(x－x0)－A(y－y0)＝0．
3．过两条直线交点(定点)的直线系方程
设两条不平行的直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，我们将直线l：m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中m，n为参数，且m2＋n2≠0)称为经过直线l1与l2交点(定点)的直线系方程．当m＝1，n＝0时，此方程即为直线l1的方程；当m＝0，n＝1时，此方程即为直线l2的方程．
过两条直线交点(定点)的直线系方程又可以表示为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，此时该直线系不含直线l2．
【典例1】　(1)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线l1的方程是____________．
(2)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线l2的方程是____________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例2】　无论m取何值，直线(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)是否恒过一定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且在y轴上的截距的绝对值为5的直线的方程是(　　)
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
2．过直线2x－y＋4＝0与直线x＋y＋5＝0的交点，且与直线x－2y＝0垂直的直线的方程是__________．
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