课时分层作业(四) 空间中的点、直线与空间向量
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共110分
一、选择题
1．已知点A(2，3，4)，B(1，2，1)，＝3，且O为坐标原点，则C点的坐标为( )
A．(6，8，9) B．(6，9，12)
C．(7，11，13) D．(－7，－11，－13)
2．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝15
C．x＝，y＝ D．x＝6，y＝
3．(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(3，2，5)，B(－1，1，9)，则与垂直的向量的坐标可以为( )
A．(1，2，4) B．(1，4，2)
C．(2，－4，－1) D．(－2，4，－1)
4．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2，则异面直线BC与AE所成的角的大小为( )
A． B．
C． D．
5．(多选题)已知a＝(1，－1，1)是直线l1的一个方向向量，b＝(2，2，－2)是直线l2的一个方向向量，则下列说法正确的是( )
A．a·b＝－2
B．l1∥l2
C．l1⊥l2
D．直线l1，l2夹角的余弦值为
二、填空题
6．已知异面直线m，n的方向向量分别为a＝(2，－1，1)，b＝(1，λ，1)，若异面直线m，n所成角的余弦值为，则λ的值为__________．
7．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，设异面直线AD与BE所成的角为θ，且cos θ＝，则该四面体的体积为__________．
8．设l1的一个方向向量a＝(1，3，－2)，l2的一个方向向量b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m＝_____，l3的一个方向向量c＝(1，3，n)，若l1∥l3，则n＝________.
三、解答题
9．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点M，N分别在线段PB，DC上(不与端点重合)，且满足＝λ＝λ，其中λ>0.是否存在实数λ，使MN是PB，DC的公垂线段？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
10．(教材P37练习B T3改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A． B． C． D．
11．(多选题)已知空间中的四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)，D(－1，3，4)，下列说法中正确的有( )
A．⊥ B．AB∥CD
C．A，B，C三点共线 D．A，B，C，D四点共面
12．△ABC的三个顶点分别是A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD长为__________.
13．在棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是__________，线段EF的长度为__________.
14．在①()⊥()，②||＝，③0
问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为(0，0，2)，E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，__________，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
15．如图，在棱长为2的正方体AC1中，点E，F分别是BC，C1D1的中点，点G在AB上，AB＝3BG.
(1)已知上底面A1C1内一点H满足GH∥EF，求A1H的长．
(2)棱A1D1上是否存在一点K，使得GK，EF共面？若存在，求A1K的长；若不存在，请说明理由．
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1．C [设C(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)，＝(2，3，4)，所以3＝(6，9，12)．由，
得所以C(7，11，13)．]
2．D [由题意可知a∥b，显然x≠0，y≠0，所以，解得x＝6，y＝]
3．BD [＝(－4，－1，4)，设a＝(x，y，z)与垂直，则有·a＝0，
即有－4x－y＋4z＝0，由选项可知：只有BD满足上式．故选BD．]
4．A [如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，E(1，，1)，所以＝(1，，1)，＝(0，2，0)．设的夹角为θ，则cos θ＝，故异面直线BC与AE所成的角为]
5．AD [因为向量a＝(1，－1，1)是直线l1的一个方向向量，b＝(2，2，－2)是直线l2的一个方向向量，a·b＝(1，－1，1)·(2，2，－2)＝1×2＋(－1)×2＋1×(－2)＝－2，所以A正确；设a＝λb，可得(1，－1，1)＝λ(2，2，－2)，则此时方程组无解，所以B不正确；因为a·b＝－2，所以l1与l2不垂直，所以C不正确；由a·b＝－2，可得|cos|＝，所以D正确．]
6 [由题意知，|cos|＝，两边平方并化简，得6λ＝7，
解得λ＝]
7 [以B为原点，BC，BA，BD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a(a>0)，则B(0，0，0)，A(0，1，0)，E，D(0，0，a)，
∴＝(0，－1，a)，，
∴cos θ＝＝，
∴a＝2(负值舍去)，
∴该四面体的体积为××1×1×2＝]
8 －2 [若l1⊥l2，则a·b＝0，
即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，
所以2m＝9－4＝5，即m＝
若l1∥l3，则，解得n＝－2．]
9．解：以点A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0，0，1)，B(1，0，0)，D(0，，0)，C(1，，0)．
假设存在满足条件的实数λ．
因为＝(－1，0，1)，＝(1，0，0)，
所以，
，
所以M，N，
所以
当MN是PB，DC的公垂线段时，此时方程组无解，即假设不成立，所以不存在满足条件的实数λ．
10．D [以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则B(0，0，2)，P(1，1，0)，D1(2，2，0)，A(0，2，2)，＝(－1，－1，2)，＝(2，0，－2)．设直线PB与AD1所成的角为θ，则cos θ＝因为θ∈，
所以θ＝，故选D．]
11．ABD [易知＝(－1，0，2)，＝(0，2，0)，＝(－2，2，4)，＝(－1，0，2)，＝(－1，2，2)．
因为＝0，所以⊥，故选项A正确；
因为，所以AB∥CD，故选项B正确；
因为≠λ，所以A，B，C三点不共线，故选项C错误；
易知当时，A，B，C，D共面，
即(－1，2，2)＝λ(－1，0，2)＋μ(－2，2，4)，
所以(－1，2，2)＝(－λ－2μ，2μ，2λ＋4μ)，
所以
所以，所以A，B，C，D共面，故选项D正确．
故选ABD．]
12．5 [因为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，所以＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)．
因为点D在直线AC上，所以设＝(0，4λ，－3λ)，由此可得＝(0，4λ，－3λ)－(4，－5，0)＝(－4，4λ＋5，－3λ)．又因为⊥，
所以＝－4×0＋(4λ＋5)×4＋(－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝－
因此＝(－4，4λ＋5，－3λ)＝，
可得|＝5．]
13a [设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个基底，
所以|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝b·c＝c·a＝a·a·cos 60°＝a2．
因为(a＋b)－c，
所以a2＋a·b－a·c＝a2＝a2，
|＝
＝a，
所以cos<，
所以异面直线EF与AB所成的角为]
14．解：由题意得，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，
则A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，C(0，2，0)．
设E(0，a，2)(0≤a≤2)，F(b，2，2)(0≤b≤2)，
则＝(b，2－a，0)，＝(－2，2，－2)，＝(－2，a，2)，＝(b－2，0，2)，则＝4－2(a＋b)，＝8－2b．
若选①：()⊥()，则，故a＝b．
若EF⊥A1C，则＝4－2(a＋b)＝0，解得a＝b＝1，
故存在点E(0，1，2)，F(1，2，2)使得EF⊥A1C，
此时＝8－2b＝6．
若选②：|，则，解得a＝
若EF⊥A1C，则＝4－2(a＋b)＝0，解得b＝，
故存在点E，F，使得EF⊥A1C，
此时＝8－2b＝5．
若选③：0<1，则不共线，
所以b≠2－a，即a＋b≠2，所以＝4－2(a＋b)≠0，
故不存在点E，F使得EF⊥A1C．
15．解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2) ．
(1)因为AB＝3BG，点E，F 分别是BC，C1D1 的中点，
所以G，E(1，2，0)，F(0，1，2)．
设H(λ，μ，2)(λ，μ∈[0，2])，则＝(－1，－1，2) ，
因为GH∥EF ，所以，解得λ＝1，μ＝，
所以H，
所以 ，
所以 ，
即A1H 的长为 ．
(2)假设存在满足条件的点K，设K(a，0，2)(0≤a≤2) ，
则
因为GK，EF共面，所以存在实数x，y 满足 ，
即＋y(－1，－1，2)，
得
解得a＝，所以K，
所以，
所以存在点K，使得GK，EF共面，且A1K的长为
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