课时分层作业(五) 空间中的平面与空间向量
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共110分
一、选择题
1．若平面α与β的法向量分别是a＝(2，4，－3)，b＝(－1，2，2)，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
2．(多选题)点P0(1，2，3)在平面α内，平面α＝{P|n·＝0}，其中n＝(1，1，1)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是( )
A．(2，－4，8) B．(3，4，5)
C．(3，2，1) D．(－2，5，4)
3．平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，则平面α的一个法向量可以是( )
A．(1，0，1) B．(1，0，－1)
C．(0，1，1) D．(－1，1，0)
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，B1C1的中点，以下说法正确的是( )
A．A1E∥平面CC1D1D
B．A1E⊥平面BCC1B1
C．A1E∥D1F
D．A1E⊥D1F
5．(多选题)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A．若两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，－2，－1)，b＝(－2，－2，1)，则l1∥l2
B．若直线l的方向向量是a＝(1，1，2)，平面α的一个法向量是n＝(－2，－2，－4)，则l⊥α
C．若直线l的方向向量是a＝(0，2，0)，平面α的一个法向量是n＝(－2，0，2)，则l∥α
D．若两个不同的平面α，β的法向量分别是m＝(3，－4，2)，n＝(－2，0，3)，则α⊥β
二、填空题
6．已知直线l∥平面α，且直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，则m＝_________.
7．在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的一个法向量，则y＋z＝__________.
8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：填写一个正确的答案即可)
三、解答题
9．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
10．(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则以下结论正确的是( )
A．EF⊥AC B．EF⊥A1D
C．EF与BD1异面 D．EF∥BD1
11．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在B1P上，则( )
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P靠近点P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．在B1P上不存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
12．设u＝(－1，2，4)，v＝(t，－1，－2)(t∈R)分别是平面α，β的法向量．若α∥β，则t＝__________；若α⊥β，则t＝__________．
13．如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图(2)所示的立体图形，且以E为坐标原点建立空间直角坐标系Exyz.在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF，则平面CDF的一个法向量n＝__________，EG＝__________．
14．在空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，若A在PB，PC上的射影分别为E，F.求证EF⊥PB.
15．(源自人教A版教材例题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1
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1．B [a·b＝(2，4，－3)·(－1，2，2)＝－2＋8－6＝0，
所以a⊥b，所以平面α与平面β垂直．]
2．AC [设P(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－3)．由n·＝0，得x－1＋y－2＋z－3＝0，即x＋y＋z＝6．结合选项知选AC．]
3．D [因为平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，
所以＝(2，2，0)，＝(0，0，2)．
设平面α的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
取x＝－1，得n＝(－1，1，0)，
所以平面α的一个法向量可以是(－1，1，0)．]
4．A [由长方体的性质有平面ABB1A1∥平面CC1D1D，又A1E 平面ABB1A1，所以A1E∥平面CC1D1D，故选项A正确；
因为E为棱BB1的中点，且A1B1⊥BB1，所以A1E与BB1不垂直，所以若A1E⊥平面BCC1B1，则A1E⊥BB1，这与A1E和BB1不垂直相矛盾，故选项B错误；
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，
则A1(a，0，c)，E，D1(0，0，c)，F，
所以
因为不是共线向量，且＝b2>0，
所以A1E与D1F不平行，且A1E与D1F不垂直，故选项C，D错误．
故选A．]
5．BD [对于A，因为向量a，b不共线，所以l1，l2不平行，故A不正确；
对于B，因为n＝－2a，所以a∥n，故B正确；
对于C，因为a·n＝0×(－2)＋2×0＋0×2＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l α，故C不正确；
对于D，因为m·n＝－6＋0＋6＝0，所以α⊥β，故D正确．故选BD．]
6．－8 [因为直线l∥平面α，所以直线l的方向向量与平面α的一个法向量垂直，即2×1＋m×＋1×2＝0，所以m＝－8．]
7．1 [＝(1，1，0)，＝(－1，－1，－2)，
因为a＝(－1，y，z)为平面ABC的一个法向量，所以a·＝0，a·＝0，
所以－1＋y＝0，1－y－2z＝0，
联立解得y＝1，z＝0，所以y＋z＝1．]
8．DM⊥PC(答案不唯一) [连接AC(图略)，因为底面各边都相等，所以BD⊥AC．由题意易知，AC为PC在平面ABCD内的射影．又BD⊥AC，由三垂线定理知BD⊥PC，所以当DM⊥PC时，即有PC⊥平面BMD．又PC 平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．]
9．证明：建立如图所示的空间直角坐标系．
D是坐标原点，设DC＝a．
(1)连接AC交BD于G，连接EG，
依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E
因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
所以
又＝(a，0，－a)，所以，
所以PA∥EG．而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB．
(2)依题意得B(a，a，0)，＝(a，a，－a)，，
所以＝0，
所以⊥，即PB⊥DE．
又已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD．
10．ABD [以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
所以＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，1)，
所以＝0，＝0，
从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC．]
11．D [以A1为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A1xyz(图略)，则A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，B(1，0，1)，D0，1，，P(0，2，0)，所以＝(1，0，1)，＝0，1，，＝(－1，2，0)，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取z＝－2，
则x＝2，y＝1，所以n＝(2，1，－2)为平面A1BD的一个法向量．假设在B1P上存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD，设，则＝(－λ，2λ，0)，所以也是平面A1BD的一个法向量，所以n＝(2，1，－2)与共线，则有，此时λ无解，故在B1P上不存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD．故选D．]
12 －10 [因为u＝(－1，2，4)，v＝(t，－1，－2)(t∈R)分别是平面α，β的法向量，
所以若α∥β，则u∥v，所以，即t＝；
若α⊥β，则u⊥v，所以－t－2－8＝0，即t＝－10．]
13．(－1，2，1)(答案不唯一) [由题意，得E(0，0，0)，A(0，0，2)，D(0，2，2)，F(0，3，0)，C(2，4，0)，所以＝(0，1，－2)，＝(2，2，－2)，＝(2，4，0)．设平面DFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则不妨令z＝1，可得n＝(－1，2，1)为平面DFC的一个法向量．设＝(2λ，4λ，0)，0≤λ≤1，
则G(2λ，4λ，0)，＝(2λ，4λ，－2)．
因为AG∥平面CDF，所以⊥n，
则·n＝－2λ＋8λ－2＝0，解得λ＝，即，故EG＝|]
14．解：因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC．
又因为AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC．
而AF 平面PAC，所以BC⊥AF．
又因为F是点A在PC上的射影，
所以AF⊥PC，
又BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC，
所以AE在平面PBC内的射影为EF．
又因为E为A在PB上的射影，
所以AE⊥PB．
由三垂线定理的逆定理知EF⊥PB．
15．解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2)．
设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
取z＝6，则x＝4，y＝3，所以，n＝(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量．
由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，－2)．设点P满足(0≤λ≤1)，则＝(－3λ，0，－2λ)，所以＝(－3λ，4，－2λ)．
令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，这样的点P存在．
所以，当，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1．
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