课时分层作业(六) 直线与平面的夹角
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分
一、选择题
1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．(教材P48练习B T3改编)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
3．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，则直线PB与平面ABCD所成的角θ为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
5．(多选题)如图，△ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则( )
A．直线AD与直线BC所成角的大小为90°
B．直线AC与直线BD所成角的余弦值为
C．直线AD与平面BCD所成角的大小为45°
D．直线CD与平面ABC所成角的大小为60°
二、填空题
6．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为_______ .
7．如图，圆锥的高PO＝，底面⊙O的直径AB＝2，C是圆上一点，且∠CAB＝30°，则直线OC与平面PAC的夹角的余弦值为__________．
8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段AB上，PA＝AD＝AB＝1，当直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时，＝__________ .
三、解答题
9．在如图所示的多面体ABCDE中，AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB＝2，EC＝2，F是CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求直线AD与平面BCE所成角的正弦值．
10．(多选题)已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列结论中正确的是( )
A．平面PAB⊥平面PAE
B．PB⊥AD
C．直线CD与PF所成角的余弦值为
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
11．长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为α，β，γ，则( )
A．cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2
B．cos2α＋cos2β＋cos2γ＝
C．sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2
D．sin2α＋sin2β＋sin2γ＝
12．如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，AB＝BC＝2，E，F为上底面圆上的两个动点，且EF过圆心G，当三棱锥A-BEF的体积最大时，直线AC与平面BEF所成角的正弦值为__________．
13．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则直线CD1与C1F所成角的余弦值为__________，直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为__________．
14．中国是风筝的故乡，南方称风筝为“鹞”，北方称风筝为“鸢”．如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD，其中AC⊥BD，且AC，BD交于点O，OA＝OB＝OD＝4，OC＝8，PO⊥平面ABCD.
(1)求证：PD⊥AC；
(2)试验表明，当PO＝OA时，风筝表现最好，求此时直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
15．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
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1．A
2．C [连接A1C1交B1D1于O点，
由已知得C1O⊥B1D1，且平面DBB1D1⊥平面A1B1C1D1，所以C1O⊥平面DBB1D1，连接BO，则BO为BC1在平面DBB1D1上的射影，∠C1BO即为直线BC1与平面DBB1D1所成的角．
C1O＝×，BC1＝，
所以sin∠C1BO＝]
3．B [由题意得∠CBD＝45°，∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ．
因为cos∠PBC＝cos θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°，
即cos 60°＝cos θ·cos 45°，
所以cos θ＝，θ＝45°．]
4．C [如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A1BC1的一个法向量为n＝(1，1，1)，＝(1，0，0)．
设直线AD与平面A1BC1所成角为θ，
所以sin θ＝|cos5．ABC [如图所示，过点B在平面BCD内作BE⊥BC交CD于点E，
过点B在平面ABC内作BF⊥BC交AC于点F．
因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，BF⊥BC，BF 平面ABC，
所以BF⊥平面BCD，同理可得BE⊥平面ABC，以点B为坐标原点，BE，BC，BF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝BC＝BD＝2，则A(0，－1，)，B(0，0，0)，D(，－1，0)，C(0，2，0)．
对于A选项，＝(，0，－)，＝(0，2，0)，则＝0，所以⊥，
故直线AD与直线BC所成角的大小为90°，A正确；
对于B选项，＝(0，3，－)，＝(，－1，0)，cos<，
所以直线AC与直线BD所成角的余弦值为，B正确；对于C选项，＝(，0，－)，平面BCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，cos<，m>＝，所以直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，C正确；对于D选项，＝(，－3，0)，平面ABC的一个法向量为n＝(1，0，0)，cos<，n>＝，所以直线CD与平面ABC所成角的大小为30°，D错误．]
6 [如图，侧棱PA⊥底面ABCD，PA 平面PAD，则平面PAD⊥平面ABCD．
因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD，而平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以CD⊥平面PAD．连接ED，则ED为CE在平面PAD上的射影，
则∠CED为CE与平面PAD所成的角，设PA＝AB＝AD＝2a，则AE＝a，ED＝a，
EC＝＝3a，
所以sin∠CED＝，
即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为]
7 [设点O到平面PAC的距离为d，设直线OC与平面PAC所成角为α，则由等体积法得，V三棱锥O PAC＝V三棱锥P OAC，即S△PAC·d＝PO·S△OAC，∴d＝，∴sin α＝，则cos α＝]
8 [因为PA＝AD＝AB＝1，所以AB＝2，又底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则有A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，
所以＝(2，0，－1)，＝(2，1，－1)．设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有
故y＝0，令x＝1，则z＝2，
所以n＝(1，0，2)为平面PBC的一个法向量．
因为点E在线段AB上，设AE＝a，则E(a，0，0)，
故＝(a，0，－1)．
因为直线PE与平面PBC所成角的正弦值为，
所以|cos<，n>|＝，则有(a－2)2＝a2＋1，解得a＝，
所以]
9．(1)证明：因为CD＝AD＝DE＝2，EC＝2，CD2＋DE2＝EC2，所以DE⊥CD．又AB∥DE，所以AB⊥CD．又AB⊥AD，CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ACD．以A为原点，在平面ACD中，过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，F，B(0，0，1)，E(0，2，2)，
所以＝(，1，－1)，＝(0，2，1)．
设平面BCE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
取y＝1，得n＝(－，1，－2)为平面BCE的一个法向量．
因为·n＝0，AF 平面BCE，
所以AF∥平面BCE．
(2)解：＝(0，2，0)，平面BCE的一个法向量n＝(－，1，－2)，
设直线AD与平面BCE所成角为θ，
则sin θ＝，
所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为
10．ACD [因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥AB，在正六边形ABCDEF中，AB⊥AE，PA∩AE＝A，所以AB⊥平面PAE，且AB 平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAE，故A成立．
因为PB在平面ABC内的射影AB与AD不垂直，所以B不成立．
因为CD∥AF，直线CD与PF所成角为∠PFA，
在Rt△PAF中，PA＝2AF，
所以cos ∠PFA＝，所以C成立．
在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，所以∠PDA＝45°，故D成立．]
11．A [如图所示，设长方体的长、宽、高分别为DC＝a，DA＝b，DD1＝c，则易得体对角线AC1＝
设体对角线和平面ABCD，平面ABB1A1，平面ADD1A1所成角分别为α，β，γ，
由线面角的定义可知cos α＝，
同理cos β＝，cos γ＝，
于是cos2α＋cos2β＋cos2γ＝＝2，
此时sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1－cos2α＋ 1－cos2β＋1－cos2γ＝1．]
12． [连接AG，BG，因为V三棱锥A BEF＝V三棱锥E ABG＋V三棱锥F ABG，
S△ABG的值不变，所以当EF垂直CD时，三棱锥A BEF的体积最大．设下底面中心为O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(0，1，2)，E(－1，0，2)，F(1，0，2)，所以＝(0，2，2)，＝(2，0，0)，＝(1，1，－2)．设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，则n＝(0，2，1)为平面BEF的一个法向量．设直线AC与平面BEF所成角为θ，则sin θ＝|cos<，n>|＝]
13 [以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则C(0，2，0)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，
所以＝(0，－2，2)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，2)，＝(1，0，－2)，
所以|cos<＝
设平面A1C1FE的一个法向量n＝(x，y，z)，
则取z＝1，得n＝(2，2，1)为平面A1C1FE的一个法向量．
设直线CD1与平面A1C1FE所成角为θ，
则sin θ＝，
所以直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为]
14．解：(1)因为PO⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PO⊥AC．
又AC⊥BD，PO∩BD＝O，PO 平面POD，BD 平面POD，所以AC⊥平面POD．
又PD 平面POD，所以PD⊥AC．
(2)如图，以O为坐标原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(4，0，0)，C(0，8，0)，D(－4，0，0)，P(0，0，2)，所以＝(4，0，－2)，＝(0，8，－2)，＝(－4，0，－2)．设m＝(a，b，c)为平面PBC的一个法向量，
则
取c＝4，则m＝(2，1，4)为平面PBC的一个法向量．
设直线PD与平面PBC所成角为θ，
则sin θ＝＝
15．(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD．
又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC．
因为PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PDC．
因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC．
因为平面PAD∩平面PBC＝l，AD 平面PAD，所以l∥AD，所以l⊥平面PDC．
(2)解：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，所以＝(0，1，0)，＝(1，1，－1)．
由(1)可设Q(a，0，1)，则＝(a，0，1)．
设n＝(x，y，z)是平面QCD的一个法向量，
则可取n＝(－1，0，a)是平面QCO的一个法向量．
所以cos设PB与平面QCD所成角为θ，则sin θ＝×
因为≤，当且仅当a＝1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为
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