课时分层作业(八) 空间中的距离
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是( )
A．2 B．
C． D．
2．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1＝2，则C到直线AB1的距离为( )
A． B．
C． D．
3．如图，正四棱锥P-ABCD的高为2，且底面边长也为2，则点A到平面PBC的距离为( )
A． B．
C． D．
4．(教材P61练习B T5改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为( )
A． B． C． D．
5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点E，F分别在A1B，B1D1上，且A1E＝A1B，B1F＝，则EF与平面ABC1D1的距离为( )
A．a B．a
C．a D．a
二、填空题
6．直角三角形ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是__________．
7．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的可能取值为__________．(填一个即可，不必考虑所有可能的取值 )．
8．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到A1C1的距离为___________；点D到平面EFD1B1的距离为__________．
三、解答题
9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D.
(1)求BP的长；
(2)求点P到平面EC1D的距离．
10．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为( )
A．1 B．
C． D．
11．(多选题)如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则( )
A．BD1⊥AP
B．AP＋PB的最小值为a
C．异面直线AP与A1D的距离是定值a
D．∠APB＝∠C1PD1
12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，BC＝1，E，F，H分别是AB，CD，A1B1的中点，则直线EC到平面AFH的距离为__________．
13．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为线段B1C1的中点，F为线段BC上的动点，则|AF|＋|FE|的最小值为__________；点F到直线DE距离的最小值为__________．
14．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图(1)，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”(如图(2))．
(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
(2)若二面角A-EF-B是直二面角，求点B到平面GCF的距离．
15．在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝，EF∥平面ABCD，AB＝2EF＝2，点M为BC中点．
(1)在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG∥平面BDF？请说明理由．
(2)请在下列两个条件中任选一个，求点A与平面BEC的距离．
①cos ∠BDF＝；
②EM＝2.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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1．C [取AC的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F(0，0，2)，所以，
EF＝|]
2．D [由题意知，AC＝AB＝2，BB1＝，
取AC的中点O，则BO⊥AC，BO＝，
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则A(0，－1，0)，B1(，0，)，C(0，1，0)，
所以＝(，1，)，＝(0，－2，0)，
所以，故点C到直线AB1的距离为d＝，故选D．]
3．A [由正四棱锥的性质可知，其底面ABCD为正方形，底面对角线的长度为，侧棱长度为
所以S△PBC＝×2×，
V三棱锥P ABC＝××2×2×2＝，
又V三棱锥A PBC＝V三棱锥P ABC，设点A到平面PBC的距离为h，
所以×，所以h＝]
4．C [如图，以D为坐标原点， 分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则D1，E(1，1，0)，A，C
从而＝(－1，2，0)，＝(－1，0，1)．
设平面ACD1的一个法向量为n＝(a，b，c)，
则
得
令a＝2，则n＝为平面ACD1的一个法向量，所以点E到平面ACD1的距离为h＝
故选C．]
5．B [如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，易得
E，F，
故，
＝(a，0，0)，＝(0，a，a)．
设平面ABC1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由
令z＝1，得n＝(0，－1，1)为平面ABC1D1的一个法向量．
因为·n＝·(0，－1，1)＝0，
所以⊥n，故EF∥平面ABC1D1．
又，
所以·n＝·(0，－1，1)＝a，所以d＝a．]
6．3 [(法一)以C为原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，
所以＝(－4，3，0)，，
所以，
所以点P到斜边AB的距离d＝＝3．
(法二)因为PC⊥平面ABC，过C作CD⊥AB于D，连接PD(图略)，由三垂线定理可知PD⊥AB，即PD为P到AB的距离．
因为在Rt△ABC中，CD＝，所以PD＝＝3．]
7(填一个即可) [
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，所以＝(－3，－3，3)．因为＝(－1，－1，1)，所以＝(2，2，1)，所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝，|PD|＝|PA1|＝|PC1|＝＝3，|PB|＝，|PD1|＝，故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，2]
8 [建立如图所示的空间直角坐标系．
则D1(0，0，0)，A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，B1(1，1，0)，F，E
所以|，
即△DA1C1为等边三角形，
所以点D到A1C1的距离为三角形的高
h＝sin 60°＝
又＝(1，1，0)，
则可求得平面EFD1B1的一个法向量为
n＝
又＝(0，0，1)，故d＝]
9．解：(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，1)，D(0，2，1)，F(1，1，1)，E(0，1，0)，C1(1，2，0)．
设P(a，b，1)，，λ∈[0，1]，＝(0，1，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，2，0)，
则＝(a－1，b，0)＝(－λ，2λ，0)，
所以P(1－λ，2λ，1)，＝(λ，1－2λ，0)．
设平面DEC1的一个法向量n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得n＝(1，－1，1)为平面DEC1的一个法向量．
因为PF∥平面EC1D，
所以·n＝λ－1＋2λ＝0，
解得λ＝，所以P，
所以|＝
(2)由(1)得平面EC1D的一个法向量n＝(1，－1，1)，，
所以点P到平面EC1D的距离d＝
10．D [以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E，D1，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
所以＝(－1，－2，2)，＝(0，0，2)，＝(1，0，0)．
因点P在线段D1E上，则λ∈[0，1]，＝(－λ，－2λ，2λ)，
＝(1－λ，－2λ，2λ)，
所以向量＝2λ，
而，
则点P到直线CC1的距离h＝
＝≥，
当且仅当λ＝时取等号，所以点Р到直线CC1的距离的最小值为，故选D．]
11．ABD [建立如图所示的空间直角坐标系：
则A(a，0，0)，B(a，a，0)，D1(0，0，a)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，B1(a，a，a)，
所以＝(－a，－a，a)，＝(－a，0，－a)，＝(0，a，a)，＝(0，0，－a)．
设＝(－aλ，0，－aλ)，
则＝(－λa，a，(1－λ)a)，
＝(aλ，0，(λ－1)a)．
因为＝λa2－a2＋(1－λ)a2＝0，
故BD1⊥AP，故A正确．
|＝a，
|＝a，
当λ＝时，AP＋PB取得最小值为a，故B正确．
因为A1D∥B1C，A1D 平面AB1C，B1C 平面AB1C，则A1D∥平面AB1C，
所以点A1到平面AB1C的距离为异面直线AP与A1D的距离．
设平面AB1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取n＝(－1，－1，1)为平面AB1C的一个法向量，所以d＝a，故C错误．
因为＝(λa，0，(λ－1)a)，＝(λa，－a，(λ－1)a)，＝((λ－1)a，0，λa)，＝((λ－1)a，－a，λa)，
所以cos∠APB＝＝，
cos∠C1PD1＝＝，
则cos∠APB＝cos∠C1PD1．
因为∠APB，∠C1PD1∈(0，π)，
则∠APB＝∠C1PD1，故D正确．
故选ABD．]
12 [以D为原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题知A，C，
因为E，F，H分别是AB，CD，A1B1的中点，
所以E(1，1，0)，F(1，0，0)，H(1，1，2)，
则＝(1，－1，0)，所以EC∥AF，所以EC∥平面AFH，所以点E到平面AFH的距离即为直线EC到平面AFH的距离．设平面AFH的一个法向量为n＝，则
因为，所以取x＝2，则y＝2，z＝－1，
所以n＝是平面AFH的一个法向量．
又向量，所以点E到平面AFH的距离为，
即直线EC到平面AFH的距离为]
13 [建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(2，0，0)，E(1，2，2)，D(0，0，0)，F(x，2，0)．|AF|＋|FE|＝＋，
代数式可以表示横轴上一点M(x，0)到点N(2，2)和点P(1，2)的距离之和，如图所示：
设N(2，2)关于横轴的对称点为Q(2，－2)，当线段PQ与横轴的交点为M点时，|AF|＋|FE|有最小值，最小值为|PQ|＝
设FO⊥DE，O为垂足，则有O(λ，2λ，2λ)，＝(1，2，2)，＝(λ－x，2λ－2，2λ)．
因为⊥，所以＝0 λ－x＋2(2λ－2)＋2·2λ＝0 x＝9λ－4，
因此|，
化简得|，当6λ－3＝0时，即λ＝时，x＝，||有最小值，即最小值为]
14．(1)证明：取线段CF中点H，连接OH，GH．
由题图(1)可知，四边形EBCF是矩形，且CB＝2EB，
∴O是线段BF与CE的中点，
∴OH∥BC且OH＝BC．
在题图(1)中知AG∥BC且AG＝BC，EF∥BC且EF＝BC，
∴在题图(2)中，AG∥BC且AG＝BC，AG∥OH且AG＝OH，
∴四边形AOHG是平行四边形，
则AO∥HG．
由于AO 平面GCF，HG 平面GCF，
∴AO∥平面GCF．
(2)解：由题图(1)，EF⊥AE，EF⊥BE，折起后在题图(2)中仍有EF⊥EA，EF⊥BE，
∴∠AEB即为二面角A EF B的平面角，
∴∠AEB＝90°．
以E为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则B，C，F，A，G，
∴＝(0，－2，2)．
设平面GCF的一个法向量为n＝，
由
取y＝1，则z＝1，
于是平面GCF的一个法向量为n＝(0，1，1)，∴点B到平面GCF的距离为
d＝
15．解：(1)存在．如图，连接AC交BD于点O，连接OM，OF，取CD的中点G，连接GM，GE．
因为EF∥平面ABCD，EF 平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
所以EF∥AB．
又点O与点M分别为AC与BC的中点，所以OM∥AB，OM＝AB＝EF，
所以四边形OMEF是平行四边形，
则OF∥EM．
因为EM 平面BDF，OF 平面BDF，
故EM∥平面BDF．
因为点G与点M分别为CD与BC的中点，则GM∥BD．
又GM 平面BDF，BD 平面BDF，
所以GM∥平面BDF．
而GM∩EM＝M，且GM，EM 平面EMG，
故平面EMG∥平面BDF．
故存在CD的中点G，使得平面EMG∥平面BDF．
(2)若选①，
在△BDF中，BD＝DF＝2，cos∠BDF＝，由余弦定理得BF＝
如图，取AD中点N，连接FN，BN．
在△BNF中，BN＝FN＝，BF＝，
所以BN⊥FN．
因为△ABD与△ADF是正三角形，
所以BN⊥AD，FN⊥AD，
即NA，NB，NF两两垂直．
以点N为坐标原点，NA，NB，NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－2，，0)，E，
所以＝(2，0，0)，＝(－1，，0)．
设平面BEC的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则
令z＝1，则y＝2，故m＝(0，2，1)为平面BEC的一个法向量．
因为，所以点A与平面BEC的距离为
若选②，
由(1)可知，OF＝EM＝2，如图，取AD中点N，连接FN，ON，BN．
在△ONF中，FN＝，ON＝1，OF＝2，
所以ON⊥FN，
因为△ADF是正三角形，所以AD⊥FN．
又AD∩ON＝N，AD，ON 平面ABCD，则FN⊥平面ABCD．
因为△ABD是正三角形，所以BN⊥AD，即NA，NB，NF两两垂直．
下同选①过程．
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