课时分层作业(十) 直线的倾斜角与斜率
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共95分
一、选择题
1．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1B．k2C．k2D．k12．若过点A(3，4)，Q(6，3a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
3．(多选题)下列各组中的点在同一条直线上的是( )
A．(1，－3)，(－7，5)，(3，－5)
B．(3，0)，(6，－4)，(－1，－3)
C．(1，0)，，(7，2)
D．(－2，－5)，(7，6)，(－5，3)
4．若直线过点A(1，－1)，B(2，－1)，则此直线的一个方向向量和倾斜角分别为( )
A．(1，－1)，30° B．(2，－1)，45°
C．(1，)，60° D．(，1)，90°
5．已知点A， B， 若点M 在线段AB上，则的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．已知三个不同的点A(2，a)，B(a＋1，2a＋1)，C(－4，1－a)在同一条直线上，则实数a的值为________．
7．已知直线l的一个方向向量为p＝，则直线l的倾斜角为__________．
8．已知某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为，则与该角平分线相邻两边所在直线的斜率分别为________．
三、解答题
9．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2，0)，过点A的直线交x轴于点C(a，0)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则a＝( )
A． B． C．1 D．
11．(多选题)下列说法中，表述正确的是( )
A．向量m＝(－3，)为直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为
B．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为θ，直线l绕点A顺时针旋转后得直线l1，则直线l1的倾斜角为θ－
C．若实数x，y满足y＝－x＋3，－1≤x≤1，则代数式的取值范围为
D．若直线l1，l2的倾斜角分别为θ1，θ2，则“sin (θ1－θ2)＝1”是“l1⊥l2”的充要条件
12．已知向量m＝(a，a2＋1)(a≠0)，直线AB的一个方向向量为n，若m与n共线，则直线AB的斜率的取值范围是________．
13．已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________，直线AC的一个方向向量为________．
14．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的取值范围．
15．直线x sin α－y＋1＝0的倾斜角的取值范围为( )
A． B．
C． D．
3/3课时分层作业(十)
1．A [设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，
则k1＝tan α1，k2＝tan α2，k3＝tan α3．
由题图可知，0<α2<α3<<α1<π，所以k1<0，k3>k2>0，所以k12．C [因为直线AQ的斜率k＝，又因为直线AQ的倾斜角为锐角，
所以a－>0，解得a>]
3．AC [过点(1，－3)，(－7，5)的直线的斜率m1＝＝－1，过点(－7，5)，(3，－5)的直线的斜率m2＝＝－1，两者相等，故三点在同一条直线上，A选项正确；过点(3，0)，(6，－4)的直线的斜率n1＝，过点(6，－4)，(－1，－3)的直线的斜率n2＝，两者不相等，故三点不在同一条直线上，B选项错误；过点(1，0)，，过点(1，0)，(7，2)的直线的斜率k2＝，两者相等，故此三点在同一条直线上，C选项正确；过点(－2，－5)，(7，6)的直线的斜率a1＝，过点(7，6)，(－5，3)的直线斜率a2＝，两者不相等，故三点不在同一条直线上，D选项错误．]
4．C [直线过点A(1，－1)，B(2，－1)，可得＝(1，)是直线的一个方向向量，设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝k＝，所以θ＝60°．]
5．A [设Q，
则kQA＝，kQB＝
因为点M在线段AB上，
所以的取值范围是∪
故选A．]
6．－或5 [因为kAC＝，
所以该直线斜率存在．又kAB＝，
根据题意得，
解得a＝－或a＝5．]
7 [由题意可得，直线l的斜率k＝，即直线l的倾斜角为]
8，3 [某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为，
设这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为k，m，且k则tan 30°＝，
解得k＝，m＝3]
9．解：如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1．
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1．
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°．
10．B [设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，且tan 2α＝，由题可知tan 2α＝kAC＝，tan α＝kAB＝，所以，解得a＝，故选B．]
11．AC [A中向量m＝(－3，)为直线l的方向向量，则直线l的斜率为－，故直线l的倾斜角为，故A正确；
B中若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为θ，直线l绕点A顺时针旋转后得直线l1，则当≤θ<π时，直线l1的倾斜角为θ－；当0≤θ<时，直线l1的倾斜角为π＋，故B错误；
C中若实数x，y满足y＝－x＋3，－1≤x≤1，设A(－1，4)，B(1，2)，则代数式表示线段AB上任意一点(x，y)和点C(－2，－3)连线的斜率，
由图可知，∈[kBC，kAC]＝，
故C正确；
D中若直线l1，l2的倾斜角分别为θ1，θ2，则0≤θ1<π，0≤θ2<π，－π<－θ2≤0，
所以－π<θ1－θ2<π，
则sin(θ1－θ2)＝1 θ1－θ2＝ l1⊥l2；
当l1⊥l2时，|θ1－θ2|＝ θ1－θ2＝±，
故“sin(θ1－θ2)＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故D错误．]
12．(－∞，－2]∪[2，＋∞) [因为m＝(a，a2＋1)(a≠0)，直线AB的一个方向向量为n，且m与n共线，则n＝λ(a，a2＋1)，
所以直线AB的斜率k＝
当a>0时，a＋≥2，
当a<0时，a＋≤－2．]
13．－3 (1，－)(答案不唯一) [设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α．
又tan α＝，
又0°≤α<180°，
所以α＝60°，2α＝120°，
所以kAC＝＝tan 120°＝－，
得m＝2－3．
由上述分析，得kAC＝－，所以直线AC的一个方向向量为(1，－)．]
14．解：由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与函数y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象上任意一点(x，y)的直线的斜率k．
如图所示，可知kPA≤k≤kPB．由已知可得A(1，1)，B(－1，5)，所以kPA＝，kPB＝8．数形结合可知，的最大值为8，最小值为，则
15．D [设直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角为θ，可得tan θ＝sin α∈[－1，1]，
所以θ的取值范围为∪故选D．]
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